秦志杰,李 釗

(鄭州大學(xué)物理工程學(xué)院,鄭州450001)

S波配對的超導(dǎo)石墨烯/石墨烯/超導(dǎo)石墨烯結(jié)中的近鄰效應(yīng)

秦志杰,李 釗

(鄭州大學(xué)物理工程學(xué)院,鄭州450001)

基于BCS理論,在緊束縛近似下,利用Bogoliubov-de Gennes(BdG)方程,通過自洽計(jì)算,研究了具有 S波配對的超導(dǎo)石墨烯/石墨烯/超導(dǎo)石墨烯結(jié)中的近鄰效應(yīng).針對在超導(dǎo)部分和正常導(dǎo)體部分的費(fèi)米能級匹配和不匹配兩種情況,討論了化學(xué)勢對體系的局域態(tài)密度以及配對振幅的影響.研究表明,GSNS結(jié)構(gòu)的近鄰效應(yīng)依賴于超導(dǎo)部分和正常部分的化學(xué)勢匹配情況.

石墨烯;超導(dǎo);近鄰效應(yīng)

石墨烯是一種具有蜂窩狀晶格結(jié)構(gòu)的二維電子系統(tǒng),自成功制備以來,因其獨(dú)特的性質(zhì),吸引了大量的來自理論和應(yīng)用兩個方面的研究.由于已經(jīng)在一系列碳基材料[1-3]中觀察到超導(dǎo)態(tài),因此關(guān)于石墨烯是否存在超導(dǎo)電性一直受到關(guān)注[4-5].人們已經(jīng)在基于石墨烯的超導(dǎo)/正常導(dǎo)體/超導(dǎo)(GSNS)組成的約瑟夫森結(jié)中觀測到了約瑟夫森電流[6].在石墨烯晶格中,庫伯對可以相干傳播,這為在石墨烯中實(shí)現(xiàn)超導(dǎo)帶來了希望.理論上,人們利用基于四分量的Dirac Bogoliubovde-Gennes(D BdG)方程[7]和 Bogoliubov-de-Gennes(BdG)方程來研究這一問題[8].人們對石墨烯中是否存在超導(dǎo)尚不清楚,但已有學(xué)者從理論角度嘗試提出可能的配對機(jī)制.目前,石墨烯中的可能超導(dǎo)機(jī)制分為兩類:一種是內(nèi)稟的聲子或等離子傳播的超導(dǎo)電性[9];另一種是近鄰效應(yīng)導(dǎo)致的超導(dǎo)電性[10].因此,對于石磨烯中超導(dǎo)電性的研究,仍是值得探討的問題.

近鄰效應(yīng)是指在超導(dǎo)體和正常導(dǎo)體界面附近,超導(dǎo)體內(nèi)部的庫伯對可能會滲透到正常導(dǎo)體一側(cè)的某個深度內(nèi),從而在正常導(dǎo)體內(nèi)的這一區(qū)域內(nèi)誘導(dǎo)出接近超導(dǎo)體的行為.對近鄰效應(yīng)的研究,是超導(dǎo)領(lǐng)域?qū)嶒?yàn)工作者和理論工作者所關(guān)心的一個重要方面[11-12].在實(shí)驗(yàn)方面,測量準(zhǔn)粒子的局域態(tài)密度(LDOS)是研究近鄰效應(yīng)的一個重要手段.在理論計(jì)算方面,Gorkov方程是計(jì)算接觸面附近LDOS的一種有效方法[13-14].同時(shí)BdG方程因其直觀的物理意義,也是考察近鄰效應(yīng)的另一種有效工具[15].

在本文中,我們在緊束縛近似下,利用BdG方程,研究了在 T=0 K,具有S波配對的 GSNS結(jié)構(gòu)中的近鄰效應(yīng).通過自洽求解,計(jì)算了在超導(dǎo)部分(S區(qū))和正常導(dǎo)體部分(N區(qū))的費(fèi)米能級匹配和不匹配兩種情況下,配對振幅以及準(zhǔn)粒子局域態(tài)密度對于化學(xué)勢的依賴關(guān)系.

