蘇 云

（韓山師范學(xué)院物理與電子工程系，廣東潮州 521041）

功能原理的價(jià)值

蘇 云

（韓山師范學(xué)院物理與電子工程系，廣東潮州 521041）

分析了功能原理演變的過程，以及演變過程中幾個(gè)力學(xué)基礎(chǔ)概念的產(chǎn)生和變化，進(jìn)而歸納了功能原理的優(yōu)勢(shì)及其存在價(jià)值，闡述了“外勢(shì)能”概念的引入將導(dǎo)致沒有物理意義的結(jié)果.

功能原理；保守力；外勢(shì)能

長(zhǎng)期以來(lái)，在一些經(jīng)典力學(xué)的教科書和文獻(xiàn)中，圍繞著功能原理和機(jī)械能守恒定律等內(nèi)容存在一些爭(zhēng)論和分歧．問題一，功能原理是否有存在的必要，這涉及幾個(gè)基礎(chǔ)概念的引入和定義，以及功能關(guān)系和機(jī)械能守恒定律．問題二，引入外勢(shì)能概念的必要性，結(jié)果不但使功能原理和機(jī)械能守恒定律出現(xiàn)了兩種表述，還涉及到所研究的力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題．

經(jīng)典力學(xué)是物理學(xué)的入門篇章，它為物理學(xué)乃至整個(gè)自然科學(xué)提供了許多非常重要的基礎(chǔ)概念．然而時(shí)至今日，在這一基礎(chǔ)學(xué)科中卻仍然存在上述懸而未決的爭(zhēng)議和混亂，已經(jīng)給相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)帶來(lái)了不小的負(fù)面影響，澄清這些問題對(duì)經(jīng)典力學(xué)以及其他學(xué)科來(lái)說都有重要的意義.

1 關(guān)于功能原理的存廢

有學(xué)者認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)系的功能原理造成了一些混亂，也不符合國(guó)際慣例，所以應(yīng)該廢除[1]．鑒于國(guó)內(nèi)許多經(jīng)典力學(xué)教科書都包含功能原理的內(nèi)容，因此上述觀點(diǎn)給力學(xué)教學(xué)界造成了不小的影響，為了澄清這個(gè)問題，回顧一下這個(gè)原理的來(lái)龍去脈，與國(guó)際慣例做個(gè)比較，進(jìn)而判斷其存在的價(jià)值．

從牛頓第二定律出發(fā)可以推導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：

經(jīng)典力學(xué)的常用力中只有重力、引力和彈性力具有已知的函數(shù)形式，它們分別由萬(wàn)有引力定律和胡克定律來(lái)表述．在得到動(dòng)能定理之后，將這些已知的力函數(shù)代入方程（1）作一番演算是物理學(xué)原始探究的典型思路．為簡(jiǎn)單起見，先考慮系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)僅受重力作用的情況，將重力做的功代入（1）式左端可得

接下來(lái)分別討論引力和彈性力的情況，只需將mgz分別換成-GMm/r和kx2/2即可得到兩組與（2）和（3）類似的方程．對(duì)系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)歸納這三組方程就可以得到：

這就是國(guó)內(nèi)許多教材所稱的質(zhì)點(diǎn)系的功能原理[2]．當(dāng)A外和A內(nèi)非都等于零時(shí)，就得到系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律．

上述的推導(dǎo)過程看似簡(jiǎn)單，卻蘊(yùn)含了非常豐富的內(nèi)容：

①?gòu)模?）式可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了一個(gè)閉合路徑時(shí)，重力所做的功等于零，說明它所做的功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)，引力和彈性力也有相同的情況，這一特性最終導(dǎo)致保守力概念的產(chǎn)生．隨后在保守力的基礎(chǔ)上出現(xiàn)了幾個(gè)新的物理量mgz、-G Mm/r和kx2/2，被定義為相應(yīng)保守力的勢(shì)能，進(jìn)而得到了機(jī)械能的概念.

經(jīng)典力學(xué)正是在也只有在上述推導(dǎo)過程中才體現(xiàn)出引入并嚴(yán)格定義這三個(gè)新物理概念的必要性，因此上述的演變符合物理概念的形成、發(fā)展和演變的過程，也符合人們認(rèn)識(shí)自然的規(guī)律．如果丟掉了功能原理，也就丟掉了這些概念的來(lái)龍去脈，不利于人們更好地理解和認(rèn)識(shí)這些概念.

