當(dāng)我上了一節(jié)節(jié)充滿創(chuàng)新意味的數(shù)學(xué)課,比如《規(guī)律的規(guī)律》《分?jǐn)?shù)的意義》《三角形三邊關(guān)系》《角的度量》《游戲公平》《圓的認(rèn)識》《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》《審題》《我會用計(jì)算器嗎?》《百分?jǐn)?shù)的意義》,同行們十分羨慕和佩服。老子說:“魚不可脫于淵,國之利器不可以示人?!逼鋵?shí),“課”之利器可以示人,創(chuàng)新好課的方法并不神秘。
我的體會是:好課來自困惑,創(chuàng)新緣起問題。只要我們敢于回顧以前的教學(xué)場景,自己和同行們以往上過的課,批判地反思不自然、不真實(shí)、太零碎、欠科學(xué)的教學(xué)環(huán)節(jié),找出存在的問題,我們就能上好有思想價(jià)值的課。
一、不自然的
以前教學(xué)《圓的認(rèn)識》時(shí),我們常常畫地為牢,不敢越雷池一步。新課改給了我們打破傳統(tǒng)的勇氣。不要講的,就不講;不該練的,就不練;不該課上練的,就讓學(xué)生課后練。學(xué)習(xí)本不該是重在熟能生巧,更有價(jià)值的應(yīng)該是急中生智。
以前我們教學(xué)圓的特征,在概括出“半徑都相等”和“直徑都相等”后,總要追問:“在這里要不要加上一句什么話?”學(xué)生不明就里,丈二和尚摸不著頭腦。尷尬無奈之下,教師從學(xué)生桌上拿出一個(gè)學(xué)生畫的小圓,比著黑板上教師畫的大圓,問道:“能說這兩個(gè)圓的半徑都相等嗎?”“不能”?!澳窍胂朐凇霃蕉枷嗟取?、‘直徑都相等’的前面要加一句什么?”“噢,在同一個(gè)圓中。”“想想——還有什么可能?對啦,在等圓中?!苯處熩s緊找個(gè)臺階下。
為什么要加上前提條件“在同一個(gè)圓中或等圓中”?究竟要不要?什么時(shí)候、怎樣的人,才會看著一個(gè)大圓和一個(gè)小圓問:“這兩個(gè)圓的半徑都相等嗎?”請問:我們說“正常人的兩條腿是一樣長的”,怎么不加上前提條件“在同一個(gè)人身上”?以后再說“正方形的四條邊都相等”,還要不要加上“在同一個(gè)正方形中”呢?數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)就是這樣的嗎?要加上前提條件“在同一個(gè)圓中或等圓中”,這是不是教學(xué)內(nèi)容上的形式主義?什么是特征?是否是某一類物體中每一個(gè)個(gè)體都具備的?既然是每一個(gè)個(gè)體都具備的,那還要不要加“在同一個(gè)圓中”呢?我們?yōu)槭裁匆屪约簩擂危炎约禾走M(jìn)去呢?
我同樣地去質(zhì)疑——半徑和直徑的概念,是不是應(yīng)該“濃墨重彩”地去渲染?“圓”的概念都沒有給出,是否需要咬文嚼字地概括出“半徑”和“直徑”的概念?揭示兩者概念后,讓學(xué)生從一個(gè)圓內(nèi)各個(gè)不同的線段中挑出“半徑”和“直徑”,有沒有哪位老師見過學(xué)生有錯(cuò)?學(xué)生都不會有錯(cuò)的活動,要不要組織?
因此,我不再組織咬文嚼字的教學(xué)活動,而是讓學(xué)生在我當(dāng)堂畫在黑板的圓上標(biāo)出半徑和直徑。
師:誰能在這個(gè)圓上標(biāo)出一條半徑?
生(爭先恐后地):我!我!
師(指名一位學(xué)生板畫后,老師和同學(xué)一起邊看邊問):我們看他是怎樣畫的?他在找什么?
生(齊):圓心。(學(xué)生畫出了半徑后,大家不約而同地為他準(zhǔn)確的畫法鼓起掌來。)
師:他畫得多認(rèn)真呀!誰再來畫一條直徑呢?
