摘 要： 三角函數(shù)中的“三變”指的是“變角、變次、變姓”．文章對有關(guān)典型高考試題進(jìn)行剖析和解答，引導(dǎo)解題者用心來體驗(yàn)、感悟一些所謂的“高超技巧”是如何實(shí)現(xiàn)“熟路駕輕車，別扭變自然”的．文章從對三種變形的分析中還指出解題者應(yīng)優(yōu)化解題心態(tài)，尤其是要達(dá)到良好心理狀態(tài)，在積累經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提升自己，樹立先進(jìn)的解題理念．這些對于學(xué)生從根本上提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平、增強(qiáng)解決問題的能力、優(yōu)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)都具有非凡的意義．
　　關(guān)鍵詞： 三角函數(shù)變角 變次 變姓
　　
　　數(shù)學(xué)被譽(yù)為“創(chuàng)造的科學(xué)”，一些具有創(chuàng)造性的所謂“高超技巧”令人感到撲朔迷離、眼花繚亂、神奇莫測、高不可攀.就說三角函數(shù)中的恒等變換技巧——“三變”吧，別出心裁的奇思妙想使人覺得不可思議、難以駕馭.而事實(shí)如何呢？有詩為證：
　　三變有何難，奧秘來體驗(yàn).創(chuàng)造本平凡，神奇亦簡單.
　　只要基礎(chǔ)實(shí)，不變應(yīng)萬變.心胸眼界寬，我也能看穿.
　　三角函數(shù)中的“三變”指的是“變角、變次、變姓”.本文通過一些典型高考試題的剖析和解答，用心來體驗(yàn)、感悟一些所謂的“高超技巧”是如何在我們手中實(shí)現(xiàn)“熟路駕輕車，別扭變自然”的.
　　1.變角
　　7°、15°、8°三個(gè)角之間有什么玄機(jī)？7°=15°-8°，一道極其簡單的算術(shù)題.再如β=α-（α-β）、2α=（α+β）+（α-β）、β=（-）+（+），等等.在三角函數(shù)變換中被稱為“變角”，實(shí)屬“貌不驚人”的“雕蟲小技”，但在解答相關(guān)問題中卻可以出奇制勝.
　　例1（1997年全國試題）求式子的值.
　　解析：運(yùn)用上面所說的技巧，立即奏效.
　　原式=
　　==tan15°=tan（45°-30°）=…=2-
　　三變兩化，好像“玩魔術(shù)”一樣，竟求得了一個(gè)陌生式子的準(zhǔn)確值.“外行看熱鬧，內(nèi)行看門道”，魔術(shù)師以掩蓋真相為奇，我們卻反其道而行之，以揭露真相為樂.
　　例2（1992年全國試題）設(shè)＜β＜α＜，cos（α-β）=，sin（α+β）=-，求sin2α.
　　解析：若看穿2α=（α+β）+（α-β）這個(gè)簡單奧秘，則此題實(shí)為“小菜一碟”，否則依靠硬闖蠻干，不能奏效.由已知，求得cos（α+β）=-，sin（α-β）=，則sin2α=sin［（α-β）+（α+β）］=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）=…=-.
　　另外，asinx+bcosx=sin（x+φ）是“變角”的又一常用模式，其中的φ被稱為輔助角.首次應(yīng)用時(shí)，無不嘖嘖稱奇，但當(dāng)熟能生巧后，便感到得心應(yīng)手、左右逢源.
　　2.變次
　　將高次變?yōu)榈痛?，或?qū)⒌痛巫優(yōu)楦叽?，這是代數(shù)中的常用技巧，鼓舞人心的是此技巧在三角變換中也可大顯身手.
　　例3（2009年湖北試題）“sinα=”是“cos2α=”的（ ）
　　A.充分非必要條件 B.必要非充分條件
　　C.充要條件D.既非充分又非必要條件
　　解析：cos2α與sinα之間有一根紐帶聯(lián)系著，即cos2α=1-2sinα，一次變?yōu)槎?，同時(shí)還出現(xiàn)了“變角”.由cos2α=1-2sinα=可解得sinα=±；反過來由sinα=可推得cos2α=，故選A.有了充要條件的參與，題目設(shè)計(jì)得更精彩.
　　例4（2008年廣東試題）設(shè)f（x）=（1+cos2x）sinx（x∈R），則函數(shù)f（x）是（）
　　A.最小正周期為π的奇函數(shù)
　　B.最小正周期為π的偶函數(shù)
　　C.最小正周期為的奇函數(shù)
　　D.最小正周期為的偶函數(shù)
　　解析：例3中的次數(shù)是“低變高”，屬于升冪；別忘記，還有次數(shù)“高變低”，屬于降冪.
　　因?yàn)閒（x）=2cosxsinx=sin2x=（1-cos4x），所以選D.
　　先升冪，后降冪，有升有降，多彩多姿.
　　3.變姓
　　三角函數(shù)有正弦、余弦，簡稱“弦”，還有正切、余切，簡稱“切”，“弦切互化”則是三角函數(shù)常用的技巧，故稱為“變姓”.
　　例5（2009年遼寧試題）已知tanθ=2，則sinθ+sinθcosθ-2cosθ的值為（）
　　A.- B. C.- D.
　　解析：典型的“弦化切”的“變名”技巧.
　　sinθ+sinθcosθ-2cosθ=
　　 ==…=.
　　例6（1988年全國試題）已知sinθ=-，且3π＜θ＜，求tan.
　　解析：已知“弦”的值，欲求“切”的值，當(dāng)然須“切化弦”，還要加上降冪.二十幾年前的這道試題，要求還是相當(dāng)高的，現(xiàn)在的要求降低了嗎？請看下面一例.
　　例7（2009年全國試題）若＜x＜，則函數(shù)y=tan2xtanx的最大值為?搖?搖?搖?搖.
　　解析：又是2x，又是三次方，很棘手.“切化弦”后，再看：
　　y=tanx=.由已知，得tanx＞1，y＜0.
　　通過換元，令tanx=t，則y=，三角函數(shù)變成了代數(shù)函數(shù)，這也是一種“變姓名”.
　　對于這類代數(shù)函數(shù)，應(yīng)該說我們是比較熟悉的，y==，則由∈（0，1），得（-）-的最小值為-，故原函數(shù)的最大值為-8.
　　換元、二次函數(shù)等，大大拓寬了我們的視野和知識面，使我們喜獲豐收.
　　三角函數(shù)中的“三變”是如此，數(shù)學(xué)中的其他所有技巧不都是如此嗎？具有了這樣的理念，優(yōu)化了我們的心態(tài)，一切都變得簡單了.行文至此，感慨良多，解答數(shù)學(xué)題的具體技巧、題目難度的大小已變得不十分重要了，更重要的是科學(xué)發(fā)展觀、先進(jìn)的解題指導(dǎo)思想和良好的心理狀態(tài).若達(dá)到了這樣的高境界，對于從根本上提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平、解決問題的能力、優(yōu)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)都具有非凡的意義.