摘要：本堂課從實驗演示入手，形成圖象的直觀感知后，通過問題驅(qū)動教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生探索正弦曲線、余弦曲線的準(zhǔn)確作法，形成理性認(rèn)識，并對方法進(jìn)行歸納總結(jié)，體現(xiàn)了新課標(biāo)“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的課堂教學(xué)理念. 探究過程做到師生互動、生生互動，培養(yǎng)了學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式.
　　關(guān)鍵詞：探究；正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象；作法
　　
　　教學(xué)內(nèi)容分析
　　本節(jié)教材選自人教A版高中《數(shù)學(xué)》必修④第一章第四節(jié)，其主要內(nèi)容是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象. 本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)掌握了任意三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)線、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等知識基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它不僅是對前面所學(xué)知識應(yīng)用的考查，也是后續(xù)學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)，對函數(shù)圖象清晰而準(zhǔn)確的掌握為學(xué)生在解題實踐中提供了有力的工具. 因此，本節(jié)課的學(xué)習(xí)有著極其重要的意義與地位，它對知識的掌握起到了承上啟下的作用.
　　
　　學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析
　　所教學(xué)生的數(shù)學(xué)成績在年段中屬中上水平，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興致較高. 他們已經(jīng)掌握了一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等基礎(chǔ)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并了解一些函數(shù)圖象的畫法，已具有較強(qiáng)的分析、判斷、理解能力和一定層次上的合作交流能力.
　　
　　設(shè)計思想
　　本節(jié)課的設(shè)計遵循從局部到整體、從特殊到一般的原則，適當(dāng)運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)手段，用觀察、啟發(fā)、探究相結(jié)合的方法組織教學(xué). 從演示 “簡諧運(yùn)動”實驗入手，形成直觀的正弦曲線、余弦曲線印象，然后通過設(shè)置一系列具有挑戰(zhàn)性的問題引領(lǐng)學(xué)生探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，再用例題、練習(xí)鞏固五點法及應(yīng)用，最后師生小結(jié)提升. 這樣設(shè)計比較自然、合理，符合認(rèn)知規(guī)律，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生在觀察分析、自主探索、合作交流的過程中，掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象作法，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合、類比、變換等數(shù)學(xué)思想，養(yǎng)成積極主動、勇于探索、自主學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方式.
　　
　　教學(xué)目標(biāo)
　　1. 知識與技能：使學(xué)生理解作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的方法，掌握用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖.
　　2. 過程與方法：通過組織引導(dǎo)學(xué)生參與“用正弦線作正弦函數(shù)圖象”，培養(yǎng)學(xué)生探究能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，提高學(xué)生分析、類比、抽象、概括等思維能力.
　　3. 情感、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)中的圖形美，體驗善于動手操作、合作探究的學(xué)習(xí)方法帶來的成功愉悅，滲透由抽象到具體的思想，加深對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識，理解動與靜的辯證關(guān)系，樹立科學(xué)的辯證唯物主義觀.
　　
　　教學(xué)重點、難點
　　重點：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.
　　難點：（1）將單位圓中的正弦線通過平移轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)圖象上的點；
　?。?）正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系.
　　
　　教學(xué)過程
　　1. 創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課
　　“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休……”，這是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授寫過的一首詩，詩中充分肯定了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想方法. 前面我們主要從“數(shù)”的角度研究了三角函數(shù)的一些問題，這節(jié)課我們將從“形”上研究兩個三角函數(shù).
　　（1）在弧度制下，實數(shù)集與角的集合之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，而一個確定的角又對應(yīng)著唯一確定的正弦（或余弦）值，這樣，任意給定一個實數(shù)，有唯一確定的值sinx（或cosx）與之對應(yīng)，由這個對應(yīng)法則所確定的函數(shù)y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)），其定義域為R.
　?。?）遇到一個新的函數(shù)非常自然地是畫出它的圖象，觀察圖象的形狀，看看有什么特點，并借助圖象研究它的性質(zhì). 這節(jié)課我們來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（出示課題）. 大家都想知道它們的圖象是怎樣的，讓我們一起來看實驗吧！
　?。?）教師演示單擺實驗和彈簧振子實驗，使學(xué)生對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象有一個直觀的印象.
