摘 要：例證是影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)最為重要的外部因素，它是感知、抽象和概括概念本質(zhì)屬性的重要載體。例證的選擇和使用在適切性、遷移性、簡約性、嚴(yán)密性、典型性等方面需要仔細(xì)推敲。
　　關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；概念例證；相交與平行
　　中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2011）10-0046-02
　　
　　數(shù)學(xué)概念例證是指能夠說明或代表數(shù)學(xué)概念屬性的例子，屬于概念所代表的例子叫做正例，不屬于概念所代表的一類事物的例子叫做反例。“一個好例子勝過一千條說教”，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，設(shè)計好例證，對于揭示概念屬性、概括概念定義有著非常重要的意義。
　　近期聽了“相交與平行”一課，筆者感覺本課例證的選擇和使用在適切性 、遷移性、簡約性、嚴(yán)密性、典型性等方面存在許多值得商榷的地方，引發(fā)了一些思考。
　　點擊一：從難度上看，例證的使用超越了學(xué)生的接受水平（出示課桌上的小棒與地面上的小棒所在直線是平行直線圖）
　　師：這兩根小棒，一個在桌面上，一個在地面上，會不會平行？
　　生1：會。
　　師：為什么？
　　生2：因為它們也可以延長。
　　生3：桌面上的小棒在上面，地面上的小棒在下面，桌面上的小棒無論怎樣延長，也不會延伸到地面上。
　　生4：因為桌面到地面的距離是一樣的，所以不會相交。
　　師：這位同學(xué)已經(jīng)感受到了它們不在同一平面內(nèi)，今天我們就來研究同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系。
　　【分析】可以看出，執(zhí)教老師的本意是呈現(xiàn)不同平面內(nèi)兩條直線互相平行的例證，拓寬學(xué)生對于平行的認(rèn)識，并且引出“同一平面”的概念。但是，三維空間內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系可以是相交直線、平行直線或異面直線。僅僅根據(jù)“延長后會不會相交”來判斷三維空間內(nèi)兩條直線是不是平行，這種方法是片面的。這一例證的辨析已經(jīng)超出了學(xué)生的接受水平，強(qiáng)學(xué)生所難。本環(huán)節(jié)應(yīng)該重點引出“同一平面”的概念，舍去“兩條直線是否平行”的判斷。
　　【調(diào)整】呈現(xiàn)圖（課桌上的小棒與地面上的小棒所在直線是異面直線圖）后，教師指出：這兩根小棒，一個在桌面上，一個在地面上，這兩根小棒所在的直線不在同一平面內(nèi)，像這種情況我們以后再研究，這節(jié)課我們只研究在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系。
　　點擊二：從遷移的角度看，設(shè)計的例證干擾了對概念的理解師：（出示圖1）你能發(fā)現(xiàn)互相平行的直線嗎？
　　生1：兩條鐵軌所在的直線是互相平行的。
　　師：我怎么看，這兩條直線在遠(yuǎn)處還要相交呢？
　　生2：不是，不是。
　　生3：近看的話是非常的寬廣，在遠(yuǎn)處看是越來越小。
　　師：你想表達(dá)的是近大遠(yuǎn)小，這是我們視覺上的錯覺。
　　隨后在圖2平行線的判斷中出現(xiàn)了麻煩。
　　生1：不是平行線，延長后會相交。
　　生2：是平行線，近大遠(yuǎn)小，這是視覺問題。
　　生3：對，對，就像剛才出示的鐵軌。
　　師（尷尬地）說：這兩條直線我們不把它看作生活中的鐵軌，就把它看作同一平面內(nèi)的直線，你們認(rèn)為它們會相交嗎？
　　生4（小聲說）：不會。
　　【分析】呈現(xiàn)的鐵軌圖，兩條鐵軌所在的直線近處間距大，遠(yuǎn)處間距小，從圖上看延長后會相交，學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗把它還原成生活中的場景，認(rèn)為兩條鐵軌所在的直線不會相交，是平行關(guān)系，這樣就在頭腦中建立了錯位的平行線表象，干擾了學(xué)生對平行概念的理解。以至于學(xué)生把“練一練”中間距不相等的兩條直線想象成鐵軌，認(rèn)為是平行關(guān)系，教師需要另外說明幫助學(xué)生判斷。這就使學(xué)生產(chǎn)生這樣的困惑：呈現(xiàn)的兩條直線有時能和實際聯(lián)系，有時不能和實際聯(lián)系，能不能和實際結(jié)合，由老師說了算。
　　【調(diào)整】德國心理學(xué)家艾賓浩斯說過：保持和重現(xiàn)在很大程度上依賴于有關(guān)的心理活動第一次出現(xiàn)時注意和興奮的程度。這里突出強(qiáng)調(diào)了首次感知，所以本例證應(yīng)該選用標(biāo)準(zhǔn)圖（如圖3），從圖上看兩條鐵軌所在的間距處處相等。
　　點擊三：從注意的角度看，繁多的例證弱化了對概念本質(zhì)屬性的感知。
　　師：（出示圖4），第一條和第二條直線（課件從上往下閃動這兩條直線），位置關(guān)系是怎樣的？