值得注意的是，教科書是在推導(dǎo)功能原理之前先單獨(dú)定義保守力和勢(shì)能，再用它們來(lái)解釋隨后推導(dǎo)出來(lái)的功能原理，這種做法把上述概念的演變過程完全剔除掉了，不利于理解上述概念的來(lái)龍去脈.

②方程（2）左端重力功前面的那個(gè)負(fù)號(hào)似乎是為移項(xiàng)做準(zhǔn)備的一種數(shù)學(xué)技巧，但在定義保守力和勢(shì)能概念的時(shí)候，這個(gè)負(fù)號(hào)成為保守力的功與勢(shì)能關(guān)系中不可缺少的一部分，于是國(guó)內(nèi)外的力學(xué)教科書中便有了“保守力做的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值”的說法，遺憾的是教科書都未對(duì)這個(gè)負(fù)號(hào)給予必要的說明，給相關(guān)概念的理解造成了一些困難．當(dāng)本文推導(dǎo)出方程（3）的時(shí)候，這個(gè)問題便迎刃而解了.

③上述推導(dǎo)過程揭示了保守力概念在功能轉(zhuǎn)換過程中的一種獨(dú)特性質(zhì)，它要么以力做功的形式存在，成為改變質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能或機(jī)械能的原因，要么以勢(shì)能的形式呈現(xiàn)，被其他力做的功所改變，二者必居其一．在解決問題時(shí)如果側(cè)重保守力所做的功，就應(yīng)該保留在方程（2）的左端，體現(xiàn)其改變系統(tǒng)能量的作用．如果側(cè)重它的能量屬性，就要將它的功轉(zhuǎn)換成勢(shì)能，移項(xiàng)到方程右端組成系統(tǒng)的機(jī)械能，并被其他力做的功所改變.究竟采取哪種形式取決于變換后的結(jié)果是否有物理意義，以及解決實(shí)際問題的方便.

④方程（4）的功能原理系統(tǒng)地建立了做功與機(jī)械能改變的一般關(guān)系，進(jìn)而得到了機(jī)械能守恒的數(shù)學(xué)條件．一般來(lái)說，教科書在推導(dǎo)功能原理的時(shí)候僅僅強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn).

國(guó)外（主要是英語(yǔ)國(guó)家）的許多力學(xué)教材并不推導(dǎo)出功能原理的結(jié)果，而只推導(dǎo)出動(dòng)能定理的（1）式，而且也是事先單獨(dú)地定義保守力和勢(shì)能等基礎(chǔ)概念，再用一種類似于習(xí)題演算的方法直接推導(dǎo)出機(jī)械能守恒的結(jié)論．[3]由于沒有功能原理，因而也沒有得出做功與機(jī)械能改變的一般關(guān)系，以及機(jī)械能守恒的普遍數(shù)學(xué)條件，對(duì)保守力的功與勢(shì)能增量之間的那個(gè)負(fù)號(hào)也未作任何解釋.

綜上所述，眾多力學(xué)概念的引入和定義、關(guān)鍵負(fù)號(hào)的解釋、功能關(guān)系的建立、守恒的普適條件等等，這一切充分體現(xiàn)了功能原理的價(jià)值，也突顯出與上述國(guó)際慣例相比的明顯優(yōu)勢(shì)，因此完全應(yīng)該保留.

2 關(guān)于外勢(shì)能的問題

方程（4）是將質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功按照保守力進(jìn)行拆分所得的結(jié)果，那么外力的功是否也應(yīng)該按同樣方式進(jìn)行處理呢？前面在討論保守力的特性時(shí)曾說到，保守力的作用效果是以做功還是能量形式呈現(xiàn)，取決于結(jié)果是否有物理意義．這可以用來(lái)確定引入外勢(shì)能概念是否有意義.

為了簡(jiǎn)化討論，只考慮質(zhì)點(diǎn)系的外力所作的功，把其中保守力的成分拆分出來(lái)，轉(zhuǎn)換成外勢(shì)能增量的負(fù)值，然后再移項(xiàng)，于是方程（1）漸次變?yōu)椋?/p>

表面上看，引入外勢(shì)能后的結(jié)果與方程（1）到（4）的變化是一樣的，然而卻隱藏著一個(gè)致命的錯(cuò)誤.