　　設(shè)計意圖：一上課，教師通過聲情并茂地朗誦華羅庚教授寫的一首詩吸引了學(xué)生的注意力，演示 “簡諧運(yùn)動”實驗，使學(xué)生對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象有一個直觀的印象，從而借此實驗激發(fā)學(xué)生聽課的積極性和興趣.
　　2. 合作交流，探究新知
　　探究一：?搖正弦函數(shù)的圖象
　　問題1作正弦函數(shù)圖象得到的各點的縱坐標(biāo)都是查三角函數(shù)表得到的數(shù)值，由于一般角的三角函數(shù)值都是近似值，不易描出點的精確位置. 能否利用正弦線作出比較精確的函數(shù)y=sinx（其中x∈［0，2π］）的圖象？
　　議一議：我們先來作一個點C，sin，在單位圓⊙O1中作∠PO1O=，畫出它的正弦線MP，把角的正弦線向右平移，使M點與x軸上表示的點M1重合，得到線段M1C，顯然點C和點P的縱坐標(biāo)相同，都等于sin. 因此，點C的坐標(biāo)為，sin.
　　 提問：能否借助上面作點C，sin的方法作出正弦函數(shù)y＝sinx（其中x∈［0，2π］）的圖象呢？
　　讓學(xué)生分組討論后，教師再講解正弦函數(shù)的幾何作圖法（用flash動畫演示）.
　　我們利用上面作點C的方法先在直角坐標(biāo)系中作出正弦函數(shù)y=sinx（其中x∈［0，2π］）的圖象，具體分為如下五個步驟：
　?。?）?搖作直角坐標(biāo)系，并在直角坐標(biāo)系y軸的左側(cè)畫單位圓.
　?。?）?搖把單位圓分成12等份，過單位圓上的各分點作x軸的垂線，得到對應(yīng)于0，，，，…，2π等角的正弦線.
　?。?）?搖找橫坐標(biāo)：把x軸上從0到2π（2π≈6.28）這一段分成12等份.
　?。?）?搖找縱坐標(biāo)：把角x的正弦線向右平移，使它的起點與x軸上的點x重合.
　?。?）?搖連線：用光滑的曲線把這些正弦線的終點連結(jié)起來，即得函數(shù)y=sinx（其中x∈［0，2π］）的圖象.
　　設(shè)計意圖：這是本節(jié)課的難點，教師通過從特殊到一般的小步前進(jìn)方法化解難點，并輔以“正弦函數(shù)的幾何作圖法”教學(xué)課件的演示，生動形象地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分組討論交流，促進(jìn)學(xué)生知識體系的建構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法的形成，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神，提高學(xué)生合作學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)交流能力.
　　問題2如何作出y=sinx（x∈R）的圖象？
　　因為終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以函數(shù)y=sinx（x∈［2kπ，2（k+1）π），k∈Z且k≠0）的圖象與函數(shù)y=sinx（x∈［0，2π））的圖象的形狀完全一致. 于是我們只要將函數(shù)y=sinx（x∈［0，2π））的圖象向左、向右平行移動（每次2π個單位長度），就可以得到正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象，正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象叫做正弦曲線.
　　設(shè)計意圖：這一過程用課件處理，讓學(xué)生仔細(xì)觀察整個圖的形成過程，感知周期性.
　　
　　圖2
　　問題3利用單位圓用幾何法作出的圖象比較精確，但比較煩瑣，能否用描點法作出正弦曲線呢？
　　思考討論：觀察函數(shù)y=sinx（x∈［0，2π］）的圖象，它是一條光滑的“波浪線”，其中起關(guān)鍵作用的是以下五個點：最高點，1，最低點，－1，與x軸的交點（0，0），（π，0），（2π，0）.
　　事實上，描出這五個點后，函數(shù)y=sinx（x∈［0，2π］）的圖象形狀就基本上確定了. 因此，在精確度要求不高時，我們可先找出這五個關(guān)鍵點，再用光滑的曲線將它們連結(jié)起來，就得到函數(shù)的簡圖，這種作圖的方法稱為“五點法”作圖. 以后我們畫三角函數(shù)圖象時一般都采用這種方法.
　　“五點法”作圖的一般步驟是：（1）列表；（2）描點；（3）連線.
