摘 要: 概率與統(tǒng)計是中學數學教學中的重要部分,也是學生的難點之一,本文作者就概率與統(tǒng)計中的常見錯誤進行剖析,以引導學生正確理解和運算。
關鍵詞: 中學數學 概率與統(tǒng)計 錯誤剖析
一、對各事件概念理解不透徹,濫用公式
例1.拋擲一均勻的正方體玩具(各面分別標有數字1、2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一面的數是奇數”,事件B表示“朝上一面的數不超過3”,求P(A+B).
錯解:∵P(A)==,P(B)==.
∴P(A+B)=P(A)+P(B)=+=1.
剖析:出現1或3時,事件A、B同時發(fā)生,故事件A、B并不互斥.
正解:將A+B分成出現“1、2、3”與“5”這兩個事件,記出現“1、2、3”為事件C,出現“5”為事件D,則C與D兩事件互斥,故P(A+B)=P(C+D)=P(C)+P(D)=+=.
例2.某種產品100件,其中有5件是次品,現從中任意抽取5件,求恰有1個次品的概率.
錯解:由題意知,這種產品的次品率為5%,且每次抽取相互獨立,由獨立重復試驗概率公式,得5件產品中恰有1件次品的概率為P(1)=C(1-)=0.2036.
剖析:從100件產品中任取5件,可當作抽了5次,每次抽1個,但無論每次抽到次品還是正品,都影響到下一次抽到次品或正品的概率,故該試驗不是獨立重復試驗.
正解:設恰有1個次品為事件A,則P(A)==0.2214.
二、混淆“互斥”與“獨立”,張冠李戴
例3.有10件產品分三個等級,其中一等品4件,二等品3件,三等品3件,從10件產品中任取2件,求取出的2件產品同等級的概率.
錯解:分別記“取出2件一等品”、“取出2件二等品”、“取出2件三等品”為事件A、A、A,依題意知,事件A、A、A相互獨立,
∴P(A)=P(A?A?A)=P(A)?P(A)?P(A)=??=.
剖析:本題錯解的原因是把互斥事件當成相互獨立事件來考慮,實際上,A、A、A不可能同時發(fā)生,是互斥事件.
正解:P(A)=P(A+P+A)=P(A)+P(A)+P(A)=++=.
點評:不可能同時發(fā)生的兩個事件A、B叫做互斥事件.若事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)的發(fā)生沒有影響,則A、B叫做相互獨立事件.一般情況下,互斥與相互獨立是兩個互不等價,完全不同的概念.
三、審題時思維欠嚴密,或重或漏
例4.甲、乙兩個單位分別獨立地從10名應聘人員中招聘工作人員各2名,那么至少有1人被甲乙兩個單位都錄用的概率是多少?
錯解1:設至少有1人被兩個單位都錄用的事件為A.則基本事件總數為CC,事件A包含的結果有個CCC,這里C是確定被兩個單位都錄用的方法數,而CC是在剩下的9人中兩單位獨立招1人的方法數.故P(A)==.
錯解2:事件A包含的結果有CA個,這里A表示從9人中任選兩人分別進甲、乙兩單位,故P(A)==.
剖析:錯解1中,事件A所包含的結果出現重復,比如:若C確定的是a,而CC時兩個單位都選中b,與若C確定的是b,而CC時兩個單位都選中a,是同一種結果.
錯解2中,事件A所包含的結果是有且僅有1人被兩個單位同時錄用.遺漏恰有2人被兩個單位同時錄用的情況.
正解:事件A包含的結果有CA+C個,恰有1人被兩個單位同時錄用的結果有CA個,恰有2人被兩個單位同時錄用的結果有C個,所以P(A)==.
四、忽視隨機變量取值范圍,畫蛇添足
例5.設隨機變量的概率分布為
錯解:由分布列的性質知9a-a+3-8a=1,解得a=或.
剖析:上述解法中應用性質P(i=1,2,…)時,忽略了另一性質0≤P≤1(i=1,2,…),當a=時,3-8a=-<0,不符合后一條性質,必須舍去.
正解:9a-a+3-8a=10≤9a-a≤10≤3-8a≤1,解得a=.
五、誤讀隨機變量取值的實際意義,盲目下手
例6.某射手每次命中目標的概率為0.15,現該射手連續(xù)向某目標進行射擊,如果命中目標,則射擊停止,否則繼續(xù)射擊,直到命中目標,但射擊次數最多不超過10次,設該射手射擊次數為,則P(η=10)=?搖?搖?搖?搖?搖.
錯解:P(η=10)=0.85×0.15.
剖析:本題錯解的原因是沒有明確隨機變量η取值的實際意義,由于射擊次數不超過10次,因此η=10表示前9次射擊未中目標且第10次可能擊中也可能未擊中目標兩種情況,而錯解只考慮到第10次擊中這種情形.
正解:P(η=10)=0.85×(0.15+0.85)=0.85.故應填0.85.
六、忽視抽樣方法的本質,勞而無功
例7.某市為了了解職工家庭生活狀況,先把職工按所在行業(yè)分為10類,然后每個行業(yè)抽1000個家庭進行調查,這種抽樣是( )
A.簡單隨機抽樣B.系統(tǒng)抽樣
C.分層抽樣D.不屬于以上幾類抽樣
錯解:C.
剖析:由于每類家庭數不同,所以每個行業(yè)抽1000個家庭進行調查,每個家庭被抽到的概率也不同,而A、B、C這三種抽樣均是等概率抽樣.
正解:D.
注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文