摘要：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一直是困擾學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn)，也是教師教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)樵谟懻摰倪^程中滲透著學(xué)生不太容易掌握的數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想方法. 本文主要通過具體的、詳實(shí)的教學(xué)案例展示筆者對(duì)這部分教學(xué)的處理方式，通過筆者的精心預(yù)設(shè)、師生間的精彩互動(dòng)、學(xué)生的主動(dòng)生成，展現(xiàn)了讓筆者感悟深刻的一節(jié)課.
　　關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；最值；閉區(qū)間；對(duì)稱軸
　　
　　教學(xué)內(nèi)容分析
　　本節(jié)課是高三第一輪復(fù)習(xí)課，二次函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的重點(diǎn)內(nèi)容，它與其他章節(jié)有著密切的聯(lián)系，為此，學(xué)生必須把二次函數(shù)問題理解得比較清晰.對(duì)于二次函數(shù)的整體內(nèi)容，筆者分成了兩大節(jié)來(lái)處理. 一節(jié)是二次函數(shù)的基本知識(shí)及其運(yùn)用，另一節(jié)是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，這是運(yùn)用二次函數(shù)解決的常見問題，并且是個(gè)難點(diǎn).本節(jié)課屬于第二大節(jié)，希望通過學(xué)生自己動(dòng)手，在處理問題的過程中加深對(duì)二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題的理解，同時(shí)感受新的學(xué)習(xí)方式帶來(lái)的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.
　　
　　學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析
　　由于是高三第一輪復(fù)習(xí)課，學(xué)生再次接觸到二次函數(shù)的相關(guān)問題已經(jīng)不太陌生. 但由于間隔時(shí)間比較長(zhǎng)，大部分學(xué)生有所遺忘，且部分學(xué)生學(xué)習(xí)的依賴性較強(qiáng)，學(xué)習(xí)的信心不足，對(duì)數(shù)學(xué)存在或多或少的恐懼感. 因此，需要教師精心設(shè)計(jì)，做好準(zhǔn)備工作，充分體現(xiàn)教師的“導(dǎo)演”角色，讓學(xué)生能在復(fù)習(xí)的過程中加深理解且增加對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣. 通過指導(dǎo)，教會(huì)學(xué)生獨(dú)立思考、大膽探索和靈活運(yùn)用類比、轉(zhuǎn)化、歸納、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.
　　
　　設(shè)計(jì)思想
　　學(xué)生是教學(xué)的主體，本節(jié)課要給學(xué)生提供各種參與課堂的機(jī)會(huì). 為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生化被動(dòng)為主動(dòng)，本節(jié)課的教學(xué)中筆者引導(dǎo)學(xué)生從最基本的二次函數(shù)在已知閉區(qū)間上的最值出發(fā)，通過不斷地變動(dòng)區(qū)間，從中總結(jié)出求二次函數(shù)閉區(qū)間上最值的基本解題思路，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的必要性.在教學(xué)重、難點(diǎn)上，筆者步步設(shè)問、啟發(fā)學(xué)生的思維，通過課堂練習(xí)、探究活動(dòng)，用討論的方式來(lái)加深理解，力求很好地突破難點(diǎn)和提高教學(xué)效率，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，充分地動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán).
　　
　　教學(xué)目標(biāo)
　　1． 通過學(xué)生不斷地探究，掌握二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解方法；
　　2． 在學(xué)習(xí)過程中滲透分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法；
　　3. 培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)以及類比、分析、歸納的能力.
　　
　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
　　重點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求解方法；
　　難點(diǎn)：滲透分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.
　　
　　教學(xué)過程實(shí)錄
　　1. 知識(shí)回顧、提出問題（約7分鐘）
　　筆者首先請(qǐng)每個(gè)學(xué)生在事先準(zhǔn)備好的紙上將自己對(duì)二次函數(shù)的認(rèn)識(shí)記錄下來(lái). 然后筆者請(qǐng)幾位學(xué)生講一下他們所寫的內(nèi)容. （下面附三位學(xué)生的記錄材料）
　　
　　
　　
　　設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的自我回顧，查看學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的印象，同時(shí)正好是對(duì)二次函數(shù)基本知識(shí)的復(fù)習(xí)整理.
