摘要：本文以一節(jié)公開課的一個片段為背景，對該片段的教學進行了再設計， 從中分析了能夠解釋數(shù)學本質的簡單想法不被學生所理解的原因，并提出教學實踐中需要建立豐富聯(lián)系來幫助學生理解數(shù)學的建議.
　　關鍵詞：數(shù)學理解；案例研究
　　
　　問題提出
　　2010年10月，筆者所在學校的數(shù)學教研組開展教研活動，一位教齡近十年的中年教師開設了公開課，內容是高一年級的“函數(shù)的單調性”新授課.教師在教完“增函數(shù)”的概念后，為了檢測學生對“增函數(shù)”的概念是否真正理解，教師給出了1個課堂練習，課堂上的師生活動情況是這樣的：
　　問題1：已知函數(shù)f（x）的定義域為［－2，2］，當x1=－2，x2=2時，有f（x1）　　學生1：是增函數(shù). 根據(jù)增函數(shù)的定義，x1和x2是定義域里的兩個自變量，且當x1　　學生2：好像有問題.x1=－2，x2=2剛好是區(qū)間的兩個端點.
　　教師：大家有沒有不同意見？
　　學生：……（沉默）
　　教師：大家有沒有注意到增函數(shù)定義中兩個自變量的值在定義域內某個區(qū)間上是“任意”取的？
　　學生：……（沉默）
　　教師：判斷增函數(shù)的時候一定要看是否對區(qū)間上“任意”兩個數(shù)x1和x2，當x1　　教師認為學生并沒有完全理解單調性的概念，又給出了一個補充問題.
　　問題2：已知函數(shù)f（x）的定義域為［0，+∞），若對任意x2>0，都有f（x2）>f（0），能否判斷f（x）在［0，+∞）上為增函數(shù)？
　　學生：不能判斷f（x）在［0，+∞）上為增函數(shù).
　　教師：為什么？
　　學生：因為0作為x1是固定的，不是任取的，不符合增函數(shù)定義.
　　教師：好！我們可以舉出反例，比如看這個函數(shù)f（x）=0，x=0，，x>0，它符合題目的條件，但顯然在［0，+∞）上不是增函數(shù).
　　教師：理解增函數(shù)定義有個簡單想法，“一看”：看自變量是固定的還是任意的；“二驗證”：用特殊函數(shù)驗證.
　　
　　問題分析
　　學生對增函數(shù)的定義真正理解了嗎？課后對這一個教學環(huán)節(jié)進行的討論中主要有兩種看法：一部分教師認為，為了讓學生理解增函數(shù)的概念，教師教法切合學生實際理解力水平. 把對高一新生比較抽象的概念的理解過程可操作化，尤其是“一看二驗證”兩個步驟明白、簡潔、易懂，并且認為掌握了“一看二驗證”可以解決目前碰到的大部分判斷增函數(shù)的問題；另一種觀點是對此有質疑，認為“一看二驗證”兩個步驟表面上看明白、簡潔、易懂，但這樣的教學處理方式真的有助于學生認識到出錯的原因和所學知識的本質嗎？
　　學生情況究竟是怎么樣呢？課后對學生的訪談中發(fā)現(xiàn)，大部分學生覺得并沒有比較“舒服”地理解增函數(shù)的定義（學生原話），他們最糾結的竟然是為什么一定要用驗證而不用直接推理.
　　“一看二驗證”看上去簡單，但實質上“遷就”了學生的理解力，更由于思維方式上的差異，學生并不接受教師認為的簡單方法. “遷就”學生的理解力的教學是無為教學，高中數(shù)學課堂教學核心問題是幫助學生完成在現(xiàn)有學習能力下向高認知學習任務難度的攀升.
　　
　　改進后的教學行為
　　1. 探求新的教學思路
　　新的教學設計著重考慮：（1）利用直觀圖形啟發(fā)學生的思維，通過學生的自主探究活動，既包含外部操作性活動，也包括內在思維性活動，幫助學生完成單調性定義從感性認識到理性認識的飛躍；（2）設計適當?shù)摹颁亯|”（有層次推進的策略），既為學生提供豐富的聯(lián)系，又為學生提供必要的思維階梯，幫助學生完成在現(xiàn)有學習能力下向高認知學習任務難度的攀升.
　　?搖 問題1：下面是我市2—10月氣溫變化的圖象，但有一部分破損了，請你補充完整并說出你的理由.
