摘要：本文介紹了在新課程理念下，對(duì)高等數(shù)學(xué)《定積分應(yīng)用》教學(xué)進(jìn)行的探究. 注重“引、思、探、練”相結(jié)合的研究性教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，主動(dòng)參與、自主探究進(jìn)行學(xué)習(xí)的教學(xué)嘗試.
　　關(guān)鍵詞：定積分；教學(xué)設(shè)計(jì)；高等數(shù)學(xué)
　　
　　《定積分的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)在2009年山東省數(shù)學(xué)中心組舉辦的中青年教師教學(xué)設(shè)計(jì)中獲一等獎(jiǎng)，并于2010年執(zhí)教省級(jí)觀摩課.筆者對(duì)這節(jié)課的設(shè)計(jì)重新整理并加以反思形成本文. 教學(xué)課題來自山東大學(xué)出版社出版的《高等數(shù)學(xué)》（上）第五章中的定積分應(yīng)用.
　　
　　教材分析
　　1. 教材地位和作用
　　定積分是微積分學(xué)的重要內(nèi)容， 微元法或元素法是定積分應(yīng)用中的一個(gè)基本的也是非常重要的方法，同時(shí)也是科學(xué)計(jì)算和解決現(xiàn)實(shí)問題的重要工具，有著非常廣泛的應(yīng)用.
　　2. 教材知識(shí)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容分析
　　本章首先通過定積分的幾何意義，分析并說明了定積分的元素法，再運(yùn)用定積分的元素法進(jìn)一步分析和解決一些幾何、物理中的問題.如曲邊梯形面積、特殊的立體體積等幾何量和變力做功、液體側(cè)壓力等物理量的計(jì)算問題.
　　本節(jié)介紹了微元法求圖形面積問題，它是對(duì)定積分知識(shí)的總結(jié)和升華，通過求面積，讓學(xué)生初步感受定積分在解決數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題中的作用，同時(shí)也是學(xué)生熟練定積分的計(jì)算、進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).
　　3. 教學(xué)目標(biāo)
　　知識(shí)技能目標(biāo)：應(yīng)用定積分解決平面圖形的面積，進(jìn)一步理解微積分思想，初步掌握定積分解決實(shí)際問題的基本思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.
　　過程和方法目標(biāo)：通過探究活動(dòng)，通過數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生在實(shí)踐中探索問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、應(yīng)用和創(chuàng)新等能力的目的.
　　情感目標(biāo)：使學(xué)生在解決問題的過程中體會(huì)定積分的價(jià)值；培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的濃厚興趣；培養(yǎng)學(xué)生勇于探索和實(shí)踐的精神.
　　4. 教學(xué)重、難點(diǎn)
　　教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用定積分解決平面圖形的面積，使學(xué)生在解決問題的過程中體會(huì)定積分的價(jià)值.
　　教學(xué)難點(diǎn)：恰當(dāng)選擇積分變量和確定被積函數(shù).
　　
　　學(xué)情分析
　　
　　
　　教學(xué)方法
　　根據(jù)內(nèi)容的特殊性和學(xué)生的實(shí)際水平，在教學(xué)過程中注重“引、思、探、練”相結(jié)合的研究性教學(xué)方法，在教師的啟發(fā)指導(dǎo)下， 引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，主動(dòng)參與、積極體驗(yàn)、自主探究地學(xué)習(xí).學(xué)生經(jīng)歷了分析、探索、領(lǐng)悟、得出結(jié)論的過程，既獲得知識(shí)，又發(fā)展智能.
　　接受學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)相結(jié)合，讓學(xué)生在深刻理解定積分元素法本質(zhì)的基礎(chǔ)上，積極溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，采用自主研究、分組討論等多種靈活的方式，對(duì)問題進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)和解決，從中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析和解決問題的能力.
　　
　　教學(xué)流程
　　引入部分
　　定積分是數(shù)學(xué)中最具美學(xué)意義的內(nèi)容之一，在這里，數(shù)學(xué)的辯證法得到了最好的體現(xiàn)，數(shù)學(xué)的一些基本思想，比如“化整為零”“積零為整”“以不變代變”“以直代曲”“以近似求精確”“以有限逼近無限”等得到了最好的應(yīng)用. 在學(xué)習(xí)中，我們將能體會(huì)到數(shù)學(xué)并不僅僅是用抽象的公式、法則和定理建造起來的空中樓閣. 定積分的產(chǎn)生有著豐富的實(shí)際背景，其概念直接起源于實(shí)踐中需要解決的某些實(shí)際問題，其中最典型的例子就是計(jì)算平面上曲邊梯形的面積，下面我們來研究這個(gè)問題.
