喻勝華，鄧 娟

（1．湖南大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院，湖南 長沙 410079； 2．中南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院，湖南 長沙 410075）

基于主成分分析和貝葉斯正則化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的GDP預(yù)測(cè)*

喻勝華1，鄧 娟2

（1．湖南大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院，湖南 長沙 410079； 2．中南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院，湖南 長沙 410075）

選用財(cái)政收入、財(cái)政支出、消費(fèi)品零售總額、實(shí)際利用外資、進(jìn)出口總額以及全社會(huì)固定資產(chǎn)投資等對(duì)GDP有顯著影響的6個(gè)因子，用1985～2008年中國的宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)建立了一個(gè)基于主成分分析和貝葉斯正則化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)模型，并把它應(yīng)用于我國GDP的預(yù)測(cè)。實(shí)證結(jié)果表明：通過主成分分析法和貝葉斯正則化方法對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行改進(jìn)，可簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)泛化能力。與其它常用的預(yù)測(cè)方法相比，該方法數(shù)據(jù)輸入簡(jiǎn)便，收斂速度快，擬合曲線光滑，且在預(yù)測(cè)精度上有明顯的優(yōu)勢(shì)。

主成分分析；貝葉斯正則化；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；預(yù)測(cè)

一 引 言

GDP（國內(nèi)生產(chǎn)總值）是衡量國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況最重要的一個(gè)指標(biāo)，也是經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀況的綜合反映。自1985年以來，GDP的核算已經(jīng)成為我國經(jīng)濟(jì)管理部門了解經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀況的主要手段和制定經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略、規(guī)劃、年度計(jì)劃以及各種宏觀經(jīng)濟(jì)政策的主要依據(jù)。因此，如何采用科學(xué)的方法來預(yù)測(cè)GDP，已成為經(jīng)濟(jì)學(xué)界研究的主要課題。目前，預(yù)測(cè)GDP的方法很多，主要有回歸預(yù)測(cè)法［1］、時(shí)間序列預(yù)測(cè)法［2－4］、灰色預(yù)測(cè) 法［5］［6］、馬 爾 可 夫 預(yù) 測(cè) 法［7］以 及 人 工 神 經(jīng) 網(wǎng) 絡(luò) 預(yù) 測(cè)法［8－12］等。前面四種方法屬于傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)方法，它們大都是對(duì)變量之間的因果關(guān)系進(jìn)行分析，實(shí)際應(yīng)用中存在多重共線性和序列相關(guān)等問題，而且不可避免的丟失了信息，模擬效果不佳，預(yù)測(cè)精度難以令人滿意。而人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是用來模擬人腦結(jié)構(gòu)及智能特點(diǎn)的一個(gè)前沿研究領(lǐng)域，它可以通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)達(dá)到其輸出與期望輸出相符的結(jié)果，具有很強(qiáng)的自適應(yīng)、自學(xué)習(xí)和糾錯(cuò)能力。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有多種模型，其中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型最成熟，其應(yīng)用也最為廣泛。但BP算法在本質(zhì)上是屬于一種非線性的優(yōu)化方法，存在學(xué)習(xí)時(shí)收斂時(shí)間較長，易陷入局部極小點(diǎn)等缺點(diǎn)［10］。近年來，有學(xué)者把幾種預(yù)測(cè)方法綜合起來使用，得到了比單一預(yù)測(cè)更好的預(yù)測(cè)結(jié)果［13－15］。本文用主成分分析方法簡(jiǎn)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入單元數(shù)，用貝葉斯正則化算法提高網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，建立了主成分 貝葉斯正則化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型，并在此基礎(chǔ)上對(duì)我國的GDP進(jìn)行了為期三年的預(yù)測(cè)和分析。與此同時(shí)，還與幾種常用的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行了比較研究，實(shí)證結(jié)果表明：本文建立的模型有較強(qiáng)的仿真與預(yù)測(cè)能力。

