參數(shù)問(wèn)題是目前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的熱門課題，常常出現(xiàn)在各類考試和競(jìng)賽中.本文以數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有關(guān)參數(shù)的題目為實(shí)例，歸納總結(jié)在含參不等式、函數(shù)、方程中，求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題的基本解法，并對(duì)其中滲透的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的探索研究.對(duì)于有些競(jìng)賽題，如果利用參數(shù)解題，有時(shí)會(huì)顯得十分靈活便利.本文還對(duì)參數(shù)在解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中的輔助作用進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析，并對(duì)引入?yún)?shù)解題的題型進(jìn)行簡(jiǎn)單的概括.
　　1.參數(shù)的取值問(wèn)題
　　求解參數(shù)取值范圍的這類問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣，內(nèi)容豐富.下面從含參數(shù)不等式、函數(shù)、方程三方面對(duì)求參數(shù)的解法進(jìn)行討論.
　　1.1含參數(shù)的不等式.
　　1.1.1利用基本不等式≥（a≥0，b≥0），它常用于證明不等式，以及求某些函數(shù)的最大值或最小值.
　　例1：（2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復(fù)賽）已知不等式（x+y）+≥9對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（）。
　　（A）2 （B）4 （C）6 （D） 8
　　解：因?yàn)椋▁+y）+＝1+a++≥1+a+2，所以1+a+2≥9恒成立，即（）≥9，解得a≥4.
　　1.1.2構(gòu)造輔助函數(shù).
　　構(gòu)造輔助函數(shù)是解不等式問(wèn)題的常用方法，就是從新的角度，用新的觀點(diǎn)觀察分析對(duì)象，依據(jù)已知條件的特點(diǎn)，構(gòu)造出一種新的形式，使問(wèn)題中隱蔽的關(guān)系和性質(zhì)清楚地展現(xiàn)出來(lái)，從而簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題.將不等式問(wèn)題通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)比如單調(diào)性、周期性，以及函數(shù)的圖像來(lái)研究，從而解決不等式問(wèn)題.
　　例2：（第12屆“希望杯”高二培訓(xùn)題）已知a∈R，則|a|≤1使不等式x+（a-4）x+4-2a>0，對(duì)于所有的a都成立的x的取值范圍是?搖?搖?搖?搖.
　　分析：原不等式即為（x-2）a+x-4x+4>0.
　　令g（a）=（x-2）a+x-4x+4，則g（a）>0對(duì)a∈［-1，1］恒成立.
　　∴ g（1）>0g（-1）>0，解得x>3或x<1.
　　觀察例2，發(fā)現(xiàn)對(duì)于有些問(wèn)題，若經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變形后，把參數(shù)分離出來(lái)使其為主元，構(gòu)造出以原式中的未知數(shù)為自變量的函數(shù)，再抓住函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征得出結(jié)論.
　　若分離出的參數(shù)恒大于（或小于）某個(gè)函數(shù)，則可設(shè)法求出該函數(shù)的最值，進(jìn)而確定參數(shù)的范圍;若分離出的參數(shù)可表示為主變量的函數(shù)，則可以求考慮該函數(shù)的值域，從而得到參數(shù)的取值范圍;若分離出的參數(shù)具有明顯的幾何意義，則可以用數(shù)形結(jié)合來(lái)解題.
　　1.1.3構(gòu)造方程，利用方程的性質(zhì)求解.
　　例3：（同例2）
　　解：構(gòu)造二次方程x+（a-4）x+4-2a=0，則其根為x=2，x=2-a.
　　因?yàn)?1≤a≤1，所以1≤x≤3.
　　因?yàn)椴坏仁絰+（a-4）x+4-2a>0對(duì)于滿足-1≤a≤1的一切實(shí)數(shù)恒成立，故所求的x范圍為（-∞，1）∪（3，+∞）.
　　1.2含參數(shù)的函數(shù)
　　求函數(shù)的解析式中或區(qū)間上的參數(shù)的值是一類難度較大的題型，下面通過(guò)幾個(gè)例題分析求解策略.
　　1.2.1利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解題，使函數(shù)的重要性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、凹凸性）有用武之地.
