摘要：本文以一道具有幾何背景的應(yīng)用題為例，談?wù)劇耙活}多解”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，通過一題多解的教學(xué)設(shè)計(jì)激發(fā)學(xué)生興趣，開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)邏輯推理能力和想象力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力. 并結(jié)合例題探討了在一題多解教學(xué)中應(yīng)該遵循的一些原則.
　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；一題多解；應(yīng)用；思維能力
　　
　　數(shù)學(xué)具有知識(shí)的發(fā)散性、推理的嚴(yán)密性和思想的延展性. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就要求學(xué)生具有邏輯推理能力和一定的想象力.新課標(biāo)指出：全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要途徑是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，但在實(shí)際教學(xué)過程中過多過密的解題訓(xùn)練，制約學(xué)生思維能力的發(fā)展、基本技能的形成，同時(shí)使學(xué)生更加疲勞，降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 一題多解既能激發(fā)學(xué)生興趣，又能開拓學(xué)生思路，是培養(yǎng)思維品質(zhì)的一種教學(xué)手段. 下面將以一道幾何為背景的應(yīng)用題為例，談?wù)劇耙活}多解”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.
　　例題：如圖1，將寬AB為6 cm的矩形紙片的左下角△BDE折起，使得頂點(diǎn)B落在矩形的頂邊上，記折痕的長(zhǎng)度為l，求l的最小值.
　　
　　圖1
　　下面是筆者的三種解法.
　　解法一：設(shè)∠BDE=θ，則∠CDE=θ，BC=CD=lcosθ.
　　因?yàn)椤螩AD=π－∠CDE－∠BDE=π－2θ，所以AD=CDcos（π－2θ）=－lcosθcos2θ.
　　因?yàn)锳B=AD+BD=6，
　　所以－lcosθcos2θ+lcosθ=6，
　　所以l=.
　　因?yàn)?<π－2θ<，0<θ<，
　　所以<θ<.
　　令f（θ）===<θ<，
　　u=cosθ?sin2θ=cosθ?（1－cos2θ），t=cosθ，則t∈0，，u=t（1－t2）.
　　解法二：如圖2，以AB所在直線為y軸，以BE所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)D（0，y0）（00），C（m，6）（m>0）.
　　直線DE的方程為：y=－（x－t）.
　　又因?yàn)锽，C關(guān)于直線DE對(duì)稱，
　　所以?－=－1，3=－t?圯t2=?搖（0　　于是l2=y+t2=y+. 令v=y0－3，v∈（0，3），則f（v）=l2=v2+9v++27，v∈（0，3）.
　　解法三：過C作CM∥AB交DE于點(diǎn)M，連結(jié)BM，則由題意可知CM=MB，CM⊥AC，AC為定直線，B是不在AC上的定點(diǎn)，由拋物線的定義可知：M點(diǎn)的軌跡是以AC為準(zhǔn)線，B為焦點(diǎn)的拋物線弧. 折痕是拋物線的切線. 如圖3，以AB所在直線為y軸，以AB的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系.
　　M點(diǎn)的軌跡方程為x2=－12y，l是以M（x0，y0）為切點(diǎn)的拋物線y=－x2的切線，切線的斜率為k=－x0，直線CE：y－y0=－（x－x0）.
　　令y=－3，得x=x0+，
　　所以Ex0+，－3.
　　令x=0，得y=x+y0，
　　所以C0，x+y0；
　　CE2=x0+2+x+y0+32=x+12（y0+3）++x+y0+32
　　又因?yàn)閤+12y0=0，
　　所以CE2=36－+（y0－3）2=y－9y0－+27.
　　一題多解不是課堂上簡(jiǎn)單的羅列，它要求上課的實(shí)施者精心選題，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況加以引導(dǎo)、穿插，使得學(xué)生積極參與、產(chǎn)生共鳴，才能實(shí)現(xiàn)意想不到的效果. 筆者結(jié)合自己上課的實(shí)際過程談?wù)勛约涸谶@方面的一些看法.
　　一題多解必須服務(wù)于課堂的整體目標(biāo).上述例題是在高三學(xué)生一輪復(fù)習(xí)剛結(jié)束，學(xué)生對(duì)各知識(shí)段已經(jīng)基本掌握，但沒有形成完整的知識(shí)體系，各知識(shí)之間的聯(lián)系未能很好建立的情況下出現(xiàn)的，教學(xué)的主要任務(wù)是盡快的讓學(xué)生將高中知識(shí)融為一體. 例題的三種解法囊括的高中數(shù)學(xué)的三角、解幾、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，如此與課堂目標(biāo)是一致的. 如果例題是在新授課階段實(shí)施教學(xué)就有喧賓奪主之嫌，學(xué)生一時(shí)難以掌握這三種解法，為了理解不同的解法而忽視了課堂的重點(diǎn)，學(xué)生感受到的只有數(shù)學(xué)的壓力，無法享受數(shù)學(xué)的樂趣.