二 主成分—— 貝葉斯正則化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

（一）主成分分析法

主成分分析法是從所研究的多個(gè)指標(biāo)中，求出幾個(gè)新指標(biāo)，這些指標(biāo)可以綜合原有指標(biāo)的信息，且彼此間不相關(guān)的統(tǒng)計(jì)分析方法。其原理為：設(shè)有p個(gè)指標(biāo)X1，X2，…，Xp，作指標(biāo)的線性組合

Z2，…，Zm的累計(jì)貢獻(xiàn)率。累計(jì)貢獻(xiàn)率越大，損失的數(shù)據(jù)信息就越少，通常取m使累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到70%～80%以上。

（二）貝葉斯正則化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP網(wǎng)絡(luò)是一種采用誤差反向傳播算法的前饋網(wǎng)絡(luò)，通常由輸入層、隱含層和輸出層構(gòu)成，層與層之間的神經(jīng)元采用全互連的連接方法，通過相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)權(quán)系數(shù)相連，每層內(nèi)的神經(jīng)元沒有連接。權(quán)值不斷調(diào)整的過程，就是網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程，此過程一直進(jìn)行到網(wǎng)絡(luò)的輸出誤差減少到可以接受的程度，或進(jìn)行到預(yù)先設(shè)定的學(xué)習(xí)次數(shù)為止。

盡管BP網(wǎng)絡(luò)具有很強(qiáng)的非線性映射能力，網(wǎng)絡(luò)中間層各層的處理單元數(shù)及網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)系數(shù)可根據(jù)具體情況任意設(shè)定并獲得不同的性能，但BP算法是一種梯度下降法，算法性能依賴于初始條件，學(xué)習(xí)過程易陷于局部極小，且它的學(xué)習(xí)速度、精度和網(wǎng)絡(luò)推廣能力等都較差，不能滿足應(yīng)用的需要。所以，我們采用貝葉斯正則化的BP網(wǎng)絡(luò)算法，一般算法以均方誤差函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，權(quán)值問題不能得到優(yōu)化，而貝葉斯正則化在目標(biāo)函數(shù)中增加權(quán)值這一項(xiàng)，并用貝葉斯方法自動(dòng)調(diào)節(jié)參數(shù)，優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，從而提高網(wǎng)絡(luò)的泛化能力。

貝葉斯正則化的BP網(wǎng)絡(luò)算法的基本思想是［16］［17］：

給定 一 組 訓(xùn) 練 樣 本S＝ ｛（p1，t1），（p2，t2），…，（pm，tm）｝，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的目的是尋找能有效逼近該組樣本的函數(shù)f，使誤差函數(shù)最小化，一般情況下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練誤差函數(shù)采用均方誤差函數(shù)：

為了提高泛化能力，可以在目標(biāo)函數(shù)里加上網(wǎng)絡(luò)權(quán)值平方的算術(shù)平均值，即目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋?/p>

三 實(shí)證研究

在參考已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上選取對(duì)GDP有顯著影響的6個(gè)因子：財(cái)政收入（FR），財(cái)政支出（FE），消費(fèi)品零售總額（TRG），實(shí)際利用外資（AUC），進(jìn)出口總額（TIE），全社會(huì)固定資產(chǎn)投資（FA）（數(shù)據(jù)來源于1985—2008年《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》）。不難看出：上述指標(biāo)之間的相關(guān)性較大，信息重疊較多，不宜直接用BP網(wǎng)絡(luò)建模，先采用主成分分析法消除指標(biāo)間的重疊信息，獲得主要的綜合指標(biāo)。

（一）主成分的提取

由原始數(shù)據(jù)可得到主成分的特征值及方差貢獻(xiàn)率（如表1），主成分的貢獻(xiàn)率表示該主成分反映原指標(biāo)的信息量，累積貢獻(xiàn)率表示相應(yīng)幾個(gè)主成分累積反映原指標(biāo)的信息量。由表1可知，前兩個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率分別為94．483%、5．199%，累積貢獻(xiàn)率達(dá)到了99．683%，表明前兩個(gè)主成分涵蓋著所有指標(biāo)99．683%的信息量，于是選取前兩個(gè)主成分來進(jìn)行分析。

