摘要：本文通過(guò)實(shí)例，對(duì)函數(shù)在開區(qū)間上的值域和最值問(wèn)題進(jìn)行了探討. 在高中數(shù)學(xué)里沒(méi)有給出嚴(yán)格的極限概念的基礎(chǔ)上，筆者對(duì)運(yùn)用極限的有關(guān)內(nèi)容求解值域進(jìn)行了思考與分析．
　　關(guān)鍵詞：函數(shù)；最值；值域；無(wú)窮
　　
　　引例：求函數(shù)f（x）=x+，x∈（－∞，0）∪（0，+∞）的值域．
　　學(xué)生甲：若x>0，則x+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”；若x<0，則x+=－［（－x）+（－）］≤－2= －2，當(dāng)且僅當(dāng)x=－1時(shí)取“=”． 故函數(shù)f（x）=x+的值域?yàn)椋ǎ?，?］∪［2，+∞）．
　　學(xué)生乙：函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，+∞），f′（x）=1－=，令f′（x）=0，得x=±1，列表如下：
　　
　　所以，當(dāng)x=－1時(shí)，f=－2；當(dāng)x=1時(shí)，f=2；所以，函數(shù)f（x）=x+的值域?yàn)椋ǎ蓿?］∪［2，+∞）．
　　從目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的要求來(lái)說(shuō)，上述兩種解法都是沒(méi)有問(wèn)題的，但細(xì)細(xì)想來(lái)，兩種解法存在著同一個(gè)缺陷，即沒(méi)有考慮到 0與無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)值的變化情況，默認(rèn)x趨于無(wú)窮大時(shí)，y也趨于無(wú)窮大. 這是大部分學(xué)生存在的一個(gè)認(rèn)識(shí)誤區(qū)，比如反比例函數(shù)y=－在（0，+∞）上單調(diào)遞增，但當(dāng)x→+∞時(shí)，y→0-，并不趨于無(wú)窮大；再如函數(shù)y=1－x，雖然在（－∞，+∞）上單調(diào)遞增，但當(dāng)x→+∞時(shí)，y→1等，從圖象上看，這些函數(shù)的圖象會(huì)被某條直線攔住而到不了無(wú)窮大．對(duì)于函數(shù)f（x）=x+，是不是也會(huì)有某條直線把它的圖象攔住呢？事實(shí)上，當(dāng)x→+∞時(shí)，→0+，所以x+→+∞；當(dāng)x→0+時(shí)，→+∞，所以x+→+∞；當(dāng)x→－∞時(shí)，→0-，所以x+→－∞；當(dāng)x→0-時(shí)，→－∞，所以x+→－∞．
　　在0與無(wú)窮遠(yuǎn)處函數(shù)值都沒(méi)有被攔住，都趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，因此函數(shù)f（x）=x+的值域?yàn)椋ǎ?，?］∪［2，+∞）是正確的．
　　隨著對(duì)導(dǎo)數(shù)的進(jìn)一步研究，我們可以處理越來(lái)越復(fù)雜的函數(shù)，雖然高中數(shù)學(xué)教學(xué)只要求掌握“連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題”，但開區(qū)間上的值域與最值問(wèn)題會(huì)不時(shí)地闖入我們的視線．
　　例1（南通市2009屆高三第二次調(diào)研第19（3）題）已知函數(shù)f（x）=x－k（x≥2，k為常數(shù)），求f（x）的值域．
　　解析f ′（x）=1－=，令f ′（x）=0，得=kx． 當(dāng)k≤0時(shí)，因?yàn)閤≥2，所以－kx≥0，因而f′（x）≥0，于是f（x）在［2，+∞）上單調(diào)遞增，因此fmin（x）=f（2）=2－k；又因?yàn)楫?dāng)x→+∞時(shí)，→+∞，－k→+∞，所以f（x）=x－k→+∞． 此時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?－k，+∞）． 當(dāng)k>0時(shí)，對(duì)=kx兩邊平方，得x2－2=k2x2，即（1－k2）?x2=2（*）． ①當(dāng)k≥1時(shí)，（*）無(wú)解. 因?yàn)閗x≥x=>，所以f′（x）<0恒成立，于是f（x）在［2，+∞）上單調(diào)遞減，因此f（x）max=f（2）=2－k． 又有f（x）=x－k==，若k>1，則當(dāng)x→+∞時(shí)，→0，→0，（1－k2）x→－∞，所以f（x）→－∞，此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋ǎ蓿?－k］. 若k=1，則當(dāng)x→+∞時(shí)，x+→+∞，所以f（x）=x－=→0+． 此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋?，2－k］. ②?搖當(dāng)00，所以f（x）在，+∞上單調(diào)遞增，因此當(dāng)x=時(shí)，f（x）取到極小值． 又當(dāng)x→+∞時(shí)，→0，→0，（1－k2）x→+∞，所以f（x）→+∞． 此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋郏?∞）． 若00恒成立，所以f（x）在［2，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）min=f（2）=2－k. 又當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞． 此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋?－k，+∞）．
　　綜上所述，當(dāng)k≤時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?－k，+∞）；當(dāng)1時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋ǎ蓿?－k］.