　　引言部分簡潔介紹了定積分的思想精髓，滲透了數(shù)學(xué)學(xué)科中的辯證法思想，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的精髓，有利于數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)興趣的提高. 這樣的引言容易激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索欲，為后面作開啟性的鋪墊.
　　1. 復(fù)習(xí)舊知，承上啟下
　　問題1：計(jì)算由區(qū)間［a，b］上的連續(xù)曲線y=f（x），以及直線x=a，x=b（a　　
　　由熟悉的幾何意義入手，結(jié)合性質(zhì)和圖象特征輕松得出所圍的曲邊梯形面積：
　　①當(dāng)f（x）≥0時(shí)，如圖1所示，A=f（x）dx；
　?、诋?dāng)f（x）≤0時(shí)，如圖2所示，A=－f（x）dx；
　?、郛?dāng)f（xwmjqHt6I7XaoVYiuknJqFg==）在［a，b］上有時(shí)取正值，有時(shí)取負(fù)值時(shí)，如圖3所示，A=f（x）dx－f（x）dx+f（x）dx.
　　綜上所述，面積公式為A=f（x）dx，關(guān)鍵是搞清在哪些區(qū)域f（x）≥0，哪些區(qū)域f（x）≤0．
　　問題2：求正弦曲線y=sinx，x∈0，和直線x=及x軸所圍成圖形的面積.
　　設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)具有承上啟下的作用，從曲邊梯形的面積入手，不僅激發(fā)了學(xué)生探究問題的興趣，而且自然地與舊知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生把新知識(shí)納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中，保證了知識(shí)的系統(tǒng)性，也對(duì)學(xué)生的學(xué)法進(jìn)行了潛移默化的指導(dǎo).
　　由前面的知識(shí)，學(xué)生很容易完成問題2，教師板書過程，示范書寫步驟. 通過練習(xí)，鞏固了所學(xué)知識(shí)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)由兩曲線所圍成圖形的面積打下基礎(chǔ)，同時(shí)使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)能夠解決實(shí)際問題，從而培養(yǎng)學(xué)生樂于嘗試、敢于創(chuàng)新的精神.
　　2. 層層探究，形成規(guī)律
　　屏幕先后出示以下組圖，讓學(xué)生自己提出問題，教師把系列問題歸類作為進(jìn)一步探究的任務(wù)，并安排學(xué)生分組進(jìn)行探究.
　　問題：求由連續(xù)曲線y=f（x），y=g（x）與直線x=a，x=b所圍成的平面圖形的面積． （出示圖形，讓學(xué)生自主探究以上圖形的陰影部分的面積.）
　　
　　圖4
　　探究一：在［a，b］上，有f（x）>g（x），A=［f（x）－g（x）］dx.?搖
　　探究二：在［a，c］上，有f（x）>g（x）：在［c，d］上，f（x）　　A=［f（x）－g（x）］dx－［g（x）－f（x）］dx.
　　綜上所述，兩曲線y=f（x），y=g（x）與直線x=a，x=b（a　　
　　探究三：求由曲線x=φ（y）與直線y=c，y=d，x=0所圍成的平面圖形的面積．
　　當(dāng)φ（y）≥0時(shí)，如圖5所示，A=φ（y）dy.
　　探究四：由曲線x=ψ（y），x=φ（y）與直線y=c，y=d所圍成的平面圖形的面積．
　　當(dāng)φ（y）≥ψ（y）時(shí)，如圖6所示，A=［φ（y）－ψ（y）］dy.
　　設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自主探究和分組討論相結(jié)合，由簡單的一條曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積問題逐漸延伸到復(fù)雜的兩條曲線圍成的面積問題，適時(shí)指出X型和Y型兩種情況，探究由易到難，具有層次性. 分組討論后各自展示研討成果，可以增強(qiáng)學(xué)生競爭意識(shí)，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.
　　3. 強(qiáng)化訓(xùn)練，總結(jié)升華
　　例1求由曲線y2=x，y=x2所圍成圖形的面積.
　　解法一：選擇橫坐標(biāo)x為積分變量，所求面積為A=（－x2）dx=.
　　解法二：選擇縱坐標(biāo)y為積分變量，y∈［0，1］，對(duì)應(yīng)于［y，y+dy］上的小矩形面積為（－y2）dy面積元素dA=（－y2）dy，于是A=（－y2）dy=.