表1 各主成分的特征值及方差貢獻(xiàn)率

（二）BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的確定

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型主要由輸入層、隱含層、輸出層以及各層之間的傳輸函數(shù)等組成。在設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時(shí)，一般先考慮一個(gè)隱層，當(dāng)一個(gè)隱層的節(jié)點(diǎn)數(shù)很多仍不能改善網(wǎng)絡(luò)性能時(shí)，才考慮再增加一個(gè)隱層。由于本文的樣本容量少，所以只選取一個(gè)隱含層；輸入層為2，即為主成分的個(gè)數(shù)；輸出層為1，即為歷年的GDP；隱含層和輸出層的轉(zhuǎn)移函數(shù)分別采用S型正切函數(shù)tansig和線性函數(shù)purelin。

隱含層的神經(jīng)元數(shù)目選擇是個(gè)十分復(fù)雜的問題，往往需要根據(jù)設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)和多次實(shí)驗(yàn)來確定，因而不存在一個(gè)理想的解析式來表示。隱含層單元的數(shù)目與問題的要求、輸入輸出單元的數(shù)目都有著直接關(guān)系。若數(shù)目太少，則網(wǎng)絡(luò)所能獲取的用以解決問題的信息太少；若數(shù)目太多，不僅增加訓(xùn)練時(shí)間，而且誤差不一定最小，也會(huì)導(dǎo)致容錯(cuò)性差、不能識(shí)別以前沒有訓(xùn)練過的樣本以及出現(xiàn)過度擬合等問題，因此，合理選擇隱含層單元數(shù)非常重要。利用邊界層確定隱含層單元數(shù)的方法可以得到本文數(shù)據(jù)網(wǎng)絡(luò)隱含層單元數(shù)的范圍是（6，11），采用1985年到2005年共21組數(shù)據(jù)進(jìn)行BP網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，2006年到2008年共3組數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試。發(fā)現(xiàn)當(dāng)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為8時(shí)，各項(xiàng)預(yù)測(cè)誤差最小，說明對(duì)這組數(shù)據(jù)而言，當(dāng)輸入節(jié)點(diǎn)為2，輸出節(jié)點(diǎn)為1，隱含層節(jié)點(diǎn)為8時(shí)，網(wǎng)絡(luò)具有較好的預(yù)測(cè)能力。

（三）貝葉斯正則化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練、仿真與預(yù)測(cè)

選定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)后，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱可得到如下的訓(xùn)練過程圖：

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程圖

從訓(xùn)練結(jié)果可以看出，網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過69次就達(dá)到擬合精度9．78429e－005，有效參數(shù)個(gè)數(shù)為15．5，達(dá)到理想狀態(tài)，從網(wǎng)絡(luò)的誤差圖也可以看出，網(wǎng)絡(luò)的收斂速度快，學(xué)習(xí)效率高。

下表是經(jīng)過訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)對(duì)于樣本的仿真值，由表2可以看出：21組訓(xùn)練樣本的最大相對(duì)誤差為－1．88%，說明訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)對(duì)于訓(xùn)練樣本而言性能是優(yōu)良的，這是BP網(wǎng)絡(luò)共有的優(yōu)點(diǎn)。通過適當(dāng)調(diào)整參數(shù)，訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)能對(duì)訓(xùn)練樣本無限地接近。

用訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)（見表3）：

表2 模型訓(xùn)練后的仿真值與相對(duì)誤差

表3 模型預(yù)測(cè)值

由表2和表3可以看出：對(duì)前21組樣本擬合的最大相對(duì)誤差為－1．88%，對(duì)后3組樣本預(yù)測(cè)的最大相對(duì)誤差為4．02%，而最小相對(duì)誤差僅為0．52%。一般來說，若誤差在5%左右，則表明擬合效果與預(yù)測(cè)效果良好。

四 與其它預(yù)測(cè)方法的對(duì)比分析

為了進(jìn)一步說明本文所用方法的預(yù)測(cè)效果，現(xiàn)將它與如下幾種預(yù)測(cè)方法作對(duì)比分析。為簡(jiǎn)便起見，我們把本文所用的預(yù)測(cè)方法稱為方法一。

