一般來講，世界上存在的各種系統(tǒng)可以分為兩大類：簡(jiǎn)單系統(tǒng)和復(fù)雜系統(tǒng)。在簡(jiǎn)單系統(tǒng)中，局部的微小變化只會(huì)引起整個(gè)系統(tǒng)的微小變化，所以是可預(yù)測(cè)的。復(fù)雜系統(tǒng)則不同，其主要特點(diǎn)是：從內(nèi)部看，它是由相互關(guān)聯(lián)的部分所組成；從整體看，它可以展現(xiàn)出一種或多種特性，而這種特性是組成系統(tǒng)的每個(gè)單獨(dú)部分所不具有的。復(fù)雜系統(tǒng)在計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)等許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。復(fù)雜系統(tǒng)又可以分成很多不同的類型。一個(gè)典型的例子是混沌，對(duì)于混沌系統(tǒng)，初始條件的微小變化就可能導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)入完全不可預(yù)測(cè)的狀態(tài)。而沙堆模型研究的對(duì)象則是另一類稱為“自組織臨界系統(tǒng)”的復(fù)雜系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的特點(diǎn)是能通過內(nèi)部的自發(fā)演化而達(dá)到某種臨界狀態(tài)（比較不嚴(yán)格地講，可以把臨界狀態(tài)想象成為“量變引起質(zhì)變”的轉(zhuǎn)折點(diǎn)）。
　　大概有不少人在小時(shí)候都玩過沙子。如果我們將沙子一把一把地往同一個(gè)地方撒，那里就會(huì)逐漸形成一座小沙堆。開始的時(shí)候沙堆不斷增高，但到了一定的高度后，再撒上一把，沙堆不但不增高，反而會(huì)出現(xiàn)滑坡現(xiàn)象（在自組織臨界系統(tǒng)研究的“行話”里，統(tǒng)稱這類現(xiàn)象為“雪崩”）?；聛淼纳匙拥臄?shù)量沒有一定規(guī)律，可能是一大片，也可能只有幾粒。我們雖然無法預(yù)測(cè)當(dāng)一把沙子撒下去后會(huì)引起多大規(guī)模的滑坡，但可以肯定的是，出現(xiàn)小規(guī)?；碌目赡苄砸瘸霈F(xiàn)大規(guī)模滑坡的可能性大很多。如果重復(fù)很多次這種“造山—滑坡”實(shí)驗(yàn)，我們就能對(duì)出現(xiàn)的不同規(guī)模的滑坡的數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。但是用真正的沙子來進(jìn)行這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)是很難的，因?yàn)橛性S多外界因素?zé)o法控制。于是巴克（Per Bak，1948—2002）和他的博士后湯超及維森菲約德（Kurt Wiesenfeld）一起構(gòu)造了沙堆模型（一九八七），從而開創(chuàng)了自組織臨界現(xiàn)象研究的新天地。
　　沙堆模型以一個(gè)類似于圍棋盤的二維格點(diǎn)為基礎(chǔ)，棋子可被隨機(jī)放入任意一個(gè)格子里，而且允許棋子上面摞棋子。規(guī)則是一旦一個(gè)格子里的棋子摞到四個(gè)，這四個(gè)棋子就自動(dòng)移到與其相鄰的四個(gè)格子里，每個(gè)格子得到一個(gè)棋子（我們姑且把這種重新分配叫做“坍塌”）。如果一個(gè)棋子正好被移出棋盤，它就算離開了這個(gè)系統(tǒng)，不再予以考慮。當(dāng)棋盤很空的時(shí)候，新加入一個(gè)棋子不會(huì)引起什么大的反應(yīng)，基本上這個(gè)棋子落在哪兒就會(huì)待在那里，除非那里正好已經(jīng)有三個(gè)棋子，則新棋子的加入就會(huì)觸發(fā)一次“坍塌”。不過這個(gè)“坍塌”只會(huì)對(duì)周圍很小的區(qū)域有所影響。但當(dāng)棋盤已經(jīng)相對(duì)比較滿時(shí)，情況就會(huì)大為不同。
　　我們可以把“坍塌”的次數(shù)定義為“雪崩”的強(qiáng)度，在進(jìn)行很多次（比如說一百萬次）之后，就能得到非常有意義的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。經(jīng)過對(duì)這些數(shù)據(jù)的分析，巴克等人發(fā)現(xiàn)不同“雪崩”強(qiáng)度出現(xiàn)的次數(shù)N與“雪崩”強(qiáng)度E之間的關(guān)系遵從冪數(shù)律N～E-a。沙堆模型的a大約為1.1。在物理學(xué)里，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)滿足冪數(shù)律時(shí)，通常意味著這個(gè)系統(tǒng)是處于某種臨界狀態(tài)。另一方面，如果一個(gè)系統(tǒng)中某個(gè)內(nèi)部單元的變化不局限于其周邊而能引起整個(gè)系統(tǒng)的重構(gòu)，這樣的系統(tǒng)被定義為具有自組織的特性。沙堆模型這類具有自組織特性并能通過內(nèi)部自發(fā)演化達(dá)到臨界狀態(tài)的系統(tǒng)就被稱為自組織臨界系統(tǒng)。