　　例4：（2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽）已知函數(shù)f（x）=-2x+bx+c在x=1時(shí)有最大值1，0　　解：由題意有f（x）=-2（x-1）+1，則f（x）≤1?圯≤1?圯m≥1.故f（x）在［m，n］上單調(diào)遞減.所以，f（m）=-2（m-1）+1=，且f（n）=-2（n-1）+1=.
　　所以，m，n是方程f（x）=-2（x-1）+1=的兩個(gè)解，解得x=1，，.
　　又1　　1.2.2利用不等式.
　　例5:（2007全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)）已知a，b（a≤b）為正整數(shù)，實(shí)數(shù)x，y滿足x+y=4（+）.若x+y的最大值為40，則滿足條件中的數(shù)對(duì)（a，b）的個(gè)數(shù)為（）.
　　分析：x+y=4（+）≤4，
　　故（x+y）-32（x+y）-32（a+b）≤0，x+y≤16+4，
　　得16+4=40，可知a+b=10.下略.
　　1.2.3利用導(dǎo)數(shù).
　　例6：（2007年“希望杯”試題）已知奇函數(shù)f（x）=在區(qū)間（-∞，-1）上單調(diào)遞增，且f（1）=2，f（2）<4，則c=?搖?搖?搖?搖，b的取值范圍是?搖?搖?搖?搖.
　　解：因?yàn)閒（x）=是奇函數(shù)，所以=-.
　　于是c=0.由f（1）=2得，=2，即a=2b-2.
　　由f（2）<4，f（2）===4-<4，所以b>0.
　　又因?yàn)閒（x）在區(qū)間（-∞，-1）上單調(diào)遞增，所以f′（x）==->0在x∈（-∞，-1）上恒成立.即當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，b>1+恒成立，所以b≥2.故c=0，b的取值范圍是［2，+∞）.
　　1.3含參數(shù)的方程
　　1.3.1直接利用求根公式.
　　1.3.2利用判別式.
　　例7:（2008年上海市杯高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽）設(shè)分別投擲A、B兩顆骰子所得的點(diǎn)數(shù)順次為a、b，則使得關(guān)于x的二次方程x-2（a-3）x-b+9有實(shí)數(shù)解的數(shù)對(duì)（a，b）共有?搖?搖?搖?搖個(gè).
　　分析:由方程有實(shí)數(shù)解知Δ≥0，有a-6a+b≥0，由此得到a、b的關(guān)系.
　　因?yàn)閍、b只可能取1，2，3，4，5，6，所以分別取a=1，2，3，4，5，6，再求出符合條件的b.解得答案為26.
　　對(duì)給定的一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），則
　　（1）方程有異號(hào)兩根的充要條件是ac<0，
　?。?）方程有兩正根的充要條件是Δ=b-4ac≥0，ab<0，ac>0，
　　（3）方程有兩負(fù)根的充要條件是Δ=b-4ac≥0，ab>0，ac>0.
　　1.3.3利用韋達(dá)定理.
　　方程的根與系數(shù)的關(guān)系是方程的一個(gè)重要性質(zhì)，它與求（最）值問(wèn)題、方程的整數(shù)根問(wèn)題，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題、根的分布等都有關(guān)系.在求與一元二次方程根有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要從整體上把握住兩根之和、兩根之積，然后結(jié)合其他知識(shí)綜合求解.
　　例8:（2004年第1期數(shù)學(xué)奧林匹克）求出所有的實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的一元二次方程5x-5ax+66a-1=0的兩個(gè)根都是整數(shù).
　　分析：設(shè)方程的兩個(gè)整數(shù)為x，x（x≤x）.
　　由韋達(dá)定理有x+x=axx=.
　　消去a，化簡(jiǎn)得5xx=66（x+x）-1.
　　不難得到，（5x-66）（5x-66）=4351=19×229.下略.
　　以上是對(duì)在不等式、方程、函數(shù)中求解參數(shù)范圍的基本解法的概況.當(dāng)然除了以上介紹的方法外，因問(wèn)題給出的題設(shè)條件不同，還會(huì)有其它的一些解法，有待于我們?nèi)パ芯颗c探索.