1 模型與公式

為了研究 GSNS結(jié)的近鄰效應(yīng),我們考慮一個二維蜂窩晶格系統(tǒng),圖1所示是體系的結(jié)構(gòu)示意圖.考慮到超導(dǎo)部分上格點(diǎn)吸引相互作用,在緊束縛近似下,體系的哈密頓可以寫為如下形式[8]:

圖1 GSNS結(jié)的二維晶格結(jié)構(gòu)

式中:Fiσ(giσ)表示在子晶格A(B)上的i=(n,m)點(diǎn)處,消滅一個自旋為σ的電子;t代表躍遷積分;U(i)和μ(i)分別為在元胞i處的吸引作用強(qiáng)度和化學(xué)勢,其中,在超導(dǎo)部分U(i)為一常數(shù),在正常部分U(i)為零;表示只對最近鄰的格點(diǎn)求和.在這里,只考慮最近鄰躍遷,并取t為能量單位.由于只考慮S波配對,BdG配對勢可以寫為:

這里,<…>代表統(tǒng)計(jì)平均.計(jì)算中,配對勢采用自洽計(jì)算.利用平均場近似,哈密頓量變?yōu)?

為了將BdG形式的哈密頓量對角化,對每個格點(diǎn)處電子的產(chǎn)生、湮滅算符進(jìn)行如下的波戈留玻夫正則變換:

式中:N為晶格中的原胞數(shù)目;γ和γ+為新引入的準(zhǔn)粒子產(chǎn)生、湮滅算符,并且滿足費(fèi)米子反對易關(guān)系.對角化后的哈密頓量可以寫為如下形式

式中:Eg為哈密頓量的基態(tài)能量.

由以上關(guān)系,容易得到(u,v,y,z)所滿足的關(guān)系:

對于有 N個原胞的晶格系統(tǒng),求解上述方程的問題實(shí)際上轉(zhuǎn)換為求解形狀為4N×4N矩陣的本征值問題,矩陣的形式可以通過將上述方程擴(kuò)展到整個晶格體系而確定下來,在絕對零度時(shí),自洽條件(3)可以寫為

為了研究近鄰效應(yīng)對于準(zhǔn)粒子的局域態(tài)密度的影響,將計(jì)算并對比不同格點(diǎn)處準(zhǔn)粒子的LDOS.準(zhǔn)粒子的LDOS可通過如下公式進(jìn)行計(jì)算:

在數(shù)值計(jì)算中,我們將上式中的δ函數(shù)用Lorentzian函數(shù)代替.

為了考察近鄰效應(yīng),我們在此定義配對振幅為

因?yàn)榕鋵φ穹谡^(qū)并不為零,并且它也反映了電子的配對情況,所以可以從配對振幅來考察庫伯對由超導(dǎo)區(qū)到正常區(qū)的滲透情況.

2 計(jì)算結(jié)果與討論

在數(shù)值計(jì)算中,按照圖1中對原胞的標(biāo)記方法,我們考察了大小為(N×M)的石墨烯晶格,其中 N=30,M=90.體系中的任一原胞可以用(n,m)標(biāo)記,0≤n≤N-1,0≤m≤M-1.為了模擬 GSNS結(jié)構(gòu),我們沿著M方向?qū)⒕Ц穹譃?部分,首先假設(shè)晶格左邊一部分(m≤29)和右邊一部分(61≤m≤89)是超導(dǎo)體,這兩部分具有相同的相互作用強(qiáng)度U(i)≠0;而晶格中間部分(30≤m≤60)對應(yīng)正常石墨烯,這部分的相互作用強(qiáng)度U(i)=0,即

沿m方向我們采用開放邊界條件,沿 n方向采用周期性邊界條件.在此,我們感興趣的主要是沿 m方向的LDOS和配對振幅的變化.

