摘要：本文呈現(xiàn)了教學(xué)實踐中的三個案例，探討在教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的合作、對話、碰撞中岔出一些預(yù)設(shè)之外的新問題時，筆者處理這些問題做出的及時的、正確的判斷，篩選出學(xué)習(xí)活動中有利于促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的信息，及時調(diào)整課前預(yù)設(shè)，使課堂的“節(jié)外生枝”演繹為精彩的“動態(tài)生成”.
　　關(guān)鍵詞：節(jié)外生枝；動態(tài)生成
　　
　　課堂教學(xué)是師生共同構(gòu)建的一門動態(tài)生成的藝術(shù)，無論多么精心的預(yù)設(shè)也無法預(yù)知整個課堂的全部細(xì)節(jié). 在教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的合作、對話、碰撞中，往往會岔出一些教師預(yù)設(shè)方案之外的新情況、新問題，面對課堂上不期而遇的“節(jié)外生枝”， 是置之不理或在不經(jīng)意間“一帶而過”，還是給出時間和空間，引導(dǎo)學(xué)生積極探究？筆者深深體會到：要及時作出判斷，順應(yīng)學(xué)生的思維軌跡，循循善誘，把課堂的“節(jié)外生枝”演繹為精彩的“動態(tài)生成” .以下呈現(xiàn)的是筆者在上復(fù)習(xí)課時處理“節(jié)外生枝”的三個案例.
　　
　　可以舉個例子嗎
　　高一年級，函數(shù)奇偶性單元復(fù)習(xí)課.
　　筆者選取必修1教材55頁第8題作為例題：已知函數(shù)f（x）=a+是奇函數(shù)，求常數(shù)a的值.
　　學(xué)生1：定義域為R，f（－x）+f（x）=a++a+=a++a+=2a+1=0，故a=－.
　　學(xué)生2：若奇函數(shù)在原點有定義，則一定有f（0）=0，所以f（0）=a+=0，得a=－. 這時f（x）=－+，f（－x）+f（x）=－+－+=－1++=0，故a=－為所求的值.
　　師生共同小結(jié)：已知函數(shù)的奇偶性，求參數(shù)的值，常用的方法是：（1）從一般入手，轉(zhuǎn)化為恒成立問題；（2）從特殊出發(fā)，先求出參數(shù)，再驗證對定義域內(nèi)所有值都滿足奇（偶）性. 學(xué)生2解法中的特殊值f（0）=0，僅表示函數(shù)圖象過原點，并不能說明圖象關(guān)于原點對稱.
　　教學(xué)的環(huán)節(jié)都在課前的預(yù)設(shè)之中，該題的探究已經(jīng)結(jié)束. “可以舉個例子嗎？”剛平靜下來的課堂上有一位學(xué)生在自言自語，筆者捕捉到了這一細(xì)節(jié)，這是學(xué)生內(nèi)心的渴求，是主體參與的結(jié)果，應(yīng)該鼓勵，筆者立即叫這位學(xué)生繼續(xù)說. “對于已知奇函數(shù)，求參數(shù)的值這類問題，可以舉一個例子來說明由f（0）=0，求出的參數(shù)值，不滿足已知函數(shù)是奇函數(shù)嗎？”這個問題出乎筆者的意料，課前沒有預(yù)設(shè)到，如果舉個例子說明，應(yīng)該說是恰到好處，有價值，于是筆者立即讓學(xué)生拿起筆，進(jìn)行編擬.
　　學(xué)生3：設(shè)f（x）=2x+ax2+a（a－1）是定義在R上的奇函數(shù)，求a的值.
　　由f（－x）+f（x）=0，得ax2+a（a－1）=0，即a［x2+（a－1）］=0對R上的任一個x均成立，因此a=0. 但如果只考慮f（0）=0，得a=0或1，當(dāng)a=1時，f（x）=x2+2x，這時f（1）=3，f（－1）=－1，f（－1）≠－f（1），不滿足f（x）是奇函數(shù)；當(dāng)a=0時，f（x）=2x，滿足f（－x）= －f（x），故a=0.
　　學(xué)生4：設(shè)f（x）=（2a－1）x3+（a2－3a+2）?x2+a2－5a+4是定義在R上的奇函數(shù)，求a的值. （理由同上）
　　學(xué)生5：設(shè)f（x）=asinx+（a－1）x2+a2－3a+2是定義在R上的奇函數(shù)，求a的值.（理由同上）
　　學(xué)生振奮之余，對函數(shù)奇偶性的概念理解更深刻.