方法二：不先提取主成分，而是直接使用原始數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)輸入。網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的設(shè)置同方法一，即精度為1e－4，最大迭代次數(shù)為10000，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)選為8；

方法三：不用貝葉斯正則化算法，而改用一般的梯度下降法；

方法四：不用貝葉斯正則化算法，而改用LM算法；

方法五：ARIMA法；

方法六：多元回歸法；

方法七：指數(shù)平滑法。

上述七種預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果及相對(duì)誤差如下表：

表4 與其它預(yù)測(cè)方法的比較分析

從表4可以看出，方法二的最大相對(duì)誤差為4．99%，而最小相對(duì)誤差也有1．54%，大于方法一的相對(duì)誤差，可見預(yù)測(cè)效果要差一些，表明精簡(jiǎn)輸入后的網(wǎng)絡(luò)對(duì)樣本信息有更好的概括，對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)有更好的預(yù)測(cè)能力。

通過訓(xùn)練樣本發(fā)現(xiàn)：一般的梯度下降法，收斂緩慢，經(jīng)過10000次訓(xùn)練，樣本誤差仍然不能達(dá)到期望的1e－4，在同等訓(xùn)練條件下，一般的梯度下降法訓(xùn)練精度不夠，擬合曲線不光滑，對(duì)2007年我國GDP的預(yù)測(cè)，相對(duì)誤差為16．38%，三年平均相對(duì)誤差為11．2%，預(yù)測(cè)效果較差。

改進(jìn)后的LM算法，收斂速度快，經(jīng)過8次訓(xùn)練，就使網(wǎng)絡(luò)誤差達(dá)到了4．86824e－005，但LM算法的擬合曲線極不光滑，雖然對(duì)2006年的預(yù)測(cè)，相對(duì)誤差僅為0．06%，但對(duì)于2007年，相對(duì)誤差便上升到16．32%，三年平均相對(duì)誤差也達(dá)到了10．25%，出現(xiàn)了過度擬合。存在過度擬合的網(wǎng)絡(luò)雖然訓(xùn)練殘差較小，但結(jié)構(gòu)臃腫，并未得到足夠的信息，這會(huì)導(dǎo)致對(duì)于許多未知數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)不起作用，泛化能力差，實(shí)際應(yīng)用性差。

而使用貝葉斯正則化的BP網(wǎng)絡(luò)，收斂速度快，僅經(jīng)過69次訓(xùn)練就使網(wǎng)絡(luò)誤差達(dá)到了期望值，預(yù)測(cè)值中最大相對(duì)誤差僅為4．02%，且擬合曲線光滑，貝葉斯正則化算法的預(yù)測(cè)效果明顯優(yōu)于一般的梯度下降法和LM算法。

標(biāo)準(zhǔn)BP算法收斂速度慢是限制其廣泛應(yīng)用的主要原因，LM算法收斂速度快，但容易導(dǎo)致過度擬合，預(yù)測(cè)效果不佳。

從表4也可以看出，ARIMA法、多元回歸法以及指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)效果不及方法一。實(shí)際上，ARIMA預(yù)測(cè)方法應(yīng)用的前提是假定事物的過去會(huì)同樣延續(xù)到未來，但影響經(jīng)濟(jì)增長的因素非常復(fù)雜，它不僅受國家宏觀經(jīng)濟(jì)政策的影響，而且也會(huì)受眾多偶然的外部沖擊和自然因素的影響。因此，依靠其歷史數(shù)據(jù)建立起來的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度必然受到影響。多元回歸模型則對(duì)以往的數(shù)據(jù)要求比較高，模型的建立需要大樣本且要求樣本有較好的分布規(guī)律，預(yù)測(cè)的結(jié)果是由每一個(gè)影響因素決定的。因此，一旦影響經(jīng)濟(jì)增長的某一個(gè)因素發(fā)生了結(jié)構(gòu)性的變化，依靠歷史數(shù)據(jù)建立起來的回歸預(yù)測(cè)模型的精度也必然受到影響。指數(shù)平滑模型是一種特殊的 ARIMA的模型，即IMA（1，1），因?yàn)锳RIMA模型的擬合綜合考慮了序列的趨勢(shì)變化、周期變化及隨機(jī)干擾，并借助模型參數(shù)的調(diào)整最終使擬合殘差不再包含可供提取的非隨機(jī)信息成分，成為白噪聲或近似白噪聲，所以，多數(shù)情況下，ARIMA方法的預(yù)測(cè)效果要優(yōu)于傳統(tǒng)的指數(shù)平滑法。