　　通過(guò)比較前面所介紹的方法，我們不難發(fā)現(xiàn)不等式、函數(shù)、方程之間緊密相關(guān)，可以相互轉(zhuǎn)化，比如通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決不等式、方程中的參數(shù)問(wèn)題，利用不等式來(lái)解決函數(shù)中的參數(shù)問(wèn)題等，所以通過(guò)總結(jié)與比較，下面談?wù)勗谇髤?shù)時(shí)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.
　　1.4數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用
　　1.4.1函數(shù)思想.
　　因?yàn)楹瘮?shù)、方程、不等書(shū)之間有著緊密的聯(lián)系，所以在解答不等式、方程的參數(shù)問(wèn)題時(shí)，不妨構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)解決，往往有事半功倍的作用.
　　1.4.2換元思想.
　　換元是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，將題中的參數(shù)有選擇的進(jìn)行代換，使一些復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.
　　1.4.3數(shù)形轉(zhuǎn)化.
　　數(shù)和形是數(shù)學(xué)中最基本的兩大概念，在一定條件下數(shù)和形可以相互轉(zhuǎn)化，借助圖形可以使許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)參數(shù)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，尋找解題思路，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決.
　　
　　1.4.4轉(zhuǎn)化思想.
　　將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，或?qū)Σ灰字苯忧蠼獾膯?wèn)題轉(zhuǎn)化為其等價(jià)的命題，從而使問(wèn)題得到解決，比如將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)來(lái)解決.
　　1.4.5分類思想.
　　所謂分類思想指將被研究的某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題視為一個(gè)整體，然后根據(jù)一定的劃分標(biāo)準(zhǔn)，將整體分為幾部分，通過(guò)對(duì)這幾個(gè)部分問(wèn)題的解答，得到原整體問(wèn)題的解答.通過(guò)分類，能把復(fù)雜問(wèn)題化為單一的簡(jiǎn)單問(wèn)題，從而解決問(wèn)題.
　　2.引入?yún)?shù)解題
　　對(duì)于某些競(jìng)賽題，如果直接來(lái)解會(huì)顯得比較繁瑣，但是通過(guò)恰當(dāng)?shù)匾雲(yún)?shù)參與運(yùn)算，往往可以使思路清晰過(guò)程簡(jiǎn)便.
　　2.1參數(shù)在解競(jìng)賽題中的幾個(gè)輔助作用
　　例9:（2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)）已知a，b∈，1.求證：+≤.
　　證明：
　?。ǚ椒ㄒ唬遖，b∈，1，∴b∈，，2b∈［1，2］.
　　∴a≤2b，a≥b，即2a≥b，
　　∴（a-2b）（2a-b）≤0，即2（a+b）≤5ab，
　　兩端同時(shí)除以2ab，得+≤.
　?。ǚ椒ǘ┝顃=，則t∈，2，從而+=t+.
　　因?yàn)閒（t）=t+在，1上單調(diào)遞減，在［1，2］上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=或t=2時(shí)，f（x）=，命題得證.
　　以上對(duì)例題使用了不同的方法來(lái)解答，可以看出如果恰當(dāng)?shù)匾胼o助參數(shù)來(lái)解題，不僅對(duì)揭示題設(shè)中的隱蔽條件及各條件的相互關(guān)系具有十分重要的作用，而且能很巧妙地解答問(wèn)題.由此可以概括出以下內(nèi)容.
　　2.1.1簡(jiǎn)化作用.
　　通過(guò)用參數(shù)去替換局部或整體，使命題結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，把一些復(fù)雜的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，這樣有利于思考和解決問(wèn)題.
　　2.1.2橋梁作用.
　　引入?yún)?shù)，恰到好處地溝通已知與未知條件之間的聯(lián)系，為我們順利地解答問(wèn)題提供了線索，巧妙地將問(wèn)題轉(zhuǎn)移，比如在證明不等式問(wèn)題中，可以通過(guò)引入?yún)?shù)，把證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化成對(duì)參數(shù)的討論來(lái)解決.
　　2.1.3轉(zhuǎn)化作用.
