黃茂松 ，李 波

（1. 同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092；2. 同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092； 3. 長(zhǎng)江科學(xué)院 水利部巖土力學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430010）

1 引 言

筏板剛度對(duì)樁筏基礎(chǔ)共同作用時(shí)的整體剛度以及荷載位移曲線影響很大。傳統(tǒng)的樁筏基礎(chǔ)設(shè)計(jì)假設(shè)所有的荷載都由筏板底下的樁來(lái)承擔(dān)過(guò)于保守，現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)和室內(nèi)模型試驗(yàn)的結(jié)果表明，筏板最多可承擔(dān)總荷載的30%[1]。Poulos 等[2－3]以及Shen 等[4－5]根據(jù)樁荷載傳遞曲線提出了剛性筏板下群樁基礎(chǔ)的變分方法，其他學(xué)者也對(duì)樁筏基礎(chǔ)與土的相互作用進(jìn)行了研究[6－7]。盡管如此，這些文獻(xiàn)僅考慮了剛性筏板的情況，而對(duì)于柔性筏板問(wèn)題進(jìn)行分析的文獻(xiàn)相對(duì)較少。Brown 等[8]分析了柔性基礎(chǔ)的情況，但采用經(jīng)典的梁理論來(lái)分析樁，從而限制了該法的使用范圍。Fatemi-Ardakani[9]采用邊界元法分析柔性板，將樁簡(jiǎn)化為彈簧，但未考慮筏板與土之間的相互作用。Hain 等[10]采用有限單元法分析柔性板，群樁分析則是采用Ploulos 等[2－3]樁的荷載-位移曲線分析方法。Mendoca 等[11]基于Mindlin 解采用邊界元方法分析了半無(wú)限域地基上的樁筏問(wèn)題；在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步采用有限單元-邊界元混合法，同時(shí)考慮了筏板與土的相互作用，分析了剛性承臺(tái)和柔性筏板下群樁問(wèn)題[12]。金永濤等[13]對(duì)Geddes 模型進(jìn)行了改進(jìn)，用薄板理論的有限單元法分析彈性地基上的基礎(chǔ)板。以上方法在解決半無(wú)限域均質(zhì)地基時(shí)可以得到比較精確的解答，但均未考慮層狀地基問(wèn)題。

用三維數(shù)值方法（有限單元法或有限差分法）對(duì)樁筏基礎(chǔ)進(jìn)行分析，可以克服以上方法存在的缺點(diǎn)。Trochanis 等[14]、Smith 等[15]、Sanctis 等[16]用三維有限元方法對(duì)樁筏基礎(chǔ)分析時(shí)，全面考慮了土體的非均勻性和樁-土相互非線性特性，并可施加符合實(shí)際情況的邊界條件。但這些方法的計(jì)算工作量大，建模復(fù)雜，因而不易被工程設(shè)計(jì)人員所接受。

本文在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上，采用Mindlin 板理論的有限單元法建立筏板的剛度矩陣，既可以分析薄板問(wèn)題，又可以用于中厚板的計(jì)算，并考慮了筏板剛度對(duì)整體剛度矩陣的影響。采用層狀彈性地基受表面或內(nèi)部作用荷載時(shí)的Burmister[18]解來(lái)計(jì)算土表面對(duì)土表面以及土表面對(duì)樁頂面(或樁頂面對(duì)土表面)的相互作用矩陣；考慮了層狀地基中筏板與群樁和土的共同作用，得出了樁筏基礎(chǔ)共同作用下豎向荷載與位移的關(guān)系。利用柔性筏板-群樁沉降計(jì)算方法和往復(fù)荷載下土體壓縮模量的衰減特性建立了柔性筏板-群樁基礎(chǔ)的長(zhǎng)期沉降預(yù)測(cè)方法。

2 層狀地基中柔性筏板-群樁共同作用分析

圖1 所示為層狀地基中樁筏基礎(chǔ)共同作用簡(jiǎn)化分析模型。將樁簡(jiǎn)化為一維桿單元，而樁-土摩擦則通過(guò)節(jié)點(diǎn)處彈簧等效代替，筏板用Mindlin 板彎曲單元來(lái)分析，筏板與樁-土的相互作用等效為筏板節(jié)點(diǎn)處的彈簧作用。

