摘要：本文結(jié)合考試大綱與2011年高考試題中的部分亮點(diǎn)題目，分析在新課程改革的背景下，“計(jì)數(shù)原理”在高考試題命制時(shí)的規(guī)律、特點(diǎn)及發(fā)展趨勢(shì).
　　關(guān)鍵詞：2011高考；計(jì)數(shù)原理；命題規(guī)律；命題趨勢(shì)
　　
　　2011年高考已然落下帷幕，隨著新課程改革的進(jìn)一步深入與實(shí)施范圍的再擴(kuò)大，本文將結(jié)合2011年全國(guó)各地高考試題的命制情況，探究“計(jì)數(shù)原理”在2011年試題命制上的一些特點(diǎn)以及今后的發(fā)展趨勢(shì).
　　
　　從考試大綱看“計(jì)數(shù)原理”
　　普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)考大綱（文理）對(duì)“計(jì)數(shù)原理”部分的要求：
　　1. 考試內(nèi)容
　　分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理；排列、排列數(shù)公式；組合、組合數(shù)公式；組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)；二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開式的性質(zhì)．
　　2. 考試要求
　?、僬莆辗诸愑?jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題；
　?、诶斫馀帕械囊饬x，掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題；
　　③理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題；
　　④掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．
　　注：新課程標(biāo)準(zhǔn)的考試大綱（文科）對(duì)這部分不做要求.
　　從命題特點(diǎn)看“計(jì)數(shù)原理”
　　?搖?搖分析2011年各地高考試題，對(duì)“計(jì)數(shù)原理”的考查有這樣幾個(gè)特點(diǎn)：
　　1. 貼近大綱和課程標(biāo)準(zhǔn)，著重考查基本概念.本部分在命題時(shí)，嚴(yán)格按照大綱和課程標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定出題，重在考查學(xué)生對(duì)幾個(gè)原理和定理的掌握情況，沒(méi)有太多的知識(shí)綜合，即使綜合其他部分來(lái)出題，所結(jié)合的知識(shí)點(diǎn)也相對(duì)比較固定.
　　2. 題型結(jié)構(gòu)與分值相對(duì)穩(wěn)定. 本部分試題考查的主要題型是選擇題和填空題，個(gè)別試卷在概率大題中用到本專題知識(shí)，一般不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，前者分值大約4～5分，后者多為12分左右，新課標(biāo)的文科試卷中沒(méi)有本部分知識(shí). 若出現(xiàn)創(chuàng)新元素，多為選擇或填空最后一題.
　　3. 貼近學(xué)生的實(shí)際生活. 本專題的實(shí)際問(wèn)題都是每個(gè)學(xué)生熟知的事物，對(duì)每個(gè)學(xué)生都是公平的，正如課程標(biāo)準(zhǔn)中所要求的——使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力.
　　4. 試題含創(chuàng)新元素，學(xué)生答題需跳出常規(guī)思維. 這類題目不是通過(guò)背題型和知識(shí)能夠解決的，而是需要一種深度的思考. 這也符合新科程理念下命題的核心指導(dǎo)思想：由知識(shí)立意到能力立意，以考查主干和核心知識(shí)為載體來(lái)考查數(shù)學(xué)的思維方法.
　　從2011年的高考數(shù)學(xué)試題看“計(jì)數(shù)原理”
　　試題展示一：
　　（湖北理15題）給出n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色. 當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如圖1所示：
　　
　　圖1
　　由此推斷，當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案有_______種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有_______種. （結(jié)果用數(shù)值表示）
　　本題答案21，43.
　　方法解析法1 當(dāng)n=6時(shí)，最多可以有3個(gè)黑色正方形，用插空的方法放置，共C=4種不同的方法；有2個(gè)黑色正方形時(shí)，用插空的方法放置，共C=10種不同的方法；有1個(gè)黑色正方形時(shí)，用插空的方法放置，共C=6種不同的方法；沒(méi)有黑色正方形時(shí)，有1種方法；所以當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案有4+10+6+1=21種.
　　第二問(wèn)用間接法考慮. 當(dāng)n=6時(shí)，共有不同的涂色方法26=64種，減去黑色正方形互不相鄰的著色方案，還剩64－21=43種.
　　法2設(shè)個(gè)正方形時(shí)黑色正方形互不相鄰的著色方案數(shù)為an，由圖1可知，a1=2，a2=3，a3=5=2+3=a1+a2，a4=8=3+5=a2+a3，由此推斷a5=a3+a4=5+8=13，a6=a4+a5=8+13=21，故黑色正方形互不相鄰的著色方案共有21種. 第二問(wèn)同解法一，故分別填21，43.