　　一題多解中，學(xué)生應(yīng)該是課堂的主體. 一題多解的教學(xué)過程很容易變成教師的一言堂，學(xué)生淪落為聽眾和記錄員. 教師洋洋得意的將自己的好的解法羅列在黑板上，學(xué)生獲得的是羨慕和崇拜：“這題有這么多的解法”“我們的數(shù)學(xué)老師真厲害、聰明”，學(xué)生獲得的是懊惱和自卑：“我連一種解法都沒能想到”“數(shù)學(xué)太難了”“看來我不是學(xué)數(shù)學(xué)的料子”. 一題多解的教學(xué)應(yīng)該將學(xué)生推到解決問題的前沿，教師僅是一個(gè)導(dǎo)演或策劃者. 以例題為例，首先了解學(xué)生題目解決的現(xiàn)狀. 筆者發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)學(xué)生用的解法一，部分學(xué)生想到建立直角坐標(biāo)系，有幾位學(xué)生想到教材中的折疊折痕是拋物線，但沒有辦法解決. 對(duì)于解法一，課堂的策劃是學(xué)生分組討論，由學(xué)生展現(xiàn)思維過程，教師歸納總結(jié). 對(duì)于解法二，課堂的策劃是教師設(shè)計(jì)一組問題：（1）為什么要建立直角坐標(biāo)系？它的優(yōu)點(diǎn)是什么？條件有何特征時(shí)可以考慮建系？（2）如何建系合理？已知條件如何轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系中？（3）折疊對(duì)稱在解幾中的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化是什么？（4）常見的求最值的方法有哪些？學(xué)生通過獨(dú)立思考基礎(chǔ)上的小組合作就不難解決了. 對(duì)于解法三，課堂的策劃是注重引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、思維的擴(kuò)散，強(qiáng)化各知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的有趣的聯(lián)系.
　　在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中，有很多的學(xué)生總是感覺自己的時(shí)間不夠用，數(shù)學(xué)有無窮無盡的題目；題目好像做不會(huì)，教師課堂上講的時(shí)候懂了，過兩天再去看又不會(huì)了；有的題目感覺弄懂了，只要稍微進(jìn)行變式，自己又不會(huì)了. 如此學(xué)生痛苦不已，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼，惡性循環(huán). 學(xué)生有如此感覺，筆者認(rèn)為，其一，學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握不到位，僅是機(jī)械的記憶，缺少深刻的理解，沒有形成知識(shí)體系；其二，學(xué)生沒有將問題進(jìn)行歸納整理，疲于應(yīng)付無窮無盡的題目的計(jì)算、訂正. 一題多解，就是啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同思路，運(yùn)用不同的方法和不同的運(yùn)算過程，解答同一道數(shù)學(xué)問題. 如此學(xué)生不僅能解決一類問題，而且可以從不同的角度訓(xùn)練其思維.
　　一題多解激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 一題多解的教學(xué)過程中，學(xué)生獲得了成就感. 他們的解題方法、思路、想法有機(jī)會(huì)在同學(xué)面前展現(xiàn)，獲得教師的認(rèn)可，能清楚地意識(shí)到自己在學(xué)習(xí)中的創(chuàng)造性和自學(xué)的能力，極大增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情. 絕大多數(shù)學(xué)生也能積極地參與到學(xué)習(xí)過程中，而不是被動(dòng)地接受，這種參與、合作構(gòu)建出的解題思路同樣有一種成就感，同樣也能感受數(shù)學(xué)的樂趣.
　　一題多解強(qiáng)化了學(xué)生的邏輯思維.心理學(xué)研究表明，在解決問題的過程中，如果主體所涉及的不是標(biāo)準(zhǔn)的模式化的問題，那么就需要?jiǎng)?chuàng)造性的思維，需要解決問題的策略，而策略的獲得及證明正確的過程常常被認(rèn)為是創(chuàng)造的過程或解決問題的過程. 數(shù)學(xué)問題的解題策略是指探求數(shù)學(xué)問題的答案時(shí)所采取的途徑和方法，一題多解則是眾多解題策略的綜合運(yùn)用. 例題中解法一中設(shè)角，利用三角減少未知量的個(gè)數(shù)，利用函數(shù)求最值；解法二中規(guī)范圖形，建立直角坐標(biāo)系，折疊聯(lián)系到解幾的對(duì)稱問題；解法三中折痕聯(lián)系到拋物線的軌跡等，這些想法、思路都在培養(yǎng)學(xué)生的思維.
　　作為教師，一定要充分認(rèn)識(shí)一題多解的教學(xué)優(yōu)勢(shì)，掌握一題多解的教學(xué)技能，適時(shí)地安排一題多解的教學(xué)，以助取得良好的教學(xué)效果.