當(dāng)我在另外一個(gè)班教學(xué)時(shí),一位女生畫直徑時(shí),把三角尺死死地壓在圓心上。她可能沒有用粉筆畫線的經(jīng)驗(yàn),她畫的直徑將不經(jīng)過圓心。我正高興,終于可以有“融錯(cuò)”環(huán)節(jié)了。哪知道她移開三角尺,發(fā)現(xiàn)了這條“直徑”沒有通過圓心,就用粉筆一圈一圈地把圓心圈大,使“直徑”通過了圓心。全場哄堂大笑。
“真沒有”時(shí),就別強(qiáng)求。
我想:在半徑、直徑的概念上,還需要我們強(qiáng)調(diào)什么呢?現(xiàn)在我再講《圓的認(rèn)識》,畫半徑和直徑的環(huán)節(jié)也去掉了。
因此,現(xiàn)在我講《圓的認(rèn)識》,就創(chuàng)設(shè)了小明參加頭腦奧林匹克的尋寶活動情境:小明得到這樣一張紙條——“寶物距離你左腳3米?!毕胍幌耄瑢毼锟赡茉谀哪?(稍頓)你手頭的白紙上有一個(gè)紅點(diǎn),這個(gè)紅點(diǎn)就代表小明的左腳,用1厘米表示1米,請?jiān)诩埳媳硎境瞿愕南敕ā?br/> 用“是什么?”“為什么?”“怎么做?”“為何這樣做?”等四個(gè)問題做成的金鑰匙,帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)象到本質(zhì)的探究過程,促使學(xué)生養(yǎng)成研究問題的良好意識。
最后再加上第五把金鑰匙“一定這樣嗎”,組織學(xué)生回頭追問:“寶物一定是在以小明左腳為圓心,半徑3米的圓上嗎?”讓學(xué)生自己由圓突破到球,認(rèn)識到圓和球的相同與不同。
自然的才是真的,才是最美的。
二、不真實(shí)的
以往有的教學(xué)常常教在不需要教的地方,需要教的地方反而沒有教,就像愛因斯坦說的那樣:“取一塊木板在上面尋找最薄弱的部位,在那些容易打孔的地方鉆開無數(shù)個(gè)孔。”什么是不需要教的地方?學(xué)生已經(jīng)會了,不再出錯(cuò)的地方。哪里是需要教的地方?學(xué)生出錯(cuò)的地方就是我們老師需要教的地方,是展示教師價(jià)值的地方,是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的地方。為什么需要教的地方而我們老師沒有教呢?并不是我們教師主觀上的不作為,而是傳統(tǒng)的教學(xué)習(xí)慣使然。傳統(tǒng)的課堂里,教師往往滿足于學(xué)生的一路凱歌,陶醉于學(xué)生的一無錯(cuò)處,而視學(xué)生的差錯(cuò)為洪水猛獸、魔鬼毒蛇,避之猶恐不及。如果我們把學(xué)生的差錯(cuò)看成難得的資源,并且成功地加以運(yùn)用,那么我們的課堂就因“融錯(cuò)”而有意義、有生命力!
關(guān)于四年級的“計(jì)算器”,以往我們會自以為是地教給學(xué)生怎樣開機(jī)、關(guān)機(jī),認(rèn)識數(shù)字鍵、運(yùn)算符號鍵、顯示屏,會板書按鍵的程序框圖。其實(shí),這些都不需要教。我在北京做過調(diào)查,95%的三年級小學(xué)生都會使用計(jì)算器。但是學(xué)生很會“配合”,開始裝作不會,聽老師講授。其實(shí),師生雙方都心知肚明,講的沒味,聽的沒勁,但都在“盡職”。是回避,還是引導(dǎo)?幾經(jīng)思考,我確定了“計(jì)算器”的教學(xué)目標(biāo):讓學(xué)生體會到什么時(shí)候該用計(jì)算器什么時(shí)候不該用,知道怎么看待計(jì)算器顯示的結(jié)果,糾正學(xué)生對計(jì)算器的錯(cuò)誤認(rèn)識,介紹給學(xué)生兩個(gè)非常有用但還不知道用的功能鍵,享受借助計(jì)算器而超越計(jì)算器的快慰。老師的價(jià)值體現(xiàn)在學(xué)生使用計(jì)算器過程中出現(xiàn)問題的指導(dǎo)上。
課始——
師:(在黑板上貼出一張計(jì)算器圖片)認(rèn)識這個(gè)嗎?