　　設(shè)計(jì)意圖：解法一由學(xué)生獨(dú)立完成，然后教師在X型的基礎(chǔ)上指導(dǎo)學(xué)生通過思考，自己類比推出Y型. 在這個(gè)過程中能夠使學(xué)生加深對(duì)X型的認(rèn)識(shí)和理解，并通過自己的邏輯推理得出Y型的結(jié)論. 學(xué)生自己摸索出的答案得到認(rèn)可，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，而且對(duì)所學(xué)知識(shí)理解更深刻、記憶更牢固.
　　通過例題學(xué)習(xí)，總結(jié)出解題的步驟要點(diǎn)：X型上減下，Y型右減左. 步驟共四步：作圖定型——求點(diǎn)定限——確定函數(shù)——列式求解. 這樣的總結(jié)有利于提高解題能力和認(rèn)識(shí)，并為今后再學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).
　　例2求拋物線y2=2x和直線y=－x+4所圍成的圖形的面積.
　　解析先求拋物線和直線的交點(diǎn)，解方程組y2=2x，y=－x+4，交點(diǎn)（2，2）和（8，－4）；
　　解法一，選x為積分變量，變化區(qū)間為［0，8］，面積為
　　A=2dx+（－x+4）dx=18.
　　解法二，選y作積分變量，則y的變化區(qū)間為［-4，2］，所求的面積為A=4－y－dy=18.?搖?搖
　　設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固所學(xué).這是一個(gè)既可以用X型解又可以用Y型方法解的題目，學(xué)生通過自己的觀察可以發(fā)現(xiàn)用Y型方法來解該題過程簡潔，用X型方法來解計(jì)算量大，從而自己在“X型與Y型如何選擇”這個(gè)問題上就有所思考.
　　探究五：如何選擇X型與Y型？
　　
　　圖7
　　分組討論，選擇以上圖形最優(yōu)化的積分變量.師生探究，適當(dāng)選擇積分變量，應(yīng)綜合考查下列因素：①較少的分割區(qū)域； ②被積函數(shù)的原函數(shù)易求； ③積分上、下限比較簡單. 這樣的設(shè)計(jì)有效地解決本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn).
　　4. 鞏固遷移，應(yīng)用提升
　　拓展題：一橋拱的形狀為拋物線，已知該拋物線拱的高為常數(shù)h，寬為常數(shù)b． 求證：拋物線拱的面積S=bh.
　　問題來源于實(shí)際生活，通過這道拓展題，把這節(jié)課的探究活動(dòng)推向高潮. 師生探究解題方法：第一步，建立平面直角坐標(biāo)系，確定拋物線方程；第二步，求由曲線圍成的平面圖形面積. 通過該題的練習(xí)，可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)了生活中的實(shí)際問題與抽象數(shù)學(xué)的完美結(jié)合，能培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已知知識(shí)解決未知問題的創(chuàng)造力和自信心，培養(yǎng)學(xué)生精益求精的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用能力.
　　5. 互動(dòng)小結(jié)
　　出示系列問題進(jìn)行學(xué)后反思：本節(jié)課我們做了哪些探究活動(dòng)？如何用定積分解決曲邊形面積問題？求曲線所圍的平面圖形面積時(shí)須注意什么問題？如何選擇最優(yōu)化的積分變量？體會(huì)到什么樣的數(shù)學(xué)研究思路及方法？
　　提問式的課堂小結(jié)，目的在于調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與梳理知識(shí)的過程，培養(yǎng)學(xué)生在探究之后整合知識(shí)的能力，有利于數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的培養(yǎng).
　　
　　設(shè)計(jì)理念
　　本節(jié)課通過感受定積分微元法的精髓、復(fù)習(xí)舊知、發(fā)現(xiàn)問題、分層探究、抽象歸納、鞏固練習(xí)、應(yīng)用提升等探究性活動(dòng)，本著“問題讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、規(guī)律讓學(xué)生自己去探索、問題讓學(xué)生自己去解決”的原則，在教學(xué)過程中注重“引、思、探、練”相結(jié)合的研究性教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，主動(dòng)參與、積極體驗(yàn)、自主探究地學(xué)習(xí)，這樣的教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)解決未知問題的創(chuàng)造力和自信心，培養(yǎng)學(xué)生精益求精的科學(xué)態(tài)度以及將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用能力.