　　試題點(diǎn)評(píng)本道題目以分類加法原理和組合模型為基礎(chǔ)，采用著色問(wèn)題的形式呈現(xiàn)題目，既可以用計(jì)數(shù)原理的知識(shí)解決，也可以從歸納推理入手，多角度考查考生的探究能力. 今年湖北的數(shù)學(xué)試題，在關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)、強(qiáng)調(diào)應(yīng)用意識(shí)、引入數(shù)學(xué)史料、創(chuàng)設(shè)開放情境、體現(xiàn)大眾數(shù)學(xué)、拓展數(shù)學(xué)視野、考查探究能力等多方面不失時(shí)機(jī)地滲透新課程理念，為實(shí)現(xiàn)與明年新課程試卷的自然對(duì)接作了一些有益的嘗試.為實(shí)現(xiàn)這一目的，一方面采用多元化、多途徑、開放式的設(shè)計(jì)題目，全面檢測(cè)考生觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、猜測(cè)、類比、探究等思維品質(zhì)，另一方面有意識(shí)地對(duì)接新課程的大眾數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在知能并重的同時(shí)，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本題系試卷中一亮點(diǎn)題目.
　　試題展示二：
　?。ㄉ虾＠砦?2） 隨機(jī)抽取9個(gè)同學(xué)，至少有2個(gè)同學(xué)在同一月出生的概率是________（默認(rèn)每月天數(shù)相同，結(jié)果精確到0.001）.
　　本題答案0.985.
　　方法解析根據(jù)分步乘法原理，9名同學(xué)的生日分布共有129種不同的情況，如果任兩名同學(xué)的生日不相同，則共有A種不同的情況，由間接法知，至少有2個(gè)同學(xué)在同一月出生的概率是1－.
　　試題點(diǎn)評(píng)本題緊緊圍繞教材，依照教材的例題改編而成，考察了學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)原理的掌握情況，同時(shí)本題也是概率論的經(jīng)典問(wèn)題，用以說(shuō)明有些直觀想法可能與實(shí)際結(jié)果相差很遠(yuǎn)，間接告訴人們要理性分析科學(xué)問(wèn)題. 今年上海卷的考題，著重考查高中數(shù)學(xué)的基本知識(shí)與基本內(nèi)容，本著有利于推進(jìn)素質(zhì)教育、有利于高校選拔新生、有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新和實(shí)踐能力的原則來(lái)設(shè)計(jì). 如同本道題一樣，題目大多立足于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，鼓勵(lì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在合理的范圍內(nèi)對(duì)一些數(shù)學(xué)概念進(jìn)行必要的分析和拓展，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，希望學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在科學(xué)中的重要性.
　　本題的另一個(gè)明顯特點(diǎn)是考查考生對(duì)數(shù)學(xué)概念的領(lǐng)悟能力. 題目本身不難，大多數(shù)考生可以解答. 若不加分析就計(jì)算，可能就會(huì)失分. 要是先進(jìn)行分析和探索，綜合自己掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，找到合適的切入點(diǎn)，問(wèn)題就迎刃而解. 此外，源于教材、加強(qiáng)基本知識(shí)教學(xué)、反對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)是題目設(shè)計(jì)的另一個(gè)出發(fā)點(diǎn)，如果我們能在高考試題的設(shè)計(jì)上更注重引導(dǎo)學(xué)生在做一定量的數(shù)學(xué)試題和提高學(xué)習(xí)興趣之間尋找一個(gè)平衡點(diǎn)，這樣就可以爭(zhēng)取更多的中學(xué)課堂回歸到素質(zhì)教育的講堂中來(lái).
　　試題展示三：
　?。ê侠?6）對(duì)于n∈N*，將n表示為n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+ak-1×21+ak×20，當(dāng)i=0時(shí)，ai=1；當(dāng)1≤i≤k時(shí)，ai為0或1. 記I（n）為上述表示中ai為0的個(gè)數(shù)（例如1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），則（1）I（12）=________；（2）2I（n）=________.
　　本題答案（1）2；（2）1093.
　　方法解析（1）因12=1×23+1×22+0×21+0×20，故I（12）=2；
　?。?）在2進(jìn)制的k（k≥2）位數(shù)中，沒(méi)有0的有1個(gè)，有1個(gè)0的有C個(gè)，有2個(gè)0的有C個(gè)，…，有m個(gè)0的有C個(gè)，…，有k－1個(gè)0的有C=1個(gè). 故對(duì)所有2進(jìn)制為k位數(shù)的數(shù)n，在所求式中的2I（n）的和為1?20+C?21+C?22+…+C?2k-1=3k-1. 又127=27－1恰為2進(jìn)制的最大7位數(shù)，所以2I（n）=20+3k-1=1 093.
　　
　　試題點(diǎn)評(píng)本道題是新定義一種表示，要求考生運(yùn)用二進(jìn)制、排列組合、二項(xiàng)式定理、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)以及分類與整合的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題.?搖 從題目設(shè)計(jì)的角度來(lái)看，此題注意了題目設(shè)制的多元化，全面考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，即關(guān)注對(duì)“三基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法）的考查，又在設(shè)計(jì)試題時(shí)注重了從教材中引申一些新的數(shù)學(xué)概念、符號(hào)，要求考生運(yùn)用所給的新概念或符號(hào)作進(jìn)一步的運(yùn)算、分析、推理來(lái)解決問(wèn)題.
