胡 波， 黃仕華

(浙江師范大學(xué)凝聚態(tài)物理研究所，浙江金華 321004)

0 引言

由于布洛赫振蕩存在，直流偏壓下，人們?cè)趩挝СЦ癜雽?dǎo)體中觀察到了負(fù)差分電導(dǎo)現(xiàn)象［1］，并預(yù)測(cè)在負(fù)差分電導(dǎo)的條件下，對(duì)于均勻分布的電場(chǎng)，在太赫茲頻率下超晶格半導(dǎo)體應(yīng)該有一個(gè)較強(qiáng)放大．因此，直流偏壓下的超晶格成為微小、穩(wěn)定，并且能在室溫下操控的潛在的太赫茲輻射源．但是強(qiáng)場(chǎng)域的形成使得超晶格在出現(xiàn)負(fù)差分電導(dǎo)的地方不穩(wěn)定，從而破壞了長(zhǎng)周期超晶格高頻布洛赫放大．為了穩(wěn)定在超晶格中的電場(chǎng)，最近有很多新的納米設(shè)計(jì)方法被研究［2-3］．

最近，有文獻(xiàn)［4-5］報(bào)道了在假定動(dòng)量弛豫時(shí)間和能量弛豫時(shí)間相同的情況下采用動(dòng)力學(xué)平衡方程分析了用一個(gè)外加微波頻率下交流光電場(chǎng)取代直流電場(chǎng)可以在長(zhǎng)周期超晶格上實(shí)現(xiàn)高頻放大，在亞赫茲頻率ω2=nω1(n是偶數(shù))的探測(cè)光電場(chǎng)很強(qiáng)時(shí)負(fù)吸收的存在．本文更普遍地從理論上說明了直流電場(chǎng)下也可實(shí)現(xiàn)探測(cè)光電場(chǎng)的高頻放大，并發(fā)現(xiàn)探測(cè)光電場(chǎng)的高頻放大效應(yīng)與負(fù)差分電導(dǎo)不一定有直接關(guān)系．用一個(gè)外加交流光電場(chǎng)取代直流的情況下，在某些特定的探測(cè)光電場(chǎng)和外加光電場(chǎng)下，探測(cè)光電場(chǎng)的高頻放大效應(yīng)是可以發(fā)生的，特別是在低頻弱探測(cè)光場(chǎng)下，這時(shí)高頻放大效應(yīng)也一直存在．

1 基本理論

假設(shè)長(zhǎng)周期超晶格半導(dǎo)體勢(shì)壘寬度比較小，在緊束縛近似下，在它生長(zhǎng)方向(設(shè)為z)單微帶的色散關(guān)系為［6］

式(1)中:kz是沿z方向的波矢;d是超晶格的周期;Δ是微帶寬度．在微帶超晶格中電子在z方向上的速度為

假設(shè)一個(gè)與時(shí)間有關(guān)的電場(chǎng)E(t)=Edc+Eac(t)作用于電子上，采用在近弛豫時(shí)間近似下的經(jīng)典的玻爾茲曼輸運(yùn)方程描繪電子的動(dòng)力學(xué)過程［7］

式(3)中:f(q，k，t)是超晶格電子中的分布函數(shù);τe和τi分別是電子唯象的能量弛豫時(shí)間和彈性散射弛豫時(shí)間．存在雜質(zhì)、界面粗糙、結(jié)構(gòu)無序散射等主導(dǎo)著彈性散射弛豫，聲子散射等非彈性散射主導(dǎo)著能量弛豫．

假定超晶格中的電子平衡時(shí)滿足玻爾茲曼分布．超晶格除了在z方向形成微帶外，電子在超晶格平面內(nèi)是自由運(yùn)動(dòng)的，因此電子的總能量是

式(4)中:m*是電子的有效質(zhì)量;kx和ky分別是平面內(nèi)的波矢．超晶格平衡時(shí)電子密度為

式(5)中:A是玻爾茲曼分布的待定系數(shù);I0是零階虛宗量貝塞爾數(shù)．

超晶格電子達(dá)到平衡時(shí)電子的平均能量為

式(7)～式(8)中:J(t)是電子的電流密度;ε(t)是電子的平均能量．動(dòng)量

2 計(jì)算與分析

考慮作用在電子上的電場(chǎng)為E0+E1cos(ω1t)+E2cos(ω2t+φ)，其中E1cos(ω1t)是一個(gè)外加太赫茲光電場(chǎng)，E2cos(ω2t+φ)是一個(gè)外加交流光探測(cè)場(chǎng)，φ是相對(duì)相位．定義在超晶格微帶中交流探測(cè)光場(chǎng)的吸收為