　　教師：二次函數(shù)最常見的運(yùn)用是什么？
　　學(xué)生1：求函數(shù)最值.
　　學(xué)生2：求區(qū)間上的最值.
　　設(shè)計(jì)意圖：由此引出課題二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.
　　教師：好，那么如何求解二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值？大家可以討論一下.
　　學(xué)生：先看二次函數(shù)的開口方向，再看對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分對(duì)稱軸在區(qū)間左邊、中間、右邊三種情況討論.
　　教師：非常好，看來(lái)同學(xué)們對(duì)求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值掌握得比較好.下面我們就具體地來(lái)操作一下.
　　2. 師生互動(dòng)、加深理解（約30分鐘）
　　教師：以函數(shù)f（x）=x2－2x+2為例，我們來(lái)研究二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.
　?。?）求f（x）=x2－2x+2，x∈R的最值；
　　學(xué)生：將f（x）=x2－2x+2變形為f（x）=（x－1）2+1，得對(duì)稱軸為x=1，然后畫草圖知，f（x）min=f（1）=1，無(wú)最大值.
　　教師：很好. 下面請(qǐng)每位同學(xué)自行給定三個(gè)閉區(qū)間，寫出相應(yīng)的最值，并請(qǐng)大家展示他所給定的三個(gè)區(qū)間及最值.
　　學(xué)生1：區(qū)間［－1，1］；區(qū)間［1，3］；區(qū)間［1，2］；
　　由圖象可得三個(gè)閉區(qū)間上的最值分別為：?搖?搖f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（－1）=5；f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（3）=5；f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（2）=2.
　　原先設(shè)計(jì)：學(xué)生所給區(qū)間與對(duì)稱軸的三種位置關(guān)系都有，但學(xué)生給出的區(qū)間類型不夠.為此，筆者只能想辦法補(bǔ)充其他情形.
　　教師：我們一起來(lái)看看剛給出的三個(gè)區(qū)間都有什么特點(diǎn).
　　學(xué)生：分別是在對(duì)稱軸的左邊和右邊.
　　教師：那如果區(qū)間包含對(duì)稱軸呢？
　　筆者再請(qǐng)一位學(xué)生給出一個(gè)區(qū)間.
　　學(xué)生2：要看區(qū)間端點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離，如區(qū)間［－1，4］，f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（4）=10.
　　設(shè)計(jì)意圖：用一些比較簡(jiǎn)單的區(qū)間來(lái)求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，為引出二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值做準(zhǔn)備；同時(shí)讓學(xué)生自行給出區(qū)間計(jì)算，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和欲望.
　　教師：總結(jié)上面的幾種情形，我們發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)在閉區(qū)間上總有最大值和最小值.那么，解題的關(guān)鍵是什么呢？
　　學(xué)生：畫出函數(shù)草圖，判斷對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系.
　　師：接下來(lái)，我們把區(qū)間進(jìn)一步的變化，讓已知不動(dòng)的區(qū)間“動(dòng)起來(lái)”.
　　學(xué)生相互討論，有部分學(xué)生不知道如何讓區(qū)間“動(dòng)起來(lái)”.
　　因此，進(jìn)一步提問：怎樣才能讓區(qū)間“動(dòng)起來(lái)”？
　　學(xué)生：讓區(qū)間端點(diǎn)變成變量.
　　教師：好，那么我們先動(dòng)一個(gè)端點(diǎn)，請(qǐng)大家給出你自己的區(qū)間，并寫最值.
　　學(xué)生：區(qū)間［a，3］，討論對(duì)稱軸x=1與x=a的大小關(guān)系.
　　教師：分類討論后，我們只需要依據(jù)圖象“看圖說(shuō)話”，寫最值即可.
　　設(shè)計(jì)意圖：針對(duì)學(xué)生對(duì)上述問題的研究，進(jìn)一步地加深難度，使問題從已知閉區(qū)間到一個(gè)端點(diǎn)變化的動(dòng)區(qū)間，激發(fā)學(xué)生探究問題的興趣；對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合、分類討論）的滲透.