　　2011年是湖南實(shí)施新課程高考的第二年. 從本題的設(shè)計(jì)可以看出，今年試卷的命制在去年試卷命制的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加大了改革力度，充分滲透新課改理念，在注重考查知識(shí)與技能的同時(shí)，加大對(duì)過(guò)程與方法的考查. 深化能力立意是數(shù)學(xué)命題一直以來(lái)的追尋目標(biāo). 在命制理念上突出全面的能力因素，多元化的能力層次；在命制構(gòu)思上注重通性通法，堅(jiān)持用數(shù)學(xué)基本思想方法解決問(wèn)題；在試題呈現(xiàn)上突出新穎性.
　　試題展示四：
　?。ê衔?6）給定k∈N*，設(shè)函數(shù)f：N*→N*滿足：對(duì)于任意大于k的正整數(shù)n，f（n）=n－k.
　?。?）設(shè)k=1，則其中一個(gè)函數(shù)f在n=1處的函數(shù)值為________；
　　（2）設(shè)k=4，且當(dāng)n≤4時(shí)，2≤f（n）≤3，則不同的函數(shù)f的個(gè)數(shù)為________.
　　本題答案（1）a（a為正整數(shù)），（2）16.
　　方法解析（1）由題可知f（n）∈N*，而k=1時(shí)，n>1，則f（n）=n－1∈N*，故只須f（1）∈N*，故f（1）=a（a為正整數(shù)）.
　?。?）由題可知k=4，n>4，則f（n）=n－4∈N*，而當(dāng)n≤4時(shí)，2≤f（n）≤3，即f（n）∈｛2，3｝. 于是n∈｛1，2，3，4｝，f（n）∈｛2，3｝，由乘法原理可知，不同的函數(shù)f的個(gè)數(shù)為16個(gè).
　　試題點(diǎn)評(píng)本道試題在設(shè)計(jì)上注重了對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的考查，題目本身區(qū)別于傳統(tǒng)計(jì)數(shù)原理題目的編排模式和常見應(yīng)用背景，形式新穎，讓考生有耳目一新的感覺(jué). 創(chuàng)新意識(shí)是理性思維的高層次表現(xiàn). 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究過(guò)程中，知識(shí)的遷移、組合及融匯的程度越高，展示能力的區(qū)域就越寬泛，顯現(xiàn)出的創(chuàng)新意識(shí)也越強(qiáng). 因此，在數(shù)學(xué)考題的設(shè)計(jì)上，注意試題形式的多樣性、考查內(nèi)容的層次性、呈現(xiàn)問(wèn)題的開放性與探索性等，以加強(qiáng)對(duì)考生創(chuàng)新意識(shí)的考查，是新課程改革的重要內(nèi)容. 如何利用好高考命題的機(jī)會(huì)，對(duì)傳統(tǒng)內(nèi)容試題的設(shè)計(jì)力求推陳出新，對(duì)新增內(nèi)容的試題設(shè)計(jì)關(guān)注與傳統(tǒng)內(nèi)容的交匯融合，以形成聯(lián)系廣泛、背景新穎、結(jié)構(gòu)精巧的試題對(duì)于促進(jìn)新課程改革的縱深發(fā)展有著重要的指導(dǎo)意義.
　　
　　從命題趨勢(shì)看“計(jì)數(shù)原理”
　　計(jì)數(shù)原理是高中數(shù)學(xué)相對(duì)獨(dú)特的一個(gè)知識(shí)板塊，高考對(duì)該部分的考查主要從兩個(gè)方面進(jìn)行. 一是以選擇題或填空題的形式有針對(duì)性地考查兩個(gè)基本原理，排列、組合知識(shí)在實(shí)際計(jì)數(shù)中的應(yīng)用，考查使用二項(xiàng)式定理解決二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)以及簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；二是在概率解答題中考查利用計(jì)數(shù)原理求解等可能性事件的概率，在綜合解答題中的某個(gè)環(huán)節(jié)考查二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 從近幾年課標(biāo)地區(qū)的高考試題來(lái)看，計(jì)數(shù)原理、排列、組合的考查以其應(yīng)用為主（實(shí)際計(jì)數(shù)、計(jì)算概率），二項(xiàng)式定理的考查以其通項(xiàng)公式為主.
　　?搖預(yù)計(jì)以后的高考會(huì)延續(xù)以前的傳統(tǒng)，考查計(jì)數(shù)原理、排列組合解決實(shí)際計(jì)數(shù)問(wèn)題和在計(jì)算概率中的應(yīng)用，考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用、考查二項(xiàng)式定理在簡(jiǎn)單問(wèn)題中的應(yīng)用.試題也將更貼近學(xué)生的實(shí)際生活和學(xué)生熟悉的社會(huì)生活.