假設(shè)彈性地基上的筏板同時(shí)受到上部荷載{ F}和基礎(chǔ)反力{ R} 的共同作用，利用板的剛度矩陣[ Kr]和節(jié)點(diǎn)位移列陣{ w} 來(lái)表示板的平衡方程為

樁-土體系的相互作用分析是利用樁-土體系的剛度矩陣 sp[ ]K 和樁-土節(jié)點(diǎn)位移頂部沉降{ }s 建立平衡方程：

根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件即{ } { }w s= ，式（1）、（2）聯(lián)立可得

下面分別計(jì)算筏板的剛度矩陣[Kr]和樁-土體系的剛度矩陣[Ksp]。

筏板的剛度矩陣[Kr]由Mindlin 板的有限元法可得

圖1 樁筏基礎(chǔ)共同作用模型 Fig.1 Model for interaction of piled raft foundation

樁-土體系的剛度矩陣[Ksp]一般由柔度矩陣[Fsp]求逆后得到，[Fsp]可寫成子矩陣的形式：

式中：子矩陣 fpp、 fsp、 fps、 fss分別為樁頂面對(duì)樁頂面、樁頂面對(duì)土表面、土表面對(duì)樁頂面、土表面對(duì)土表面的相互作用關(guān)系矩陣，如圖2 所示。其中，L 表示樁長(zhǎng)，S 表示樁間距。

圖2 樁-土體系相互作用 Fig.2 Pile and soil interaction

（1）樁頂面對(duì)樁頂面作用

圖2(a)所示為樁頂面對(duì)樁頂面的相互作用模型。樁頂作用荷載時(shí)自身頂部的沉降分析采用基于傳遞矩陣形式的層狀剪切位移法，樁-土可以出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)：

而兩根樁僅考慮“主動(dòng)樁”對(duì)“被動(dòng)樁”的影響時(shí)，由于“被動(dòng)樁”的荷載-位移曲線基本上處于彈性狀態(tài)[14]，因此，假定“被動(dòng)樁”與土之間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。分別求解“主動(dòng)樁”和“被動(dòng)樁”的樁身控制方程便可以得到二者在任一層的位移和軸力：

（2）樁頂面對(duì)土表面作用

圖2(c)為樁頂面作用單位荷載引起的土表面沉降，為了簡(jiǎn)化，將樁側(cè)剪應(yīng)力以作用在樁軸線上的集中力代替，如圖3 所示。其中，i 為土節(jié)點(diǎn)，j 為樁節(jié)點(diǎn)，PPi為作用在樁j 上的荷載，F(xiàn)1、F2、Fi為樁側(cè)摩阻力，F(xiàn)b為樁端樁端阻力。則子矩陣 [ fsp]中的柔度系數(shù)表示作用在樁j 頂面單位荷載引起的土單元i 中心的位移：

式中：r 為單元i、j 之間的水平距離；m 為樁側(cè)劃分的土層數(shù)；zb為樁底的深度；zi為樁側(cè)摩阻力作用點(diǎn)的深度；w(r， zb)、w(r， zi)分別為層狀地基內(nèi)部樁底反力和樁側(cè)摩阻力作用時(shí)在土單元 i 的Burmister 位移基本解。

圖3 樁頂面對(duì)土表面作用 Fig.3 Pile and soil surface interaction

子矩陣ps[ ]f 中的各柔度系數(shù)可以通過(guò)Maxwell 相互作用原理求得

（3）土表面對(duì)土表面的剛度矩陣

土頂作用荷載時(shí)，子矩陣 [ fss]中的柔度系數(shù)為土單元i 在單位荷載下自身的沉降，為了避免應(yīng)力集中，假設(shè)為均布荷載，采用多層地基表面作用軸對(duì)稱垂直荷載的Burmister 位移解；為作用在土單元j 上的單位荷載引起土單元i 上的位移，可以由土單元i 上的Burmister 位移解積分求得。此處為了避免復(fù)雜的積分運(yùn)算，假設(shè)土單元j 上荷載均勻分布。