生:(齊)認(rèn)識!計(jì)算器。
師:是啊,地球人都知道。那你在哪些地方看到過呢?
師:(抬腕)我這個(gè)手表上也有。能說得盡嗎?
生:說不盡。
師:在我們的身邊,計(jì)算器是無處不在的。那么……(老師的話語停住了,開始板書,和黑板上的圖片組成一句話:“我會用計(jì)算器嗎?”在老師板書的時(shí)候,每一個(gè)學(xué)生都隨著每一筆板書猜測老師要寫的字。)
師: 問問自己。
生:(齊)我會用計(jì)算器嗎?
師:會嗎?
生:(胸有成竹,異口同聲地)會!
師:真的會嗎?
生:真的會!
師:(風(fēng)趣地)那我要下崗了,這堂課不用上了。都會啊?那行,就考考你自己吧。這里有三道題——
?、?7734+7698=②56÷7=③2345-39×21=
師:看看你自己是不是真的會用計(jì)算器,看誰算得又準(zhǔn)又快,開始。
(學(xué)生開始用計(jì)算器計(jì)算。)
師:第一道題等于多少?
生:65432。
師:第二道題不用說了是吧。第二道題有用計(jì)算器的嗎?(有用了的,有沒用的,都有。)
師:第三道題呢?
生1:1526。
生2:48426。
師:究竟哪個(gè)答案對呢?
生:我們的答案是1526。
師:大家都認(rèn)為1526是對的,其實(shí)也就是這種做法。(課件出示:③2345-39×21=2345-819=1526)
生1:其實(shí)48426也是對的。不過,可能她的計(jì)算器是算術(shù)型的,不知道先乘除后加減。
師:是誰不知道先乘除后加減?
(眾生看著報(bào)出“48426”的同學(xué),語氣中有些諒解:“是她。”也有個(gè)別同學(xué)說:“是計(jì)算器?!?
生2:因?yàn)槿绻强茖W(xué)型計(jì)算器的話,應(yīng)該知道先算39×21;要是普通型的話,按順序輸入就會先計(jì)算2345-39的得數(shù)然后再乘31,所以得數(shù)是48426。
師:(恍然大悟狀)噢,真佩服!大家的計(jì)算器可能大多數(shù)不是科學(xué)型的,不是聰明型的,而是傻瓜型的,就像傻瓜照相機(jī)一樣。傻瓜型的計(jì)算器就會按輸入順序計(jì)算,算出來的結(jié)果就是48426。我很贊同剛才這個(gè)同學(xué)的分析。其實(shí)開始出現(xiàn)這個(gè)結(jié)果的時(shí)候,我們還可以用估算來分析一下,是不是?誰來說說怎樣用估算來判斷?
生1:先把2345約等于2300,然后把39約等于40,2l約等于20,20乘40等于800,2300-800=1500。
生2:還可以更簡單地估算。2345減去一個(gè)數(shù)不可能大于2345。
(報(bào)出“48426”的同學(xué)羞愧地點(diǎn)點(diǎn)頭。)
師:看來估算挺有用的,關(guān)鍵是我們要養(yǎng)成用計(jì)算器計(jì)算之前或之后估一估的習(xí)慣。那么這幾道題做完以后,你有什么想法?有沒有學(xué)到些什么……
師:好了,現(xiàn)在會用計(jì)算器了嗎?