　　
　　能否利用“幾何法求解”
　　高二年級，橢圓復(fù)習(xí)課.筆者出示如下例題：
　　k為何值時，直線x－y+k=0與橢圓+y2=1有兩個交點？有一個交點？沒有交點？
　　教師：同學(xué)們，成功解題的關(guān)鍵是對題中的條件加以有效的轉(zhuǎn)化和利用，“直線與橢圓的交點個數(shù)”問題，該如何轉(zhuǎn)化呢？
　　學(xué)生（齊聲）：聯(lián)立方程組，用Δ法進(jìn)行判斷.
　　通過演練，得出結(jié)果，總結(jié)出判斷“直線與橢圓交點個數(shù)”問題的常用轉(zhuǎn)化方法后，準(zhǔn)備轉(zhuǎn)入另一問題研究. 這時一位女學(xué)生舉手發(fā)言.
　　學(xué)生1：能否利用“幾何法求解”？
　　該位女學(xué)生的一句話令筆者有些詫異. 在上周復(fù)習(xí)“直線與圓的交點個數(shù)”問題時，曾經(jīng)歸納出常用的方法有代數(shù)法和幾何法，根據(jù)經(jīng)驗判斷“處理直線與橢圓的交點個數(shù)”問題時一般只用代數(shù)法，難道她能用幾何法解決問題？能成功嗎？一連串的疑問，讓筆者決定繼續(xù)聽她說下去.
　　學(xué)生1：橢圓可以看作由圓上的所有點的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）壓縮（或伸長）到原來的若干倍后得到的圖形，因此能否將橢圓轉(zhuǎn)化為圓來處理呢？
　　疑問是思考的產(chǎn)物，這一疑問中隱含著新穎觀點，學(xué)生情緒高漲，筆者也十分興奮，覺得不能舍去這珍貴的意外生成的資源，學(xué)生的想法是有道理的，繼而鼓勵學(xué)生繼續(xù)探究.
　　學(xué)生2：對于橢圓+y2=1，設(shè)x=2x1，y=y，橢圓變?yōu)閳Ax+y=1，這時直線變?yōu)?x1－y1+k=0，為順應(yīng)習(xí)慣，把x1換成x，y1換成y，原題轉(zhuǎn)化為k為何值時，直線2x－y+k=0與圓x2+y2=1，有兩個交點？有一個交點？沒有交點？因而可轉(zhuǎn)化為“直線與圓的交點個數(shù)”問題，用幾何法去判斷，得出正確答案.
　　“了不起！”大家為這位學(xué)生的想法嘖嘖稱奇. 不料另有一位男學(xué)生插嘴.
　　學(xué)生3：老師，還有其他的幾何解法.
　　教師：繼續(xù)說下去.
　　學(xué)生3：解決“直線與橢圓交點個數(shù)”問題可轉(zhuǎn)化為求直線上的點T與兩焦點F1，F(xiàn)2距離之和的最小值問題. 設(shè)d=TF1+TF2，2a是橢圓長軸長，當(dāng)dmin=2a時，直線與橢圓有一個交點；當(dāng)dmin<2a時，直線與橢圓有兩個交點；當(dāng)dmin>2a時，直線與橢圓沒有交點.
　　本題中F1－，0關(guān)于直線x－y+k=0的對稱點為F－k，－+k，則dmin=FF2==，當(dāng)=4，即k=±時，直線與橢圓有一個交點……
　　全班學(xué)生鼓掌.
　　
　　只要“兩邊求導(dǎo)”
　　高三年級，三角函數(shù)復(fù)習(xí)課，筆者出示問題：
　　已知sinθ+2cosθ=－時，求tanθ的值.
　　學(xué)生1：sinθ+2cosθ=－，sin2θ+cos2θ=1，求得sinθ=－，cosθ=－，于是tanθ=.
　　學(xué)生2：sinθ+2cosθ=?sinθ+cosθ=sin（θ+φ），其中cosφ=，sinφ=. 當(dāng)sin（θ+φ）= －1時，有θ+φ=2kπ+（k∈Z），從而θ=2kπ+－φ，于是tanθ=cotφ=.