3 往復(fù)加卸載作用下樁筏基礎(chǔ)的沉降

采用本文方法分析往復(fù)加卸載作用下層狀地基中樁筏基礎(chǔ)的沉降，分析過(guò)程分為加載沉降和卸載回彈兩個(gè)方面。其中，沉降計(jì)算過(guò)程中所用到彈性模量由壓縮模量推算求得[19]：

式中： 2.5λ= ～3.5；12E-為地基土在100～200 kPa壓力作用時(shí)的壓縮模量。

第i 次往復(fù)加卸載次數(shù)下樁筏基礎(chǔ)的累積沉降iΔ 可表示為

式中：ssi和sri分別第i 次加卸載下樁筏基礎(chǔ)的加載沉降量和卸載回彈量。

N 次加卸載循環(huán)后總的累積沉降s 為

基于以上分析，利用層狀彈性地基的Burmister位移解，編寫了層狀地基Mindlin 板有限單元法程序，并進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了層狀地基中柔性筏板-群樁共同作用計(jì)算程序。程序中每個(gè)單元的彎矩可以由高斯點(diǎn)處的應(yīng)力值求得。將單元彎矩平均到該單元內(nèi)所有的節(jié)點(diǎn)，在相同的節(jié)點(diǎn)編號(hào)處累加，得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的彎矩。

4 算例驗(yàn)證

算例中常用的符號(hào)：Es為土的彈性模量，vs為土的泊松比，Ep為樁的彈性模型，vp為樁的泊松比，ER為板的彈性模量，vR為板的泊松比，w 為板沉降，Mx為板沿x 方向的彎矩。

4.1 與有限元-邊界元混合法的比較

Mendonca 等[12]采用有限單元和邊界元混合法分析了彈性半空間地基上樁筏基礎(chǔ)，得到了均布豎向荷載（q）作用下4 根樁和9 根樁兩組群樁支撐下筏板的沉降和彎矩。

圖5 為4 根樁支撐的樁筏基礎(chǔ)（如圖4 所示）沉降隨Kst的變化規(guī)律，表明樁筏基礎(chǔ)中心點(diǎn)處沉降隨板剛度的增加逐漸減小，且當(dāng)Kst＞0.1 之后沉降基本相同。筏板從完全柔性變化到完全剛性，樁筏基礎(chǔ)中心點(diǎn)的垂直位移(wEs/GB)減小了0.48，占柔性樁筏基礎(chǔ)共同作用的36%。

圖4 4 樁支撐的樁筏基礎(chǔ) Fig.4 Raft foundation of four piles group

圖5 筏板中心點(diǎn)的垂直位移 Fig.5 Vertical displacement of the central point of the raft

圖6 樁筏基礎(chǔ)布置圖 Fig.6 Layout of the raft and piles

下面對(duì)比柔性筏板下9 根樁的沉降（w）和彎矩（Mx）分布，群樁布置及相關(guān)參數(shù)如圖6 所示。由圖7 可知，柔性板下無(wú)論是剛性樁還是柔性樁的群樁基礎(chǔ)的沉降計(jì)算結(jié)果與有限元-邊界元混合法解均比較一致。顯然剛性樁支撐時(shí)樁節(jié)點(diǎn)處的位移明顯比柔性樁時(shí)小。但兩種不同剛度的樁支撐使得樁筏基礎(chǔ)在非樁節(jié)點(diǎn)處的最大差異沉降僅為0.2 mm，這表明板的剛度對(duì)樁筏基礎(chǔ)相互作用的總體剛度矩陣的貢獻(xiàn)不可忽視。

圖7 沿CD 的豎向位移分布圖 Fig.7 Vertical displacements along the section CD

圖8 為剛?cè)嵝詷吨蜗碌臉斗せA(chǔ)沿EF 的彎矩（Mx），本文方法計(jì)算結(jié)果與Mendonca 等[12]相比，僅在個(gè)別節(jié)點(diǎn)處差異比較大，整體分布規(guī)律基本一致。兩者均在靠近板邊界的樁節(jié)點(diǎn)的彎矩最大，且最大值相差不大，但在靠近板中心的樁節(jié)點(diǎn)的彎矩明顯大于柔性樁。