生:會了。
數(shù)學(xué)教學(xué)是基于學(xué)生的。課始呈現(xiàn)的三道題,蘊(yùn)涵著多重的價(jià)值:第一,鼓勵(lì)學(xué)生自己嘗試使用計(jì)算器,暴露學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)。第二,使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)新的操作的愿望,教師在需要教的時(shí)候提供“強(qiáng)有力”的幫助。第三,將計(jì)算器與估算、心算等相結(jié)合:簡單的計(jì)算不必使用計(jì)算器,估算能夠幫助我們發(fā)現(xiàn)計(jì)算器使用中的錯(cuò)誤。人們在生活中是十分相信計(jì)算器的,甚至是“迷信”,但計(jì)算器算出來的結(jié)果一定對嗎?
在全班同學(xué)都胸有成竹地認(rèn)為“我會用計(jì)算器”的情況下,卻有不少同學(xué)出錯(cuò)了。這時(shí)的差錯(cuò)是提醒,學(xué)生們立刻來了興致。
不知道什么時(shí)候該用計(jì)算器,不該用時(shí)都用了,能算會嗎?不知道計(jì)算器還有聰明型與傻瓜型之分,能算會嗎?孔子說:“工欲善其事,必先利其器?!庇錾匣旌线\(yùn)算,只會一步一步地把計(jì)算器算出的得數(shù)記下,面對計(jì)算器上的M+、MR鍵卻視而不見,能算會嗎?考慮到可能有學(xué)生用“倒減”的方法來解決記憶中間數(shù)的問題,我預(yù)設(shè)了一道練習(xí)題“20655÷(27×45)= ”,對全班同學(xué)是鞏固,對提出“倒減”的同學(xué)還是醒悟:“凡事都是有利有弊的”……“我唯一知道的便是我的無知”,課堂上的學(xué)生,對手中的計(jì)算器懷有了更多的好奇和探究的沖動。而這種“無知之知”,卻不是由教師明白無誤地告知,而是在教師巧妙的設(shè)計(jì)和不露痕跡的引導(dǎo)中學(xué)生體會到的,因而這種“無知之知”不會讓學(xué)生產(chǎn)生焦慮或羞愧,而是引發(fā)學(xué)生“愛智慧”。
課尾——
師:我們來挑戰(zhàn)一下自己,好不好?(板書:22222222×55555555=)
生:(埋頭苦算中……有的在抱怨說計(jì)算器容不下,有的很快算出了結(jié)果。)
師:誰來說說結(jié)果?
生1:1.234567877E15
生2:1.234568E15
生3:1.23456787715
師:誰還有其他的結(jié)果?
生4:1.234567877×1015
師:用普通計(jì)算器的有沒有結(jié)果?
生5:E12345678
生6:E1234567876
生7:1.234567815
生8:12345678E
師:還有結(jié)果?不用再報(bào)結(jié)果了。你有什么疑問嗎?
生1:怎么會有這么多不同的結(jié)果?
生2:大家用的計(jì)算器不一樣,結(jié)果也就不一樣。
生1:難道這么多結(jié)果都是對的嗎?
師:是啊,說了這么多結(jié)果,哪個(gè)才是對的呢?
生:(迷茫地)不知道啊。
生:都不對,二五一十,末位應(yīng)該是0。(同學(xué)們紛紛點(diǎn)頭贊同,還有同學(xué)補(bǔ)充“這兩個(gè)數(shù)乘起來也不會是1點(diǎn)幾啊”。)
師:那正確的結(jié)果究竟是多少呢?現(xiàn)在我們能不能把正確結(jié)果找出來呢?前后四個(gè)同學(xué)組成一小組想想辦法吧。(學(xué)生小組討論了兩分鐘。)
師:商量了,現(xiàn)在找到辦法了嗎?