式(9)中，＜J(t)cos(ω2t+φ)/Jpeak＞t表示超晶格中電子達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，在一個(gè)時(shí)間周期為2π/ω2內(nèi)的時(shí)間平均值．當(dāng)A＜0時(shí)，則表示產(chǎn)生的頻率為ω2的諧波與驅(qū)動(dòng)探測(cè)光場(chǎng)反相，能量將由超晶格轉(zhuǎn)移給探測(cè)交變光場(chǎng)，交變光場(chǎng)將被放大，所以，可以說高頻放大對(duì)應(yīng)A＜0．與A有關(guān)的吸收α(cm-1)［8］為

式(10)中:κ0和c分別是真空介電常數(shù)和真空中的光速;nr是超晶格材料的折射率．在超晶格中產(chǎn)生的功率密度P為

為了能計(jì)算吸收和產(chǎn)生功率，對(duì)一個(gè)長(zhǎng)周期的GaAs/AlAs超晶格采用如下參數(shù)［9］:周期長(zhǎng)度Tsu 最大平均電流 Jpeak=qneqΔd/［4?I1(Δ/2kBT)/I0(Δ/2kBT)］，Esaki-Tsu 臨界電場(chǎng)為 Ec=?/(qdτ)，其

下面討論在超晶格中探測(cè)光場(chǎng)的高頻放大效應(yīng)，分如下情況進(jìn)行:

1)作用在超晶格上的外加電場(chǎng)只有直流電場(chǎng)(E1=0)，數(shù)值求解上述動(dòng)力學(xué)平衡方程．圖1是在高頻率為ω2=3/τ弱振幅探測(cè)光場(chǎng)的作用下，直流電流J0/Jpeak與電場(chǎng)E0/Ec之間的關(guān)系．由圖1可見，在布洛赫頻率ωB=ω時(shí)出現(xiàn)直流共振峰．圖2給出了當(dāng)直流電場(chǎng)E0/Ec=1～5時(shí)，吸收α與頻率ω2的依賴關(guān)系，它表明對(duì)低頻ω2τ?1，負(fù)吸收存在．對(duì)于滿足E0/Ec?1的直流工作電場(chǎng)，與放大共振對(duì)應(yīng)的頻率很容易被估算出來．很明顯，當(dāng)處于工作狀態(tài)的直流電場(chǎng)選擇在直流共振峰的右側(cè)部分時(shí)，最大高頻放大值是可以實(shí)現(xiàn)的．這種放大共振也揭示了布洛赫共振的量子耗散本質(zhì)，即散射造成了在發(fā)射和吸收過程中的不對(duì)稱性，但是與負(fù)差分電導(dǎo)相關(guān)的不穩(wěn)定性造成了高頻放大的可行性［10］．

圖1 直流電流作為直流電場(chǎng)的函數(shù)(E2→0，ω?1)

圖2 吸收 α-ω2τ曲線(E2→0，E0=1，2，3，4，5Ec)

在強(qiáng)振幅探測(cè)光場(chǎng)的情況下，高頻放大不一定與靜態(tài)負(fù)差分電導(dǎo)聯(lián)系在一起，因?yàn)榻涣麟妶?chǎng)也能打開一個(gè)新的輸運(yùn)通道，它導(dǎo)致了J0～E0特性的光輔助峰的形成［10-11］．圖3是在一個(gè)強(qiáng)探測(cè)光場(chǎng)頻率為ω2=3/τ的作用下，對(duì)不同的探測(cè)光振幅 E2值，直流電流與電場(chǎng)之間的關(guān)系．由圖3可見，在E0/Ec=2．5 ～4．0和 E0/Ec=5．5 ～6．5 時(shí)，第1 和第2 個(gè)光輔助峰的左側(cè)表征了正差分電導(dǎo)區(qū)域［10］．為了展示在正差分電導(dǎo)的情況下強(qiáng)信號(hào)放大的可行性，筆者分別選擇工作直流電場(chǎng)為E0=3Ec和E0=6Ec．圖4給出了產(chǎn)生功率密度對(duì)頻率為ω2=3/τ光探測(cè)場(chǎng)的依賴關(guān)系．由圖4可見，當(dāng)正差分電導(dǎo)只出現(xiàn)在第2個(gè)光輔助峰的左側(cè)時(shí)，超晶格能產(chǎn)生高頻放大輻射，不同于文獻(xiàn)［10］報(bào)道的在第1個(gè)光輔助峰左側(cè)就出現(xiàn)了高頻放大效應(yīng)．同時(shí)，在探測(cè)光場(chǎng)處于低振幅下，超晶格中不穩(wěn)定的電學(xué)特性干擾了高頻放大的產(chǎn)生．在超晶格能轉(zhuǎn)換到正差分電導(dǎo)之前，探測(cè)場(chǎng)振幅必須達(dá)到一個(gè)閾值，從圖4可知這個(gè)閾值一直是存在的．但是，如果通過某種方式，小信號(hào)的空間電荷不穩(wěn)定性能被壓制的話，對(duì)一個(gè)非常特殊的超晶格，產(chǎn)生功率密度在頻率～8 THz能達(dá)到～300 MW/cm3．