圖8 沿EF 的彎矩圖 Fig.8 Bending moments along EF

4.2 與有限元法的比較

圖9 雙層地基方形板的豎向位移 Fig.9 Vertical displacements along two-layered soil borad

Ta 等[20]進(jìn)一步分析了10×10 根樁支承下的大型樁筏基礎(chǔ)，考慮其對(duì)稱性只取其1/4 部分，如圖10 所示。地基土采用Gibson 土，板分兩種情況，剛性板ER/Es(2l)= 100 000 和柔性板ER/Es(2l)= 100。

本文將Gibson 土劃分為50 層的層狀地基，每一層地基為均質(zhì)地基。圖11(a)、(b)分別為沿剛性板和柔性板樁筏基礎(chǔ)的斷面A′ - A′和B ′ - B′的彎矩。對(duì)比這2 幅圖可知，柔性板明顯比剛性板時(shí)的彎矩小，但波動(dòng)更大。剛性板中心處的彎矩遠(yuǎn)大于其邊界處的值，表明板的剛度越大，越能發(fā)揮板的支撐效果，將沉降較大的中心處的荷載轉(zhuǎn)移到四周。

圖10 10×10 樁筏基礎(chǔ)1/4 布置圖 Fig.10 Quarter layout of 10×10 piled raft foundation

圖11 沿?cái)嗝?A′ - A′和 B ′ - B′的彎矩 Fig.11 Bending moments along section A′ - A′and B ′ - B′

5 離心模型試驗(yàn)驗(yàn)證

文獻(xiàn)[21]對(duì)3×3 群樁樁筏基礎(chǔ)進(jìn)行了6 次加卸載循環(huán)離心模型試驗(yàn)，群樁布置圖見(jiàn)圖12。離心加速度采用100 g，鋁合金模型樁外徑為1 cm，壁厚為0.2 cm，筏板采用鋁合金板制作。轉(zhuǎn)換為樁長(zhǎng)為35 m、直徑為1 m 的原型樁，板厚為2 m、邊長(zhǎng)為13 m，樁的間距為5 m。將地基土在一維固結(jié)儀上進(jìn)行往復(fù)加載試驗(yàn)，表1 給出了室內(nèi)試驗(yàn)得到的往復(fù)加載過(guò)程中各土樣壓縮模量和一維回彈模量的變化，此處選取 3.5λ = 轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的彈性模量。為了便于理解和分析，將離心模型試驗(yàn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到對(duì)應(yīng)原型尺度下進(jìn)行闡述。采用本文方法計(jì)算得到6 次加卸載樁筏基礎(chǔ)的沉降如表2 所示，最終累積沉降計(jì)算值為59.9 mm，與試驗(yàn)值70.4 mm 相差14.91%，滿足實(shí)際工程中精度要求。

圖12 3×3 群樁的布置 Fig.12 Layout of 3×3 pile group

表1 壓縮模量和一維回彈模量隨加載次數(shù)變化規(guī)律 Table 1 Variations of compression modulus and one-dimension resilient modulus with the number of loading and unloading

表2 計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的對(duì)比 Table 2 Comparisons between computation and test values

6 結(jié) 語(yǔ)

（1）基于層狀剪切位移法和“被動(dòng)樁”的遮攔效應(yīng)提出了柔性筏板-群樁共同作用分析方法，適用于大規(guī)模群樁支撐的柔性筏板和剛性筏板兩種問(wèn)題；進(jìn)一步借助往復(fù)荷載作用下地基壓縮模量的衰減特性提出樁筏基礎(chǔ)的長(zhǎng)期沉降分析方法。

（2）柔性筏板-群樁和剛性筏板-群樁共同作用的研究表明兩者具有不同的特性：柔性筏板內(nèi)彎矩僅與其附近的樁土支撐作用相關(guān)，從筏板中心到其邊界處彎矩呈波浪形變化；而剛性筏板由于剛度較大，從筏板中心到其邊界處的彎矩變化具有連續(xù)性，且逐漸增大。

（3）開(kāi)展加卸載往復(fù)荷載作用下剛性筏板-群樁的沉降分析，并與離心模型試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果表明本文方法可根據(jù)有限次加卸載累積沉降預(yù)測(cè)樁筏基礎(chǔ)的長(zhǎng)期沉降。

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