生:(垂頭喪氣地)沒有。
生1:我覺得用2×8的結(jié)果乘以5×8的結(jié)果。
(同學(xué)們先是愣住了,接著少數(shù)學(xué)生笑了。)
師:好,大膽的想法!那現(xiàn)在大家一起算一下。
生(齊):640。(笑的人更多了,聲音更響了。)
生1:我錯(cuò)了。
師:哦,他自己就發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了。不過,我很佩服這位同學(xué),在計(jì)算器沒法算的情況下,他想到動腦子了!(老師帶頭鼓掌,學(xué)生們也鼓起掌來。)
生:(急切地、興奮地)可以口算,二五一十,二五一十,8個(gè)二五一十,所以得數(shù)是111111110。(老師沖她點(diǎn)頭,少數(shù)同學(xué)為她鼓掌。)
生1:不對,8個(gè)2乘8個(gè)5的得數(shù)應(yīng)該是15位或者16位數(shù)。(老師向他豎起大拇指,示意同學(xué)們繼續(xù)思考。又等了十幾秒鐘,學(xué)生似乎仍然摸不著頭腦。)
師:看來我們是山窮水盡,找不到路了,是吧?
生(齊):嗯!
師:(神秘地)我有祖?zhèn)髅胤健?br/> ……
師:算完以后,你現(xiàn)在有什么想法?
生:我覺得看起來這個(gè)數(shù)字很龐大,用計(jì)算器算不太可能,但是掌握了這里面的技巧,這么大的數(shù)用腦子就可以算出來,說明計(jì)算器不是萬能的。
生:這么大的數(shù)據(jù)在計(jì)算器上卻是不正確的,然而用人的智慧卻可以算出準(zhǔn)確的答案,可以說人比計(jì)算器更聰明。
師:說得好不好?
生:好!(鼓掌)
師:剛才有個(gè)同學(xué)問得特別好,他想:為什么是這樣的一個(gè)規(guī)律啊?來,一起把這個(gè)結(jié)果說出來。
生(齊):1234567876543210。
師:其實(shí)這個(gè)竅門是我們的祖先老子告訴我的。(課件出示:天下難事,必作于易,天下大事,必作于細(xì)?!献?
生:(齊讀。)
師:(板書:天下難事,必作于易)由容易的入手,我們先借助計(jì)算器發(fā)現(xiàn)規(guī)律,再用規(guī)律去解決用計(jì)算器不能直接解決的問題。借助計(jì)算器而超越計(jì)算器,我覺得是使用計(jì)算器的很高境界。行了,孩子們,再問問自己。(手指課題)
生:(自豪而有意味地齊聲問道)我會用計(jì)算器嗎?
師:這節(jié)課,我們一遍一遍地問自己,“我會用計(jì)算器嗎?”同學(xué)們的回答總是“會”,從后往前看,其實(shí)都不能算完全的“會”,但從前往后看,確實(shí)都是“會了”,不過“會”的水平是越來越高了,真是應(yīng)了那四個(gè)字——(板書:學(xué)無止境)。下課。
根據(jù)大家熟知的“對稱的數(shù)學(xué)金字塔”:
1×1 =1
11×11 =121
111×111 =12321
1111×1111 =123432l
……
我加工成了“22222222×55555555=?”,可以說是苦心孤詣。這樣的題更富有挑戰(zhàn)性,恰到好處地滲透了“化難為易,化繁為簡”的轉(zhuǎn)化思想,讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)美妙的同時(shí)為學(xué)生的曲徑通幽預(yù)埋了伏筆。
計(jì)算器顯示出的錯(cuò)誤答案,就像一塊此路不通的“路標(biāo)”,指引學(xué)生另辟新道;同學(xué)“640”的錯(cuò)誤答案,是一種啟發(fā),啟發(fā)同學(xué)們?nèi)ヌ綄?shù)與數(shù)之間的關(guān)系;“11111110”可以說就是一種進(jìn)步,是老師預(yù)設(shè)的,但可以說是前一個(gè)差錯(cuò)撞擊出的;出乎意料的豎式,又可以說是受“111111110”的提示。
另外,我還設(shè)計(jì)了一道“試一試:999999999×999999999
