劉麗華 徐 美 邱紅梅

(北京科技大學(xué)物理系,北京 100083)

關(guān)于力學(xué)系統(tǒng)的自由度的討論

劉麗華 徐 美 邱紅梅

(北京科技大學(xué)物理系,北京 100083)

對(duì)大學(xué)物理教材中廣泛采用的自由度的概念進(jìn)行了討論,并用簡(jiǎn)潔易懂的方法計(jì)算了N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)的自由度.

自由度;N個(gè)粒子系統(tǒng)

在大學(xué)普通物理的教學(xué)過(guò)程中,很多內(nèi)容都要用到“自由度”這一概念,其中最典型的當(dāng)屬熱學(xué)中的“能量按自由度均分定理”:在溫度為 T的平衡狀態(tài)下,系統(tǒng)中分子的每個(gè)自由度都有相等的平均熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能,其大小等于kT/2[1～5].所以,當(dāng)我們分析一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能時(shí),關(guān)鍵問(wèn)題就是:如何確定該系統(tǒng)分子的自由度數(shù)?

1 “自由度”的概念

關(guān)于“自由度”或“自由度數(shù)”的定義,大學(xué)物理教材中常見(jiàn)的說(shuō)法有以下幾種:“所謂系統(tǒng)的自由度,就是決定這個(gè)系統(tǒng)在空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目[1]”;“確定一個(gè)物體在空間的位置時(shí),需要引入的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目稱為該物體的自由度數(shù)[2]”;“要確定一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的空間位形需要一定數(shù)目的相互獨(dú)立的坐標(biāo)量,這相互獨(dú)立的坐標(biāo)量數(shù)目稱為力學(xué)系統(tǒng)的自由度數(shù)[3]”;“決定一物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù),稱為這一物體的自由度[4]”,等等.

對(duì)于雙原子分子,如果不考慮原子間相對(duì)位置的變化(即認(rèn)為系統(tǒng)是剛性的),則系統(tǒng)共有 5個(gè)自由度,其中包括 3個(gè)平動(dòng)自由度和 2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度.這一結(jié)論大致可以通過(guò)下面兩種方法來(lái)證明.

方法一一個(gè)可以在空間自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)需要用 3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo) (如 x,y,z)來(lái)決定它在空間的位置,因此一個(gè)質(zhì)點(diǎn)有 3個(gè)自由度.而雙原子分子可以看成是一個(gè)“兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)”,則需要用 (x1,y1,z1)和 (x2,y2,z2)來(lái)分別確定質(zhì)點(diǎn) 1和質(zhì)點(diǎn) 2的位置,也就是說(shuō),一共需要 6個(gè)坐標(biāo) (x1,y1,z1,x2,y2,z2)來(lái)確定系統(tǒng)空間位形.但是,對(duì)于剛性雙原子分子而言,由于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離 (設(shè)為 r)是固定的,并有在這個(gè)方程的約束下,6個(gè)坐標(biāo)中只有 5個(gè)是獨(dú)立的,所以雙原子分子具有 5個(gè)自由度[1].

方法二雙原子分子 (兩個(gè)原子均看作質(zhì)點(diǎn))中的兩個(gè)原子是由一個(gè)化學(xué)鍵連接在一起的.對(duì)于這樣的力學(xué)系統(tǒng),我們可以先確定其質(zhì)心的位置,之后再利用方位角來(lái)確定兩個(gè)原子之間連線的方向即可.確定質(zhì)心位置需要 3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo),此即系統(tǒng)的 3個(gè)“平動(dòng)自由度”;關(guān)于質(zhì)點(diǎn)間連線的方向,如圖1所示,在直角坐標(biāo)系中,連線與 x、y、z軸的夾角分別設(shè)為α、β、γ,若α、β、γ已知 ,那么連線的方向也就確定了.由于1,所以這 3個(gè)方位角中只有 2個(gè)是獨(dú)立的,此即系統(tǒng)的 2個(gè)“轉(zhuǎn)動(dòng)自由度”[2,4,5].