　　
　　圖1
　　問題提出后學生思考積極，課堂觀察發(fā)現(xiàn)一開始體現(xiàn)出的是思維呆板性的一面，學生得到的比較多的是圖1或圖2，但稍后就有學生畫出其他圖形，如圖3
　　
　　圖2
　　
　　圖3
　　
　　圖4
　　問題2：若f（x）的定義域為［-2，2］，當x1=－2，x2=2時，有f（x1）　　問題3：若f（x）的定義域為［-2，2］，當x1=－2，x2=2時，有f（x1））成立，f（x）在［-2，2］上不是增函數(shù)，這和增函數(shù)的定義有矛盾嗎？
　　學生1：不矛盾，
　　教師：為什么？
　　學生2：x1=－2，x2=2只是兩個特殊值，增函數(shù)要求兩個數(shù)x1和x2是任意值（答案擠壓出來了）.
　　教師：為什么要求是任意值？
　　學生3：增函數(shù)“時時刻刻是在增加的”呀（學生的個性化理解產生了）！
　　教師：“時時刻刻是在增加的”通過什么式子體現(xiàn)？
　　學生4：對區(qū)間上“任意”兩個數(shù)x1和x2，當x1　　2. 答案是怎樣擠壓出來的
　　改進后的教學行為更貼近學生的真實思維過程，教師設計了適當?shù)摹颁亯|”讓學生在現(xiàn)有學習能力下完成單調性定義從感性認識到理性認識的飛躍. 問題1的作用是借助圖象，讓自變量變化與函數(shù)值對應變化關系外顯成學生的感受，這種“感受”是不可缺省的，數(shù)學中抽象概念的理解都是依據(jù)這種“感受”實現(xiàn)的. 同時問題2、問題3為學生構建新的認知沖突，并讓原來的“感受”在新的問題情景中借助數(shù)學語言建立合理的邏輯聯(lián)系，這個過程是最有意義的學習，學生進行了多層次的分析、判斷、合理化解釋的思維活動，擠壓出新的答案，并獲得了個性化理解.
　　
　　思考與建議
　　1. 簡單的想法并不是學生最容易理解的
　　在教學實踐中有一個非常普遍的現(xiàn)象，教師喜歡用反例來說明問題（因為簡潔、明了），覺得這樣想是最簡單的，潛意識地認為學生也應該沿這個方向去思考. 事實上，學生喜歡用推理來說明問題.為什么會有這樣的現(xiàn)象？深層次的原因是只有對知識理解到位的個體才有產生舉反例的思維活動的傾向. 大部分學生面對一個并沒有完全理解的知識時，他總是試圖去“論證”它，而不是去“否決”它. 一開始思考時，教師就讓學生用反例來思考解決，學生的心理感覺當然不“舒服”. 本案例中教師通過舉反例來說明自變量的任意性，雖然從數(shù)學說理的角度來看是最簡單的，但是學生不認為是容易理解的. 這一對矛盾，本原上分析是教師數(shù)學思維和學生數(shù)學思維的差異，究其原因是學生的數(shù)學理解的形成必須要以學生的自主數(shù)學思維活動為前提，這種思維活動既有操作性活動成分，也包括邏輯性活動成分. 在個體數(shù)學理解的形成過程中，通過積極的智力參與，主動的外部活動過程逐步內化為主體內部的心理活動過程，并從中形成主體的內心體驗，一種基于個體自身結構特征的數(shù)學理解才能得以初步形成，這是一個不可簡化的過程.
　　2. 建立豐富聯(lián)系是幫助學生理解數(shù)學的最有效的教學
　　要對數(shù)學知識形成真正的理解，這意味著學生經歷了數(shù)學知識由細碎的、片段的到結構化的整合過程，而希爾伯特教授則用信息的內部表示和構成方式來描述理解，他說“我們認為一個數(shù)學的概念、方法或事實是理解了的，是指它成了內部網絡的一個部分. 更確切地說，數(shù)學是理解了的，是指它的智力表示成了表示網絡的一個部分. 理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強度來確定的.” 既然理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強度來確定的，這就是說建立豐富聯(lián)系是幫助學生理解數(shù)學的最有效的教學.
　　面對新的數(shù)學知識，學生更希望有一種自然的邏輯方式去認知，教學中有些簡單的想法，的確能揭示某一方面的數(shù)學本質，教師覺得對學生理解是非常有效的，然而事實證明并非如此，因此教師在教學中需要建立豐富聯(lián)系來幫助學生理解數(shù)學.