2.1 費(fèi)米能級匹配情況

在數(shù)值計(jì)算中,首先考察超導(dǎo)部分的費(fèi)米面和正常石墨烯部分的費(fèi)米面均位于范霍夫奇點(diǎn)附近時(shí)的情況,即μ(S)=μ(N)=-1.04 t.圖2所示為費(fèi)米能級匹配的情況下,沿垂直界面方向上準(zhǔn)粒子的LDOS隨空間的分布情況.從圖2可以看出,在 S區(qū)和N區(qū)接觸面附近的LDOS與超導(dǎo)體和導(dǎo)體內(nèi)部的情形明顯不同,呈現(xiàn)出明顯的近鄰效應(yīng).在超導(dǎo)體內(nèi)部,費(fèi)米面處存在一個超導(dǎo)能隙,且隨著格點(diǎn)逐漸靠近界面,這個能隙的寬度并沒有大的改變,但能隙的底部隨著與界面間距離的減小而逐漸上升.在正常石墨烯部分,對于遠(yuǎn)離界面的點(diǎn),準(zhǔn)粒子的LDOS具有關(guān)于狄拉克點(diǎn)的對稱性,隨著格點(diǎn)和界面距離的減小,費(fèi)米面附近的態(tài)密度逐漸受到壓制,準(zhǔn)粒子的LDOS關(guān)于狄拉克點(diǎn)的對稱性逐漸被破壞.在圖2中,LDOS曲線并不平滑,而是出現(xiàn)了不同程度的震蕩,這種震蕩源于我們所計(jì)算的是有限體系.通常通過增加所計(jì)算體系的尺寸,LDOS在空間的震蕩周期會縮短.體系非常大時(shí),曲線最終將會趨于平滑.

圖3所示為在費(fèi)米能級匹配的情況下,當(dāng) S區(qū)和N區(qū)化學(xué)勢取不同值的時(shí)候,沿垂直界面方向體系的配對振幅隨空間的分布.從圖3可以看出,在接觸面附近點(diǎn)的配對振幅與超導(dǎo)體和導(dǎo)體內(nèi)部點(diǎn)的不同,呈現(xiàn)出明顯的近鄰效應(yīng).在 S區(qū),配對振幅基本上為一常數(shù);在 N區(qū),雖然相互作用強(qiáng)度為零,但配對振幅在界面附近仍然有一個小的非零值,而且在 N區(qū)隨著與界面距離的增加,這個數(shù)值逐漸衰減.這反映出在超導(dǎo)體內(nèi)部的庫伯對會滲透到正常石墨烯部分,但這種滲透只發(fā)生在接觸面附近很薄的一層區(qū)域.在圖3中,在m=0和m=90的超導(dǎo)部分的邊界點(diǎn)附近,配對振幅也出現(xiàn)了不同程度的震蕩,這是因?yàn)樗?jì)算的體系的尺寸是有限的,加上在垂直界面的方向上采用了開放邊界條件,從而導(dǎo)致這種情況的產(chǎn)生.

從圖3還可以看到,當(dāng)化學(xué)勢μ(S1)=μ(S2)=μ(N)=-1.04 t,即費(fèi)米面位于范霍夫奇點(diǎn)附近時(shí),S區(qū)和N區(qū)的超導(dǎo)配對勢振幅都具有一個比較大的值.這表明此時(shí)S區(qū)有較大的超導(dǎo)能隙,且此時(shí)穿透到 N區(qū)的庫伯對較多.反映出當(dāng)化學(xué)勢取-1.04 t時(shí),近鄰效應(yīng)較為明顯.隨著化學(xué)勢對μ=-1.04 t的偏離,相應(yīng)地S區(qū)的超導(dǎo)能隙也在減小,N區(qū)的配對振幅的大

圖3 在費(fèi)米能級匹配情況下沿垂直界面方向體系的配對振幅隨空間的分布情況

小和穿透深度都在減小.這個結(jié)果可以根據(jù)BCS理論來理解.根據(jù)BCS理論,庫伯對的配對勢與費(fèi)米面附近的電子態(tài)密度有關(guān).對于石墨烯晶格,在Dirac點(diǎn)附近電子態(tài)密度很小,而在范霍夫奇點(diǎn)附近電子態(tài)密度取最大值[14],所以導(dǎo)致在μ=-1.04 t附近配對勢的值較大.這種情況不同于正方晶格,對于正方晶格來說,S波超導(dǎo)配對勢在化學(xué)勢為零時(shí)取得最大值.因此,可以認(rèn)為正是石墨烯特殊的電子結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了這種結(jié)果.