　　點(diǎn)評(píng)：與引例相比，這是一道直接的值域問(wèn)題，大部分學(xué)生被打了個(gè)措手不及，得分率相當(dāng)?shù)停?難度不僅僅體現(xiàn)在多層次的分類討論上，還體現(xiàn)在缺乏對(duì)+∞處函數(shù)值趨勢(shì)的討論，即使有極少部分學(xué)生想到要考慮+∞處函數(shù)值的變化趨勢(shì)，也沒(méi)有考慮清楚，如當(dāng)k>0時(shí)，若x→+∞，則k→+∞，f（x）=“+∞”－“+∞”趨向于什么就不知道怎樣處理了．
　　例2已知函數(shù)f（x）=x2－2alnx，其中a為正實(shí)數(shù)，試證明：方程f（x）=2ax有唯一解的充要條件是a=．
　　證明方程f（x）=2ax，即x2－2alnx=2ax，即x2=2a（lnx+x）． 因?yàn)閤>nLluSvOBAeQF8RBJOXaw7jVWZXsOOAUi5t3gcCjqZXQ=0，a>0，所以方程可同解變形為=． 令g（x）=，x∈（0，+∞），則g′（x）=． 當(dāng)x=1時(shí)，g′（x）=0；當(dāng)00；當(dāng)x>1時(shí)，g′（x）<0，所以x=1是g′（x）=0的唯一解，且g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，因此當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取到極大值1． 又因?yàn)閤→+∞時(shí)，→0+，→0+，所以g（x）==+→0+；當(dāng)x→0+時(shí)，lnx→－∞，x2→0+，所以g（x）==→－∞． 因此g（x）的簡(jiǎn)圖如圖1：由圖及a>0知，當(dāng)且僅當(dāng)=1，即a=時(shí)，直線y=與曲線g（x）=只有一個(gè)交點(diǎn)，因此方程x2－2alnx=2ax有唯一解的充要條件是a=．
　　點(diǎn)評(píng)該題的標(biāo)準(zhǔn)答案是將方程變形為x2－2alnx－2ax=0，然后研究函數(shù)y=x2－2alnx－2ax的圖象與x軸的關(guān)系，感興趣的讀者可試一試，體會(huì)一下中間會(huì)遇到的困難． 筆者對(duì)方程采取了“分離參數(shù)”的變形技巧，但沒(méi)有按常規(guī)方法變形為a=，而是變形成了=，原因是方程x+lnx=0是有解的，而且函數(shù)y=（x≠x0，x0為方程x+lnx=0的解）的圖象研究起來(lái)會(huì)較困難．
　　函數(shù)y=的定義域?yàn)椋?，x0）∪（x0，+∞），其中x0為方程x+lnx=0的根（可以證明方程x+lnx=0有唯一解），所以除了要考慮開區(qū)間端點(diǎn)0與+∞處函數(shù)值的變化情況，還要考慮x0左右兩邊函數(shù)值的取值情況． x=x0是函數(shù)y=的一個(gè)間斷點(diǎn)，體現(xiàn)在圖象上將成為一條漸近線，學(xué)生平時(shí)對(duì)這種不連續(xù)函數(shù)接觸不多，沒(méi)有足夠的辦法來(lái)處理像0、∞、x0這樣的開區(qū)間端點(diǎn)，甚至連要去處理的意識(shí)都沒(méi)有，所以這種方法顯然要求太高． 如果不分參，就將面對(duì)函數(shù)y=x2－2alnx－2ax，x>0，這個(gè)含參數(shù)a的不確定函數(shù)處理起來(lái)也是相當(dāng)困難的，因此筆者采用了改良后的分離參數(shù)法（如上）． 雖然該解法中的函數(shù)g（x）=，x∈（0，+∞）比y=，x∈（0，x）∪（x0，+∞）簡(jiǎn)單了很多，但還是避免不了對(duì)0和+∞處函數(shù)值的變化趨勢(shì)做分析． 苦于高中教材中沒(méi)有求極限的法則，因此只能憑借“x”“x2”“”“l(fā)nx”等基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合一些簡(jiǎn)單的極限加減運(yùn)算法則作出合理的推測(cè)，一旦成功，此法顯然優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)答案的不分參法．
　　目前的高中數(shù)學(xué)教材中并沒(méi)有系統(tǒng)的極限知識(shí)，就連導(dǎo)數(shù)的概念也是跳過(guò)了抽象的極限的定義而建立在了形象的“逼近”的基礎(chǔ)上，因此，學(xué)生遇到類似的問(wèn)題通常會(huì)感到比較困難． 但“逼近”的思想在教材里卻出現(xiàn)了多次，如反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)圖象的漸近線，球的體積公式的推導(dǎo)，雙曲線的漸近線方程的證明，定積分與導(dǎo)數(shù)的概念等，在平時(shí)的教學(xué)中，我們要充分利用這些素材，讓學(xué)生充分感知什么叫“無(wú)限靠近”． 雖然在高中階段補(bǔ)充高等數(shù)學(xué)中的極限的定義和各種求極限的法則是不現(xiàn)實(shí)的，但遇到類似問(wèn)題時(shí)補(bǔ)充一些極限的小結(jié)論或變形的技巧還是可以的，如例1中先對(duì)f（x）分子有理化，然后分子分母同除以x，再利用學(xué)生容易理解的結(jié)論“當(dāng)x→+∞時(shí)，→0，n∈N” 來(lái)求出f（x）的極限值．近幾年一些大學(xué)的自主招生搞得越來(lái)越轟轟烈烈，自主招生考試題中有關(guān)極限的題目也隨處可見(jiàn)，因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)補(bǔ)充一些簡(jiǎn)單的極限知識(shí)是非常有必要的．