　　學(xué)生3：解決這類問題的常規(guī)方法：消元求sinθ，cosθ；歸一（化同名函數(shù)，化一個角），利用正弦（余弦）函數(shù)的有界性求解.
　　課堂沿著筆者預(yù)設(shè)的軌道穩(wěn)步推行（暗喜）. 筆者正想以表揚來結(jié)束對這個問題的探究時，卻見一個學(xué)生舉手，示意有話要說.
　　學(xué)生4：此題只要“兩邊求導(dǎo)”就解決了.
　　這類問題一般不用求導(dǎo)數(shù)的方法，學(xué)生能搞清楚嗎？這位學(xué)生的想法到底如何？“碰到問題時，一定要有念頭，哪怕是錯誤的念頭”（波利亞語），直覺暗示筆者，應(yīng)該展示學(xué)生的思維過程.
　　學(xué)生4：（sinθ+2cosθ）′=cosθ－2sinθ=0，得tanθ=.
　　學(xué)生5：你怎么知道這時sinθ+2cosθ取最小值－呢？
　　學(xué)生4：檢驗就可以了，經(jīng)檢驗可知，sinθ+2cosθ取最大值和最小值時，tanθ均為.
　　教師：這位同學(xué)給大家提出了一個新的思路.通過求導(dǎo)，求出了變量的值以后，必須檢驗，結(jié)合單調(diào)性得出結(jié)論.
　　學(xué)生6：老師，上述解法有問題.
　　本來兩邊求導(dǎo)的方法在課前沒有預(yù)設(shè)到，是課堂上的“節(jié)外生枝”，剛才的求導(dǎo)探究用時也不多，這下可有好戲看了.
　　學(xué)生6：按上求法，當(dāng)sinθ+2cosθ=2時，求tanθ的值，也只要兩邊求導(dǎo)（sinθ+2cosθ）′=cosθ－2sinθ=0，得tanθ=. 換成sinθ+2cosθ=，結(jié)果也是一樣.
　　全班學(xué)生愕然，議論紛紛，問題出在哪里？
　　求知的欲望被深度激發(fā).經(jīng)師生共同探究，形成如下思維方法.
　　先畫出兩函數(shù)y=sinx+2cosx和y= －的圖象（如圖1），兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)即是滿足sinθ+2cosθ=－的θ的值，本題中的θ是函數(shù)y=sinx+2cosx的極小值點，該極小值點恰好使sinθ+2cosθ的導(dǎo)數(shù)為0，所以學(xué)生4的兩邊求導(dǎo)得tanθ=是正確的（真相大白）. 當(dāng)sinθ+2cosθ=時，tanθ也為（與學(xué)生4的檢驗相呼應(yīng)）.
　　
　　圖1
　　進(jìn)一步探究可發(fā)現(xiàn)：已知sinθ+2cosθ=c，c∈－，，求tanθ的值.若函數(shù)y=sinθ+2cosθ與函數(shù)y=c，c∈－，的圖象（如圖2）在交點處切線的斜率為k，則有（sinθ+2cosθ）′=k，此時不能很便捷地得到答案.
　　從以上三個案例可以看出，課堂上的“節(jié)外生枝”，大都是學(xué)生主體參與的結(jié)果，它常常是學(xué)生探究的源泉，是發(fā)展學(xué)生能力的助推器.盡管“節(jié)外生枝”可能會打亂教師預(yù)定的教學(xué)步驟，甚至可能使教學(xué)內(nèi)容發(fā)生變更，但它符合學(xué)生的學(xué)情，能帶動全班學(xué)生挖掘更有價值的問題，產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生“其進(jìn)自不能已”. 如果一堂課與教學(xué)設(shè)計毫無偏離，某種意義上說不能算是一節(jié)成功的課.
　　毋庸置疑，來自課堂的信息是紛雜的，教師應(yīng)該根據(jù)所“生”之“枝”是否有用而作出正確判斷，篩選出學(xué)習(xí)活動中有利于促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的情境，及時調(diào)整課前預(yù)設(shè)，深入挖掘. 若超出了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生得不到相應(yīng)的研究成果，會造成教學(xué)時間的極大浪費，產(chǎn)生低效教學(xué). 這一切對教師的專業(yè)化素養(yǎng)和教學(xué)藝術(shù)提出了更高要求，而這也正是新課改給我們提出的奮斗目標(biāo).