2.2 費(fèi)米能級不匹配情況

為了研究化學(xué)勢對超導(dǎo)石墨烯—石墨烯結(jié)的近鄰效應(yīng)的影響,我們進(jìn)一步考察了在2個 S區(qū)化學(xué)勢相同 ,但和 N區(qū)費(fèi)米能級不匹配的情況,即正常區(qū)和超導(dǎo)區(qū)化學(xué)勢取不同值的情況.圖4所示為當(dāng)2個 S區(qū)和N區(qū)費(fèi)米能級不匹配時(shí),沿著垂直界面方向配對振幅的空間變化曲線.

從圖4(a)和(b)可以看出,當(dāng) S區(qū)化學(xué)勢固定,N 區(qū)化學(xué)勢μ(N)= -1.04 t時(shí),N區(qū)的配對振幅數(shù)值最大.也就是在 S區(qū)化學(xué)勢固定、N區(qū)費(fèi)米面位于范霍夫奇點(diǎn)附近時(shí),近鄰效應(yīng)最強(qiáng).從圖4(c)和(d)可以看出,當(dāng) N區(qū)化學(xué)勢固定、S區(qū)化學(xué)勢μ(S1)=μ(S2)=-1.04 t時(shí),N區(qū)和S區(qū)的配對振幅均達(dá)到最大值.即在 N區(qū)化學(xué)勢固定、S區(qū)費(fèi)米面位于范霍夫奇點(diǎn)附近時(shí),近鄰效應(yīng)最強(qiáng).因此只有當(dāng) S區(qū)和N區(qū)的費(fèi)米面都位于范霍夫奇點(diǎn)附近時(shí),系統(tǒng)的近鄰效應(yīng)最強(qiáng).結(jié)合BCS理論和石墨烯電子結(jié)構(gòu),可知這種現(xiàn)象是由在范霍夫奇點(diǎn)上二維石墨烯的電子密度達(dá)到最大值所致.

3 結(jié) 語

本文利用緊束縛模型,通過自洽求解BdG方程,研究了具有S波配對勢的超導(dǎo)石墨烯—正常石墨烯結(jié)的性質(zhì),自洽地計(jì)算了超導(dǎo)石墨烯—石墨烯結(jié)在兩區(qū)費(fèi)米能級匹配和不匹配兩種情況下,準(zhǔn)粒子的LDOS和配對振幅隨空間的變化情況.研究表明,對于具有S波配對的 GSNS結(jié),其近鄰效應(yīng)對于化學(xué)勢的取值有很強(qiáng)的依賴關(guān)系,而且這種關(guān)系和石墨烯的電子結(jié)構(gòu)有關(guān).對于石墨烯晶格,因?yàn)槠涮厥獾木Ц窠Y(jié)構(gòu),配對勢對化學(xué)勢的依賴關(guān)系與正方晶格有很大的不同.我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)2個S區(qū)和N區(qū)費(fèi)米面都位于范霍夫奇點(diǎn)附近時(shí),近鄰效應(yīng)最明顯.這些工作將為進(jìn)一步利用石墨烯作為超導(dǎo)電極提供一定的幫助.

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Proximity Effect in a S-wave Pairing Superconducting Graphene/Graphene/Superconducting Graphene Junction

QIN Zhi-jie,LI Zhao
(Zhengzhou University,Zhengzhou 450001,China)

On the basis of self-consistent calculation of the Bogoliubov-de-Gennes equations,gate proximity effect on a superconducting graphene with S-wave pairing/graphene/superconducting grapheme junction structure is investigated.The dependence of the local density of states and pairing amplitude on the chemical potential are calculated for both the Fermi-level match case and Fermi-level mismatch case.The relation between the results and electronic structure is also discussed.Our research shows that the proximity effects in GSNS Junction depend much on the relation of chemical potentials in superconducting parts and in the normal part.

graphene;superconductivity;proximity effect

O511

A

10.3969/j.issn.1671-6906.2011.04.001

1671-6906(2011)04-0001-05

2011-07-06

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10874154);國家人力資源和社會保障部留學(xué)回國人員科技活動擇優(yōu)資助項(xiàng)目

秦志杰(1976-),男,河南內(nèi)黃人,講師,博士.