　　教師：再進(jìn)一步，我們能不能讓兩個(gè)端點(diǎn)都“動(dòng)起來(lái)”，那么最值又如何求解？比如區(qū)間［a，a+3］.
　　學(xué)生1：要分類討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系. 具體過程如下：
　　當(dāng)a+3≤1，即a≤－2時(shí)，f（x）max=f（a），f（x）min=f（a+3）；
　　當(dāng)a≤1　　當(dāng)a>1時(shí)，f（x）min=f（a），f（x）max=f（a+3）.
　　學(xué)生2：最大值還要繼續(xù)分類討論.我有兩種分類討論方法.
　　法一：看區(qū)間端點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離分類.
　　若1－a≤a+3－1，即－≤a≤1時(shí)，f（x）max=f（a+3）；
　　若1－a>a+3－1，即－2　　法二：看區(qū)間端點(diǎn)與區(qū)間中點(diǎn)a+的位置關(guān)系.
　　若a≤1≤a+，即－≤a≤1時(shí)，f（x）max=f（a+3）；
　　若a+<1≤a+3，即－2　　原先設(shè)計(jì)：學(xué)生可能說(shuō)的不完整或者只說(shuō)出一種分類討論的方法，筆者則進(jìn)行另一種的介紹. 不料，學(xué)生講得非常到位，表達(dá)也很清楚，因此就不需要進(jìn)一步地進(jìn)行講解，只需適當(dāng)點(diǎn)撥即可.
　　設(shè)計(jì)意圖：①再進(jìn)一步地加深難度，在學(xué)生已有的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，使問題從一個(gè)端點(diǎn)變化的動(dòng)區(qū)間到兩個(gè)端點(diǎn)獨(dú)立變化的動(dòng)區(qū)間，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生探究問題的興趣；加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合、分類討論）的運(yùn)用；
　　
　?、谧寣W(xué)生闡述解題步驟，使學(xué)生有成就感，同時(shí)還可訓(xùn)練其對(duì)數(shù)學(xué)問題的分析和表達(dá)能力，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)素養(yǎng)；
　　③分類討論是一個(gè)難點(diǎn)，讓學(xué)生在討論中自己解決分類問題，使該難點(diǎn)的突破顯得自然.
　　3. 變式訓(xùn)練、提升總結(jié)（約8分鐘）
　　教師：我們剛剛討論的所有問題都是已知二次函數(shù)，區(qū)間在不斷地變動(dòng)，那么如果把變量轉(zhuǎn)移到二次函數(shù)上，區(qū)間已知，則最值如何求解？（教師給出題目）
　　（1）f（x）=x2－2ax+2，x∈［－2，0］.
　　學(xué)生：對(duì)稱軸x=a，區(qū)間已知，所以只要討論對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊、右邊和包含在區(qū)間內(nèi)部三種情形.
　　教師：那么對(duì)稱軸變化和區(qū)間變化兩類題之間有什么聯(lián)系？
　　學(xué)生：都只要看區(qū)間和對(duì)稱軸的位置關(guān)系.
　　設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生闡述解題思路即可，不進(jìn)行具體的書寫.通過本題與上面內(nèi)容的對(duì)比，加深理解此類問題的共同特點(diǎn)仍舊是通過圖象處理.
　　（2）f（x）=ax2－2ax+2（a≠0），x∈［－2，0］.
　　教師：如果變量轉(zhuǎn)移到二次項(xiàng)系數(shù)上，那么又如何處理？
　　學(xué)生1：還是和前面一樣.
　　教師：有沒有補(bǔ)充的？
　　學(xué)生2：還應(yīng)該討論開口方向，再看對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系.
　　教師：很好，請(qǐng)大家課后把完整過程進(jìn)行書寫整理.
　　我們回頭重新審視一下本堂課所做的這一系列的練習(xí)，看看你的解題體會(huì)是什么？ 請(qǐng)大家課后談?wù)勀愕慕忸}體會(huì). （附個(gè)別學(xué)生的體會(huì)）
　　設(shè)計(jì)意圖：①再一次增