圖3 直流電流-直流電場(chǎng)曲線

圖4 P與E2之間的函數(shù)關(guān)系

2)作用在超晶格上的外加電場(chǎng)只有交流電場(chǎng)(E0=0)．為了高頻放大效應(yīng)不被外加光場(chǎng)產(chǎn)生的諧波干擾，筆者選擇探測(cè)光場(chǎng)的頻率ω2=2ω1(n為偶數(shù))，主要是因?yàn)樵跊]有直流電流的對(duì)稱超晶格中不可能產(chǎn)生偶次諧波．因此，在偶次諧波的高頻放大是值得進(jìn)一步探討的．圖5是在頻率為ω2=2ω1的弱探測(cè)光場(chǎng)情況下，對(duì)不同外加光電場(chǎng)振幅E1，吸收α對(duì)相對(duì)相位φ的依賴關(guān)系．表明在弱探測(cè)場(chǎng)的情況下，依賴于相對(duì)相位高頻放大總是能達(dá)到最大，且在低頻ω1?1/τ條件下，最優(yōu)化的相對(duì)相位為φopt?π/2或3π/2．圖6是對(duì)不同的探測(cè)場(chǎng)振幅E2，吸收α對(duì)相對(duì)相位φ的依賴關(guān)系．由圖6可見，同樣在低頻ω1?1/τ條件下，最優(yōu)化相對(duì)相位φopt≈π/2或3π/2，因?yàn)楫?dāng)相對(duì)相位φ取最優(yōu)相位時(shí)，產(chǎn)生的第2諧波正好與驅(qū)動(dòng)的總交變場(chǎng)反相，能量由超晶格轉(zhuǎn)遞給探測(cè)交變場(chǎng)最多，這時(shí)最有可能放大．

圖5 不同E1值時(shí)吸收α與相對(duì)相位φ的關(guān)系

圖6 不同E2值時(shí)吸收α與相對(duì)相位φ之間的關(guān)系

圖7表示:當(dāng)φ=φopt時(shí)，不同的外加光電場(chǎng)在弱探測(cè)光電場(chǎng)下吸收α與外加光頻率ω1之間的關(guān)系．由圖7可見，在ω1＞2/τ的情況下，高頻放大將不可能發(fā)生，因?yàn)?，此種情況下外加光電場(chǎng)引起超晶格自身產(chǎn)生了負(fù)差分電導(dǎo)，干擾高頻放大效應(yīng)．為了實(shí)現(xiàn)高頻放大應(yīng)該避免這一工作點(diǎn)．圖8展示了在外加光電場(chǎng)振幅為E1=3～5Ec時(shí)，產(chǎn)生的功率密度與探測(cè)光電場(chǎng)振幅之間的關(guān)系．如果超晶格能實(shí)現(xiàn)高頻放大，當(dāng)探測(cè)振幅E1=5Ec時(shí)，功率密度達(dá)～300 MW/cm3．圖9顯示的是α與ω1τ的關(guān)系，表明只有在ω1?1/τ情況下，偶次諧波頻率的探測(cè)光場(chǎng)才能都實(shí)現(xiàn)高頻放大，但二次諧波頻率吸收得更多，因?yàn)?，在高頻范圍特定外加光電場(chǎng)下，超晶格的不穩(wěn)定性干擾了高頻放大效應(yīng)的產(chǎn)生．

圖7 吸收α作為外加光頻率ω1的函數(shù)

圖8 產(chǎn)生功率密度P作為探測(cè)光振幅E2的函數(shù)

3 結(jié)論

本文中，筆者通過弛豫近似下半經(jīng)典玻爾茲曼輸運(yùn)理論計(jì)算模擬了半導(dǎo)體超晶格中在直流驅(qū)動(dòng)和交流驅(qū)動(dòng)2種情況下的高頻放大效應(yīng)，并分析了利用單頻和多頻驅(qū)動(dòng)在室溫下達(dá)到太赫茲放大的可行性．研究和計(jì)算也可推廣到外加交流和直流同時(shí)存在的情況，同時(shí)也為下一步半導(dǎo)體超晶格高頻放大的實(shí)驗(yàn)研究提供了理論依據(jù)和參考．

圖9 吸收 α-ω1τ曲線

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