　　生1：第2條下面空隙大，第一條和第二條中間距離小。
　　師：你是說它們的距離是吧，老師問的是第一條直線和第二條直線的位置關(guān)系是怎樣的？
　　生3：第二條比第一條寬。（意思是：第二、三條直線的間距比第一、二條直線的大）
　　師：你是比較第一、二條之間的距離與第二、三條之間的距離，是吧？下面就來研究這兩條直線的位置關(guān)系怎樣？
　　生3：位置關(guān)系是——（語塞）。
　　師：無限延長后會相交嗎？
　　生4（齊答）：不會
　　師：那它們的位置關(guān)系是——
　　生5：平行的
　　師：真棒
　　【分析】呈現(xiàn)的平行線例證——并排在一起的4條直線，從圖上看它們的屬性有：間隔的寬窄，不相交等。由于是橫向呈現(xiàn)，間隔的變化非常明顯，間隔的大小強(qiáng)烈地刺激著學(xué)生的無意注意，很少有學(xué)生關(guān)注兩條直線是否相交。最后只好由教師硬牽著學(xué)生去發(fā)現(xiàn)平行的位置關(guān)系。
　　【調(diào)整】根據(jù)小學(xué)生注意和知覺的規(guī)律，本環(huán)節(jié)教師可以先出現(xiàn)跑道圖，再選取兩條直線，用紅色標(biāo)注，隱去背景。教師重點引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識這兩條直線的位置關(guān)系——平行。
　　點擊四：從嚴(yán)密性上看，呈現(xiàn)的例證與概念的本質(zhì)屬性似是而非。
　　師：（出示圖5）這是花樣滑冰世界冠軍在冰上的優(yōu)美身姿，從圖中可以找到哪些平行線？
　　生1：兩條腿是互相平行。
　　生2：前面的胳膊和后面胳膊。
　　師：好像是平行的。
　　生3：他們的頭互相平行。
　　生4：他們的全身也互相平行。
　　師：你想表達(dá)的是他們的軀干。
　　【分析】案例中學(xué)生的回答讓人啼笑皆非：兩位運動員的兩條腿，勉強(qiáng)可以說是平行的：兩人的手握在一起，他們的胳膊決不能說是平行的；頭可以看作兩個點，無所謂平行與不平行；把兩個人的軀干看成是平行的，也不恰當(dāng)。出現(xiàn)這種情況的癥結(jié)在于例證的不典型，學(xué)生只好牽強(qiáng)附會地瞎蒙。
　　【調(diào)整】數(shù)學(xué)教學(xué)要尊重數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)講究科學(xué)、追求嚴(yán)密。在概念教學(xué)中提供的例證要能夠為學(xué)生概念的學(xué)習(xí)提供支撐，本環(huán)節(jié)應(yīng)刪去這個例證，選擇典型性的變式例證，如秋千架的兩根吊繩、五線譜橫線等。
　　【幾點思考】例證是影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)最為重要的外部因素，它是感知、抽象和概括概念本質(zhì)屬性的重要載體，為了有利于學(xué)生開展抽象概括活動，需要教師研究例證的選擇，根據(jù)例證設(shè)計精致的教學(xué)過程，使數(shù)學(xué)概念教學(xué)更具實效。
　　1．例證的設(shè)計要符合學(xué)生的認(rèn)知水平。設(shè)計例證要充分考慮學(xué)生的接受能力，要從學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗和思維水平出發(fā)，選擇和使用例證，不能隨意拔高難度，更不能隨意下放初、高中的教學(xué)內(nèi)容，不恰當(dāng)?shù)赝卣埂Ｒ驗楝F(xiàn)在涉及部分初中、高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，受思維水平限制，學(xué)生可能會形成一些不正確的認(rèn)識，這樣先入為主，會給將來的學(xué)習(xí)制造障礙。
　　2．例證的設(shè)計要避免歧義。從學(xué)生的年齡特征出發(fā)，設(shè)計例證的外在形式要和實質(zhì)一致，才能充分發(fā)揮圖形直觀的作用，幫助學(xué)生建立清晰明確的表象，促進(jìn)學(xué)生的正遷移，充分發(fā)揮例證的說明、支持、解釋的作用。不能引入有歧義的例證 ，干擾學(xué)生對概念的認(rèn)識。
　　3．同一時間呈現(xiàn)的例證要簡潔。同時呈現(xiàn)的例證不能太多，如果例證太多，其中的無關(guān)屬性就可能得到不恰當(dāng)?shù)膹?qiáng)化而掩蓋了本質(zhì)屬性。在剛接觸概念時，要重視首次感知，教師就要為學(xué)生提供充分而準(zhǔn)確的感知材料，同一時間出示的例證最好單一，讓學(xué)生鮮明地感知對象的信息，幫助學(xué)生建立明晰的表象。
　　4．例證的設(shè)計要典型。例證越典型，概念的本質(zhì)屬性越明顯，學(xué)生也就越容易發(fā)現(xiàn)和概括。反之，如果例證不典型，其中隱含的非本質(zhì)屬性越多、越突出，就越會干擾本質(zhì)屬性的顯示，概念的學(xué)習(xí)就越困難。
　　呈現(xiàn)的例證要有效凸顯概念的本質(zhì)屬性，有利于學(xué)生抽象、概括例證中的本質(zhì)屬性；呈現(xiàn)的例證不能和概念的本質(zhì)屬性貌合神離，似是而非，牽強(qiáng)附會，給學(xué)生形成一些負(fù)面認(rèn)識。