=?”,以鞏固“化難為易,化繁為簡”的轉(zhuǎn)化方法。
三、太零碎的
教學(xué)《角的度量》時(shí),我們總是先帶著學(xué)生認(rèn)識量角器:中心點(diǎn),零度刻度線,內(nèi)圈度數(shù),外圈度數(shù)。不同版本的教材上都是先量角后畫角。
這節(jié)課到底要認(rèn)識量角器的什么?我回憶起學(xué)生拿著量角器手足無措的樣子,往往是用量角器的直邊和圓弧夾的角比在要量的角上。原來學(xué)生找不到量角器上的角!因此,我讓學(xué)生討論這是不是角,能在量角器上找到角嗎?我大膽地想:能讓學(xué)生先在量角器上畫角然后再量角嗎?進(jìn)而,我再追問:“量角的本質(zhì)是什么?”“重合。”如果學(xué)生在量角器上清晰地找到角了,量角的問題就能迎刃而解。因此,我決定讓學(xué)生在量角器上畫角,再交流有沒有不同的角,這樣順勢就可以介紹“中心點(diǎn)”、“0度刻度線”、“內(nèi)外圈刻度”、1度的角、度數(shù)的寫法等。
我根據(jù)學(xué)生簡單地用量角器的尖角比著要量的角,順勢組織學(xué)生討論那個(gè)尖角是不是角,然后創(chuàng)造性地讓學(xué)生在量角之前,先在紙質(zhì)量角器上畫角,學(xué)生明白了量角器上有若干個(gè)大小不同的角,“抓大放小”地認(rèn)識了量角器之后,順其自然地揭示量角的本質(zhì),從而讓學(xué)習(xí)像呼吸一樣自然。
在復(fù)印機(jī)上排好四個(gè)量角器,一摁鍵出來了紙質(zhì)量角器。紙質(zhì)量角器這一素材的產(chǎn)生,就是順應(yīng)了學(xué)生認(rèn)識量角器的規(guī)律,揭示了認(rèn)識量角器的根本。
四、欠科學(xué)的
教學(xué)《游戲公平》,教材上是通過拋硬幣的實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生認(rèn)識可能性??墒沁@樣的實(shí)驗(yàn)不用做,做了往往不可收拾。讓學(xué)生拋10次硬幣,有的8次正面,2次反面;有的9次反面,1次正面……大組合計(jì)之后,正反兩面的次數(shù)仍然存在較大差距。張老師課堂上是這樣,王老師課堂也是如此。小概率事件為什么成為大概率事件?
原來,我們只規(guī)定了學(xué)生拋的次數(shù),沒有規(guī)定拋的高度、角度、力度。學(xué)生高高地拋出第一次后,滿地找硬幣,以后他就接受教訓(xùn),低低地拋了。而把硬幣拋l米高和拋l厘米高,結(jié)果當(dāng)然不可同日而語。
找到問題之后,沒有能找到解決問題的辦法,我請教了北師大呂建生博士,他說可以把硬幣裝在礦泉水瓶里搖。后來,我再嘗試用營養(yǎng)快線飲料瓶、小酒杯、水杯等,最后選用了學(xué)生小手可以抓得住的小水杯。
“反者道之動,弱者道之用。天下萬物生于有,有生于無。”(老子語)經(jīng)過思考、尋找,我結(jié)合北京奧運(yùn)會素材,創(chuàng)設(shè)了拋啤酒瓶蓋的實(shí)驗(yàn),讓學(xué)生喜歡上“數(shù)據(jù)”,贏得了大家的贊許。華東師大張奠宙教授說:“聽完華應(yīng)龍老師的課,很為他的創(chuàng)新精神所折服?!?br/> “人法地,地法天,天法道,道法自然?!?老子語)創(chuàng)新,當(dāng)回顧以往的教學(xué),找到存在的問題。不自然、不順暢、不舒服的地方就是應(yīng)當(dāng)改進(jìn)的。
課堂上的種種創(chuàng)造,讓我體悟到:創(chuàng)造是對前人的揚(yáng)棄,更是對自己的超越,對自己的成全。課堂是學(xué)生的,就應(yīng)該從學(xué)生的實(shí)際需要出發(fā)。我們真要扮演學(xué)生成長中的“重要角色”,就要不斷豐厚自己,力求達(dá)到在學(xué)生眼中“我就是數(shù)學(xué)”。