　　
　?。?）列表
　　
　?。?）描點
　?。?）連線（注意曲線的凹凸性，從左往右分別為凸升、凸降、凹降、凹升）
　　設(shè)計意圖：教師把“五點法”作圖過程在黑板上進(jìn)行詳細(xì)板演，并讓學(xué)生動手作圖，感知正弦函數(shù)的圖象.
　　探究二：余弦函數(shù)的圖象
　　問題1怎樣作出y=cosx（x∈R）的圖象？
　　議一議：（1）先利用余弦線作出y=cosx（x∈［0，2π］）上的圖象，再向左、向右平移（每次2π個單位長度）得到.
　?。?）由誘導(dǎo)公式，我們有y=cosx=sin+x，而函數(shù)y=sin+x（其中x∈R）的圖象可以通過y=sinx（x∈R）的圖象向左平移個單位長度得到. 因此，余弦函數(shù)的圖象可以通過正弦曲線向左平移個單位長度得到. 余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線.
　　
　　圖3
　　問題2怎樣用“五點法”作余弦曲線？
　　探究：與正弦曲線類似，y=cosx（其中x∈［2kπ，2kπ+2π］，k∈Z）的圖象與y=cosx（x∈［0，2π］）的圖象完全一樣，只要作出y=cosx（x∈［0，2π］）的圖象，再向左、向右平移（每次2π個單位長度）便可得到余弦曲線.
　　觀察y=cosx（x∈［0，2π］）的圖象可知，起關(guān)鍵作用的五個點應(yīng)是（0，1），，0，（π，－1），，0，（2π，1）. 同樣，在精確度要求不高時，我們可先找出這五個關(guān)鍵點，再用光滑的曲線將它們連結(jié)起來，就得到余弦函數(shù)的簡圖，這種作圖的方法稱為“五點法”作圖. 注意曲線的凹凸性，從左往右分別為凸降、凹降、凹升、凸升.
　　設(shè)計意圖：讓學(xué)生在學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)圖象畫法的基礎(chǔ)上，通過探究，自己類比得出余弦函數(shù)的圖象的畫法. 用課件演示正弦曲線平移為余弦曲線的過程，使學(xué)生更好地掌握正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系. 教師板演“五點法”作圖過程，并讓學(xué)生動手作圖，可讓學(xué)生更好地感知余弦函數(shù)的圖象.
　　3. 典例分析，深化知識
　　例1畫出下列函數(shù)的簡圖
　?。?）y=1+sinx（x∈［0，2π］）（教師提問，學(xué)生回答，師生共同完成，教師在黑板上示范）
　?。?）y=－cosx（x∈［0，2π］）（請一名學(xué)習(xí)成績中等的學(xué)生板演，其余學(xué)生自己練習(xí)）
　?。?）解：（五點法）作圖步驟：列表、描點、連線.
　　強(qiáng)調(diào)注意點：①x軸、y軸、箭頭不可少；②用光滑曲線連結(jié)（注意凹凸性）；③標(biāo)上函數(shù)及定義域.
　　思考：你能否從函數(shù)圖象變換的角度出發(fā)，利用函數(shù)y=sinx（x∈［0，2π］）的圖象平移得到y(tǒng)=1+sinx（x∈［0，2π］）的圖象？
　　答：先作出函數(shù)y=sinx（x∈［0，2π］）的圖象，再把所得圖象向上平移1個單位長度，從而得到y(tǒng)=1+sinx（x∈［0，2π］）的圖象.
　　小結(jié)：作函數(shù)簡圖常用“五點法”和“變換法”. 要得到y(tǒng)=sinx+k的圖象只需將y=sinx的圖象向上（k>0）或向下（k<0）平移k個單位長度.
　?。?）請其他學(xué)生指出板演中存在的問題并加以糾正（特別是曲線的凹凸性容易畫錯）. 接著請學(xué)生思考這題如何用變換法作圖.
　　設(shè)計意圖：對例1的第一小題教師在黑板上示范，并加以小結(jié)；例1的第二小題讓學(xué)生上臺板演，充分暴露錯誤，由其他學(xué)生幫其糾錯，使學(xué)生更好地掌握“五點法”. 通過此例使學(xué)生明白作函數(shù)簡圖常用“五點法”和“變換法”.