五、結(jié) 論

本文利用主成分分析和貝葉斯正則化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對(duì)我國宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究，BP網(wǎng)絡(luò)的“黑箱”特性使得人們難以理解網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)和決策過程，不能明確獲得內(nèi)部權(quán)值所反映的學(xué)習(xí)信息，這對(duì)我們準(zhǔn)確地把握經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的本質(zhì)是個(gè)阻礙，本文使用了6個(gè)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長影響較大的變量，通過主成分分析后簡(jiǎn)化為兩個(gè)主成分，這兩個(gè)主成分解釋了所有變量99．683%的信息，再通過BP網(wǎng)絡(luò)建立映射關(guān)系，得到相應(yīng)年份的仿真與預(yù)測(cè)值，但無法知道是哪個(gè)或哪些變量對(duì)經(jīng)濟(jì)增長起怎樣的作用，我們主要是利用這一模型對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，將目前并不清晰的信息體現(xiàn)在模型中，積累這些未知的知識(shí)，從而做出更為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。通過與幾種常用的預(yù)測(cè)方法的對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)：本文所用的方法數(shù)據(jù)輸入簡(jiǎn)便，收斂速度快，擬合曲線光滑，泛化能力強(qiáng)，且在預(yù)測(cè)精度上有明顯的優(yōu)勢(shì)。

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［11］趙秀恒，李明，李昆山．BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用研究［J］．河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)學(xué)報(bào)（綜合版），2006，6（3）：90－93．

［12］柯年前，張吉?jiǎng)偅谥鞒煞址治龊虰P網(wǎng)絡(luò)的我國GDP預(yù)測(cè)?？萍紕?chuàng)業(yè)月刊，2008，（8）：107－108．

［13］雍紅月，包桂蘭．組合時(shí)間序列ARMA模型在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用——內(nèi)蒙古十一五期間GDP預(yù)測(cè)［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008，38（21）：19－23．

［14］王莎莎，陳安，蘇靜，李碩．組合預(yù)測(cè)模型在中國GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］．山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2009，44（2）：56－59．

［15］梁文光．廣東省GDP時(shí)間序列預(yù)測(cè)——基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與ARIMA模型［J］．技術(shù)和市場(chǎng)，2010，17（6）：7－9．

［16］武妍，張立明．神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)泛化能力與結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法研究［J］．計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2002，（6）：21－25．

［17］王飛．基于貝葉斯向量自回歸的區(qū)域經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)模型：以青海為例［J］．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2011，28（2）：95－100．

GDP Prediction Based on Principal Component Analysis and Bayesian Regularization BP Neural Network

YU Sheng-hua1，DENG Juan2

（1．School of Economics and Trade，Hunan University，Changsha 410079，China；2．School of Mathematical Sciences and Computing Technology，Central South University，Changsha 410075，China）

We choose financial income，financial expenditure，total retail sales of consumer goods，actually used foreign investment，total import and export volume and social fixed assets investment，such as six factors，which have a significant effect on GDP．A forecasting model based on principal component analysis and Bayesian regularization BP neural network was established by using the Chinese macro-economic data in 1985～2008，and was applied to predict the GDP of China．The empirical results show that the principal component analysis and Bayesian regularization are utilized modify BP neural network，which can simplify network structure and strengthen generalization．Compared with other commonly used methods of forecasting，this method has simple data input，fast convergence rate，smooth fitting curve，and there is significant advantage in the prediction accuracy．

principal component analysis；Bayesian regularization；BP neural network；prediction．

P338．9

A

1008—1763（2011）06—0042—04

2010－11－16

喻勝華（1966—），男，湖南寧鄉(xiāng)人，湖南大學(xué)經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院教授，博士．研究方向：數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)．