　　參數(shù)可以改變?cè)瓉?lái)問(wèn)題的形式和要求，將原命題等價(jià)地轉(zhuǎn)化成另一個(gè)命題，向我們熟悉的方向轉(zhuǎn)化，有利于我們解決問(wèn)題.
　　2.2應(yīng)用參數(shù)解題的題型
　　通過(guò)分析，可以看出參數(shù)在解題的過(guò)程中具有十分顯著的功效，那么，在什么類型的題目中采用參數(shù)來(lái)解題會(huì)更加方便呢？
　　2.2.1在有關(guān)分式問(wèn)題中，不妨先考慮運(yùn)用參數(shù).
　?。?）題設(shè)中的分式是以連比的形式出現(xiàn).例如：
　　若==，求的值.
　?。?）題設(shè)中有兩個(gè)分式互為倒數(shù).
　?。?）對(duì)于有些較復(fù)雜的分式，如果采用通分變形會(huì)使問(wèn)題變得更加復(fù)雜，為了方便計(jì)算簡(jiǎn)化過(guò)程，可以用字母代替變量進(jìn)行換元.部分換元是以新的變量代換原題中的某一部分，將原題轉(zhuǎn)化為另一種形式；整體代換是從整體角度考慮問(wèn)題，抓住問(wèn)題與其它知識(shí)的聯(lián)系，以新的變量代換原命題.
　　2.2.2證明不等式的問(wèn)題.雖然不等式的證明方法因題而異，靈活多樣，技巧性強(qiáng)，但是利用參數(shù)證明不等式卻是其中相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)便的.
　　2.2.3若通過(guò)采用換元引參降低變?cè)螖?shù)或?qū)o(wú)理式有理化，則可以設(shè)參數(shù)解題.例如：
　　計(jì)算時(shí)，可以令x=，
　　則x=6+=6+x.
　　2.2.4若題設(shè)中涉及到曲線方程，則可以先考慮設(shè)參數(shù)方程，利用參數(shù)方程可以求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、變量的范圍及最值問(wèn)題等.
　　幾種常見(jiàn)的參數(shù)方程：
　?。?）一般曲線的參數(shù)方程：x=f（t）y=f（t）（t為參數(shù)）
　?。?）過(guò)定點(diǎn)p（x，y），傾斜角為α的直線的參數(shù)方程是：x=x+tcosαy=y+tsinα（t為參數(shù)）
　?。?）圓C：（x-x）+（y-y）=r的參數(shù)方程是：x=x+rcosαy=y+rsinα（α為參數(shù)）
　?。?）橢圓C：b（x-x）+a（y-y）=ab的參數(shù)方程是：x=x+acosθy=y+bsinθ（θ為參數(shù)）
　　2.2.5求函數(shù)的值域問(wèn)題.
　　2.2.6在某些應(yīng)用題中常常有多個(gè)未知量，但并非都是題目要求的，有的未知量只起到動(dòng)態(tài)描述的作用，卻同要求的未知量密切相關(guān)，這種未知量叫做動(dòng)態(tài)未知量.解這類含有動(dòng)態(tài)未知量的應(yīng)用時(shí)就要采用參數(shù)法，一般將動(dòng)態(tài)未知量設(shè)為參數(shù).
　　以上是對(duì)參數(shù)法在解題時(shí)的應(yīng)用的簡(jiǎn)單分析，可見(jiàn)參數(shù)法不僅是一種數(shù)學(xué)方法，而且是一種數(shù)學(xué)思想，有著不容忽視的意義.
　　綜上所述，可以看出參數(shù)問(wèn)題涉及了多方面的知識(shí)，內(nèi)容豐富，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.通過(guò)對(duì)求解參數(shù)范圍問(wèn)題基本方法的概括，對(duì)滲透的數(shù)學(xué)思想方法的簡(jiǎn)單的探索研究，以及對(duì)參數(shù)在解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中輔助作用的分析，不只能對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)加以鞏固，同時(shí)還能加深對(duì)參數(shù)的理解，從而更好地應(yīng)對(duì)競(jìng)賽中的相關(guān)參數(shù)范圍問(wèn)題.
　　
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　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”