　　沙堆模型的結(jié)構(gòu)極為簡(jiǎn)單，任何一個(gè)具有一定編程知識(shí)的人都可以在自己的個(gè)人電腦上實(shí)驗(yàn)它。這正是它的美妙之處，一個(gè)如此簡(jiǎn)單的模型卻具備了復(fù)雜系統(tǒng)最本質(zhì)的特性，簡(jiǎn)單與復(fù)雜的辯證關(guān)系在這里體現(xiàn)得淋漓盡致。如果把新加入一個(gè)棋子所引起的“雪崩”強(qiáng)度（即“坍塌”數(shù)目）等價(jià)于往沙堆上加一把沙子所引起的滑坡規(guī)模，抽象的沙堆模型就與真實(shí)的沙堆連在一起了。當(dāng)然，要想最終證實(shí)沙堆模型能正確描述真實(shí)的沙堆，必須有物理實(shí)驗(yàn)的支持。由于每粒沙子的形狀、大小、重量各異，再加上濕度對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果也有很大影響，用沙子做這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)很困難。有關(guān)沙堆模型的一個(gè)很漂亮的實(shí)驗(yàn)是由挪威奧斯陸大學(xué)的一個(gè)研究小組在一九九五年用大米做的。他們讓大米以均勻的速度落在圓形的平盤上，用高速攝像機(jī)監(jiān)測(cè)“雪崩”在二十四小時(shí)內(nèi)發(fā)生的次數(shù)和強(qiáng)度，得到的數(shù)據(jù)直接存入電腦。經(jīng)過整整一年在不同大小的圓形平盤（相當(dāng)于不同大小的系統(tǒng)）上重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，他們獲得了足夠的數(shù)據(jù)，證實(shí)米堆的確會(huì)達(dá)到自組織臨界狀態(tài)，而且“雪崩”強(qiáng)度的分布真的遵從冪數(shù)律！
　　如果自組織臨界現(xiàn)象僅與沙堆或米堆有聯(lián)系，大概并不會(huì)引起人們太多的關(guān)注。然而它卻出現(xiàn)于許多令人意想不到的領(lǐng)域中。地震就是一個(gè)絕好的例子。如果把地殼某處出現(xiàn)斷層等價(jià)于某個(gè)格子里發(fā)生“坍塌”，再把地震的級(jí)數(shù)等價(jià)于“雪崩”的規(guī)模，地震就和沙堆模型連在一起了。在地震研究中，古騰堡-芮希特定律具有很重要的意義，它告訴我們?cè)诮o定時(shí)間內(nèi)不同強(qiáng)度的地震平均發(fā)生的次數(shù)，而且次數(shù)與強(qiáng)度之間的關(guān)系恰恰滿足冪數(shù)律（這也正是沙堆模型得到的一個(gè)重要結(jié)果）。必須特別注意的是，這里所說的地震強(qiáng)度與次數(shù)的關(guān)系是統(tǒng)計(jì)平均意義下的關(guān)系。比如大約平均每年會(huì)發(fā)生十次2.5級(jí)左右的地震和一次4級(jí)左右的地震，但這絕不意味著每發(fā)生十次2.5級(jí)左右的地震就會(huì)發(fā)生一次4級(jí)左右的地震。換句話說，即使一個(gè)地方已經(jīng)很久沒發(fā)生過大震，下次地震是大震的可能性也并不會(huì)因此而增高。
　　從沙堆模型可以得到一個(gè)重要的啟示：對(duì)于自組織臨界系統(tǒng)，除非知道每一處細(xì)節(jié)部分的狀態(tài)，否則不可能從局部的變化預(yù)測(cè)整體的變化。以棋盤實(shí)驗(yàn)的例子來說，必須知道每個(gè)格子里已經(jīng)有幾粒棋子，才有可能預(yù)測(cè)在某個(gè)特定格子里新加入一粒棋子會(huì)不會(huì)引起“雪崩”以及“雪崩”的規(guī)模會(huì)有多大。再加上對(duì)于真實(shí)的系統(tǒng)（比如地震），我們甚至連下一粒棋子會(huì)落入哪個(gè)格子里都不確定，要想對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)就幾乎是不可能的了。地震預(yù)測(cè)就有點(diǎn)類似于這種情況。地殼運(yùn)動(dòng)造成斷層是引發(fā)地震的原因之一，人們可以選定一些地方對(duì)地層變化（比如應(yīng)力）進(jìn)行監(jiān)測(cè)。但是即使測(cè)到某處已達(dá)到發(fā)生斷裂的臨界狀態(tài)，仍然不能斷定什么時(shí)候會(huì)真的發(fā)生斷裂，就像不知道“下一個(gè)棋子會(huì)落入哪里”一樣。而且就算這里真的斷裂了，如果不知道其他所有相關(guān)地方的狀態(tài)，人們還是無法預(yù)知被引發(fā)的地震的強(qiáng)度。這大概就是為什么地震預(yù)測(cè)一直是個(gè)老大難問題的根本原因。
　　除了地震，地貌形成、山體滑坡、河流分支、太陽(yáng)黑子活動(dòng)、1/f噪音、商品及股票市場(chǎng)價(jià)格的漲落、交通堵塞、生物進(jìn)化及大規(guī)模物種滅絕等等許多問題都與自組織臨界現(xiàn)象有著密切的關(guān)聯(lián)。沙堆模型及其“變種”被廣泛應(yīng)用于這些領(lǐng)域，獲得了大量很有意義的成果。更有意思的是，這些模型往往能把兩個(gè)看似風(fēng)馬牛不相及的系統(tǒng)聯(lián)系在一起，從而凸顯出它們的內(nèi)在共性和可類比性。這方面一個(gè)很好的例子是，日本學(xué)者伊