　　4. 鞏固練習(xí)，提高能力
　　畫出下列函數(shù)的簡圖：
　?。?）y=－sinx，x∈［0，2π］；
　?。?）y=1+cosx，x∈［0，2π］.
　　學(xué)生演練完畢后可采用實物投影儀將學(xué)生畫的圖象進(jìn)行展示，當(dāng)場修改其中的錯誤.
　　設(shè)計意圖：教師把學(xué)生的作業(yè)用實物投影儀展示，使學(xué)生通過當(dāng)堂練習(xí)反饋，更好地掌握本節(jié)課知識.
　　5. 歸納小結(jié)，知識升華
　　先由學(xué)生反思學(xué)習(xí)內(nèi)容并回答，教師再作補(bǔ)充完善.
　?。?）正弦、余弦函數(shù)在［0，2π］上圖象的作法有幾何法和五點法，其中“五點法”最常用，要牢記五個關(guān)鍵點.
　?。?）正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系. y=cosx（x∈R）的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象向左平移個單位得到.
　　（3）本節(jié)課用到的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合、類比和變換思想.
　　設(shè)計意圖：讓學(xué)生小結(jié)本節(jié)課主要知識，養(yǎng)成學(xué)習(xí)——總結(jié)——學(xué)習(xí)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)揮自我評價的作用，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力和語言表達(dá)能力.
　　6. 布置作業(yè)，鞏固提升
　?。?）（必做）閱讀作業(yè)： 閱讀課本P30—P33；
　?。?）（必做）書面作業(yè)：《數(shù)學(xué)作業(yè)本》P11—P13；
　?。?）（選做）研究性作業(yè)：思考y=1+sinx（x∈［0，2π］）的圖象通過怎樣的變換能得到函數(shù)y=1－sinx（x∈［0，2π］）的圖象.
　　設(shè)計意圖：布置分層次作業(yè)，體現(xiàn)了因材施教原則.
　　
　　教后反思
　　這堂課是筆者參加嵊州市學(xué)科帶頭人評比的一堂公開課，筆者根據(jù)教材和學(xué)生的情況，創(chuàng)造性地使用教材，創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情景，構(gòu)建有效的課堂教學(xué)活動，采用多媒體輔助教學(xué)手段，收到了較好的教學(xué)效果.做得較好之處具體如下：
　　1. 問題驅(qū)動教學(xué)，學(xué)生活動量大. 本節(jié)課從實驗演示入手，形成圖象的直觀感知后，通過設(shè)計一系列具有挑戰(zhàn)性的、開放性的問題，帶領(lǐng)學(xué)生探索正弦曲線、余弦曲線的準(zhǔn)確作法，形成理性認(rèn)識.問題設(shè)置層層深入，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，并對方法進(jìn)行歸納總結(jié)，體現(xiàn)了新課標(biāo)“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的課堂教學(xué)理念. 探究過程做到師生互動、生生互動，不斷深入，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)教學(xué)主要是數(shù)學(xué)活動教學(xué)”的教育思想，且符合新課程倡導(dǎo)的教學(xué)過程就是師生互動共同發(fā)展的過程，培養(yǎng)了學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式.
　　2. 恰當(dāng)運(yùn)用多媒體，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)內(nèi)涵. 本節(jié)課由于內(nèi)容較多，用課件和實物投影儀一方面可提高課堂教學(xué)的容量，增加學(xué)生思考和作圖的時間；另一方面用flash動畫演示“正弦函數(shù)的幾何作圖法”和正弦曲線平移為余弦曲線的過程，生動形象，可化解難點，突出重點，加深學(xué)生印象，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，體驗數(shù)學(xué)的魅力.
　　3. 重視畫圖練習(xí)，提高教學(xué)實效. 本節(jié)課所畫的圖象較多，能迅速準(zhǔn)確地畫出函數(shù)圖象對初學(xué)者來說是一個較高的要求，重在學(xué)生動手操作，不要怕學(xué)生出錯. 筆者在上課時，板演 “五點法”作圖過程后，就讓學(xué)生模仿作圖，并要求學(xué)生在開始時要慢些，首先要畫好直角坐標(biāo)系，然后準(zhǔn)確地找到每個點，最后注意曲線的凹凸性，用光滑的曲線連結(jié). 只有通過多次練習(xí)，才能使學(xué)生熟練地畫出圖象.通過畫圖訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、模仿能力.
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