圖1 雙原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度

在熱力學(xué)中,剛性雙原子分子系統(tǒng)的內(nèi)能已為實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證,也就是說(shuō),“剛性雙原子分子具有5個(gè)自由度”這一結(jié)論是被間接證實(shí)了的,因此是正確的.按照前述教材中“自由度”的概念,只需 5個(gè)坐標(biāo)即可完全確定剛性雙原子分子的空間位形.

由此看來(lái),前述諸多“自由度”的概念都存在值得商榷的地方.《中國(guó)大百科全書·物理學(xué) II》中對(duì)于“自由度”的定義如下:“單值地確定某一力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所必須的、互相獨(dú)立并可以自由變動(dòng)的物理量的數(shù)目就稱為某一力學(xué)體系的自由度[6].”這里需要強(qiáng)調(diào)的是“可以自由變動(dòng)”這個(gè)條件.也就是說(shuō),某一變量必須可以在一定范圍內(nèi)自由變動(dòng),即連續(xù)變化,才可以稱作 1個(gè)自由度.如果一個(gè)坐標(biāo)量只有若干個(gè)分立值可取,則不能成為一個(gè)自由度.例如,在直角坐標(biāo)系中,如果 x和 y可以任意取值,而 z只有兩個(gè)可能的取值,這樣確定下來(lái)的是兩個(gè)和 z軸垂直的平面 (如圖2),而非一個(gè)三維的空間,因此 z不可以稱為 1個(gè)自由度.因此,筆者認(rèn)為,教科書上給出的雙原子分子自由度的推導(dǎo)是正確的,但是自由度的概念應(yīng)表述為:完全確定一個(gè)物體的空間位形所需要的相互獨(dú)立并且可以任意取值的坐標(biāo)數(shù)目.這樣,雖然z2和γ都有兩個(gè)可能的取值,卻不能成為一個(gè)自由度.那么,“剛性雙原子分子具有 5個(gè)自由度”的結(jié)論就嚴(yán)謹(jǐn)了.

圖2 兩個(gè)可能的 z值確定的兩個(gè)平面

2 關(guān)于多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的自由度

對(duì)于多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng) (多原子分子)的自由度,教科書中指出:“一般的講,如果一個(gè)分子由 N個(gè)原子組成,則它最多有 3N個(gè)自由度,其中 3個(gè)是平動(dòng)的,3個(gè)是轉(zhuǎn)動(dòng)的,其余 (3N-6)個(gè)是振動(dòng)的[4,5].”這一結(jié)論的嚴(yán)格證明超出了工科和低年級(jí)理科學(xué)生的理論知識(shí)范圍,因此在大多數(shù)普通物理教材中,上述結(jié)論是直接給出的,并沒(méi)有具體的證明過(guò)程,因而給學(xué)生造成了一定的困擾.下面我們給出非常簡(jiǎn)單且容易被工科學(xué)生理解和接受的推導(dǎo).

首先來(lái)分析雙原子分子.如前所述,剛性雙原子分子有 3個(gè)平動(dòng)自由度和 2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度;而對(duì)于非剛性分子,由于兩個(gè)原子可以在彼此連線的方向上做微小振動(dòng),因此還需要確定兩質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置.如圖3所示,以質(zhì)點(diǎn) 1為原點(diǎn),過(guò)質(zhì)點(diǎn)1和2的連線為x′軸,則只需一個(gè)坐標(biāo)x′2即可確定質(zhì)點(diǎn) 2的位置,此即 1個(gè)“振動(dòng)自由度”.因此,雙原子分子共有 6個(gè)自由度:3個(gè)平動(dòng)自由度,2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,1個(gè)振動(dòng)自由度.