方程（4）的右端是一個(gè)有限的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能、勢(shì)能或機(jī)械能，左端是該系統(tǒng)所受外力及非保守內(nèi)力所做的功，由此推論的機(jī)械能守恒也是針對(duì)這個(gè)系統(tǒng)而言的．整個(gè)方程都是圍繞著這個(gè)有限且不變的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)來(lái)討論的，物理意義非常清晰.

當(dāng)變換到方程（6）的時(shí)候出現(xiàn)了一系列的問題：方程左端的功是針對(duì)哪個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的，右端的動(dòng)能、勢(shì)能和機(jī)械能又屬于哪個(gè)質(zhì)點(diǎn)系呢？

外力中的保守力就是系統(tǒng)外某質(zhì)點(diǎn)作用在該系統(tǒng)內(nèi)某質(zhì)點(diǎn)上的力，如果把它的功轉(zhuǎn)換成外勢(shì)能，再移項(xiàng)組成機(jī)械能，就必須把系統(tǒng)外的那個(gè)施力質(zhì)點(diǎn)也納入到預(yù)先設(shè)定的質(zhì)點(diǎn)系中來(lái)，因?yàn)閯?shì)能屬于這一對(duì)保守力所對(duì)應(yīng)的那兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)．否則就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在系統(tǒng)內(nèi)，另一個(gè)卻在系統(tǒng)外的情況，造成勢(shì)能和機(jī)械能歸屬的混亂．因此，當(dāng)方程（5）中的外勢(shì)能差被移項(xiàng)時(shí)，就不得不把系統(tǒng)外的那個(gè)施力質(zhì)點(diǎn)也納入到預(yù)先設(shè)定的系統(tǒng)中來(lái).

然而萬(wàn)有引力定律告訴我們，宇宙萬(wàn)物都與該系統(tǒng)內(nèi)的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)至少有保守的引力相互作用，那就不得不將系統(tǒng)外的所有質(zhì)點(diǎn)都納入到所研究的系統(tǒng)中來(lái)．這樣一來(lái)，方程（6）所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)實(shí)際上是整個(gè)宇宙，相應(yīng)的功、動(dòng)能、勢(shì)能和機(jī)械能都是針對(duì)這個(gè)宇宙而言的，而不再是方程（4）所對(duì)應(yīng)的那個(gè)有限的不變的系統(tǒng)了．按照這種邏輯，在研究任一質(zhì)點(diǎn)或有限系統(tǒng)的功能關(guān)系時(shí)，都不得不把整個(gè)宇宙納入到研究對(duì)象中來(lái)．顯然，這是物理學(xué)所不能接受的.

與此相反，對(duì)系統(tǒng)內(nèi)保守力的上述操作卻不會(huì)改變預(yù)先設(shè)定的研究系統(tǒng)，因此可以根據(jù)研究的需要來(lái)選擇如何呈現(xiàn)內(nèi)保守力的作用效果，做功或者勢(shì)能.

綜上所述，外勢(shì)能并不是一個(gè)新概念，而只是始于方程（1）的一種可能的操作，在數(shù)學(xué)上雖然并無(wú)不妥，但卻無(wú)法得出任何有物理意義的結(jié)果，反而干擾和破壞了對(duì)功能關(guān)系物理本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，說明這個(gè)外勢(shì)能概念沒有意義.

[1]喀興林．編者的話[J]．大學(xué)物理，2000，19（2）：29．

[2]程守洙，江之永．普通物理學(xué)（第五版第一冊(cè)）[M]．北京：高等教育出版社，2000：79-116．

[3]FISHBANE PAUL,GASIOROWICZ STEPHEN,THORNTON STEPHEN.Physics For Scientists And Engineers[M]．3rd ed.New Jersey:Pearson Prentice Hall,2005:186.

On the Value of Principle of Work and Energy

SU Yun
(Department of Physics and Electronic Engineering,Hanshan Normal University,Chaozhou 521041,China)

The advantage and value of work-energy theorem are analyzed,so are the basic concepts of classical mechanics,and the external potential energy is clarified as a useless concept.

principle of work and energy；conservative force；external potential energy

O313.2

A

1007-6883(2011)06-0046-03

2011-06-01

蘇 云（1957-），男，內(nèi)蒙古呼和浩特人，韓山師范學(xué)院物理與電子工程系副教授．

責(zé)任編輯 朱本華