圖3 雙原子分子的振動(dòng)自由度

再來(lái)看三原子分子.一般情況下,三原子分子可以看成是 3個(gè)質(zhì)點(diǎn)不規(guī)則地組合在一起.和雙原子分子一樣,三原子分子也需要用 3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)確定其質(zhì)心的位置,即有 3個(gè)平動(dòng)自由度;另需要 2個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)確定通過(guò)質(zhì)心的任意軸的方位,以及一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo) (例如φ)來(lái)確定系統(tǒng)繞此軸的角度 (如圖4(a)),所以系統(tǒng)共有 3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度.此外,為了確定質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置,在 3個(gè)質(zhì)點(diǎn)確定的平面內(nèi),以質(zhì)點(diǎn) 1為原點(diǎn),過(guò)質(zhì)點(diǎn) 1和 2的連線為 x′軸建立二維直角坐標(biāo)系 (如圖4(b)),則確定質(zhì)點(diǎn)2的位置需要一個(gè)坐標(biāo),確定質(zhì)點(diǎn)3的位置需要兩個(gè)坐標(biāo)也就是說(shuō),需要3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)確定質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置,此即 3個(gè)振動(dòng)自由度.因此,三原子分子共有 9個(gè)自由度:3個(gè)平動(dòng)自由度,3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,3個(gè)振動(dòng)自由度.

圖4 三原子分子的 (a)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和 (b)振動(dòng)自由度

進(jìn)一步來(lái)分析四原子分子.和三原子分子類似,四原子分子具有 3個(gè)平動(dòng)自由度和 3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度.下面重點(diǎn)分析四原子分子的振動(dòng)自由度.如圖5所示,質(zhì)點(diǎn) 1、2和 3確定了一個(gè)平面,以這個(gè)平面為 X′O′Y′平面 (同三原子分子)建立三維直角坐標(biāo)系.除了確定質(zhì)點(diǎn) 2和 3所需要的 3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)之外,確定質(zhì)點(diǎn)4的位置又需要3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo),所以系統(tǒng)一共有3+3=6個(gè)振動(dòng)自由度.這就是說(shuō),四原子分子共有 12個(gè)自由度:3個(gè)平動(dòng)自由度,3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,6個(gè)振動(dòng)自由度.

圖5 四原子分子的振動(dòng)自由度

以此類推,在三原子分子的 3個(gè)振動(dòng)自由度的基礎(chǔ)上,每增加一個(gè)原子,系統(tǒng)就需要增加 3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)描述新增原子的相對(duì)位置,即增加 3個(gè)振動(dòng)自由度.

總的來(lái)說(shuō),對(duì)于振動(dòng)自由度,

單原子分子:0;

雙原子分子:1;

三原子分子:3;

四原子分子:3+1×3=6;

五原子分子:3+2×3=9;

…

…

N原子分子:3+(N-3)×3=3N-6.

綜上所述,N(N≥3)個(gè)粒子組成的系統(tǒng)共有3N個(gè)自由度,其中包括:3個(gè)平動(dòng)自由度 (確定質(zhì)心的位置),3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度 (確定系統(tǒng)的方位),以及(3N-6)個(gè)振動(dòng)自由度 (確定質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置).

對(duì)于剛性分子,由于在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中分子的大小和形狀都不發(fā)生變化,所以分子內(nèi)任意兩個(gè)原子間的距離都是固定不變的.在這種情況下,剛性分子中的 (3N-6)個(gè)振動(dòng)自由度被“凍結(jié)”,系統(tǒng)的振動(dòng)自由度為零.

[1] 程守洙,江之永.普通物理學(xué) 上冊(cè) 第六版[M].北京:高等教育出版社,2006.111,177～178

[2] 張三慧.大學(xué)物理學(xué) 熱學(xué) 第二版[M].北京:清華大學(xué)出版社,2000.44～46

[3] 張玉民,阮耀鐘.普通物理學(xué)教程之二·熱學(xué) 第一版[M].北京:高等教育出版社,1991.328

[4] 趙凱華,羅蔚茵.新概念物理學(xué) 熱學(xué) 第二版 [M].北京:高等教育出版社,2005.80～81

[5] 李椿,章立源,錢尚武.熱學(xué) 第一版[M].北京:高等教育出版社,1978.95～96

[6] 中國(guó)大百科全書·物理學(xué) II第一版[M].北京:中國(guó)大百科全書出版社,1987.1279

DISCUSSION ON DEGREE OF FREEDOM IN THE MECHANICAL SYSTEM

Liu Lihua Xu Mei Qiu Hongmei
(Department of Physics,Beijing Science and Technology University,Beijing 100083)

The concept“degree of freedom”used widely in university physics teaching materials has been discussed.The degree of freedom for a N-particle system has been calculated by using a simple method which is easy to understand.

degree of freedom;N-particle system

2010-09-27)