汪涇涇， 高先龍

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

再加上粒子數守恒條件

0 引言

冷原子技術的發(fā)展為研究長期困擾凝聚態(tài)物理學界的一些問題帶來了新的機遇，如理解超流-Mott絕緣體相的轉、自旋極化費米子的超流FFLO相［1-2］、相互作用與無序的競爭［3］等．

目前，實驗上可以把兩組分的40K，6Li原子限制在一維勢阱中［4］．在理論上，這樣的模型可以用短程相互作用的Gaudin模型來描述．最近的實驗發(fā)現了理論所預言的2種狀態(tài):系統(tǒng)中間部分是FFLO相，邊緣部分或為BCS相，或為正常相［5-6］．冷原子實驗技術的發(fā)展為研究無序系統(tǒng)帶來了極大的方便．目前常用的無序有:2個周期不同的平面波組成的準無序［7］;激光透過一個粗糙玻璃平面散射形成的speckle無序［8-9］等．在無序系統(tǒng)中，可以研究許多凝聚態(tài)物理所關心的現象，如在強無序的玻色系統(tǒng)中，會出現玻色玻璃相、玻色-安德遜玻璃相、Mott玻璃相［10］、玻色-愛因斯坦凝聚在無序中產生的安德遜局域化現象［11-12］等．

本文先描寫一維極化費米氣體的物理模型，介紹均勻體系的精確Bethe-ansatz解和speckle無序，再討論無序對系統(tǒng)的影響及一些數值結果，最后得出結論．

1 一維極化費米氣體的物理模型

一維極化費米氣體的有效哈密頓量可以用單帶模型來描述［13］

式(1)中:σ=↑，↓代表自旋;Ψσ(x)(Ψ+σ(x))是費米子消滅(產生)算符．每個自旋組分的原子數是Nσ，用μσ來描述2個不同自旋組分的化學勢．外勢Vex(x)=Vtrap(x)+Vdis(x)，其中諧振勢為Vtrap(x)=mω2x2/2，Vdis(x)描寫無序，g1D是一維有效耦合常數［14］．定義γ為相互作用能量密度em與動能密度ekin的比值．可以發(fā)現γ=-(mg1D)/(?2n)=2/(na1D)，這里a1D為一維散射長度．在弱相互作用極限下，有eint～g1Dn和ekin～?2k2/(2m)～?2n2/m，其中n是總的粒子密度．γ?1代表弱相互作用極限，而γ?1代表強相互作用極限．在有勢場存在的情況下，可以用勢場中心的無量綱參量γ0=γ(x=0)來描寫相互作用的大小，可以估計γ0=πaho/N1/2a1D．最后，用參量P=(N↑-N↓)/N描寫總的自旋極化率，p(x)=(n↑(x)-n↓(x))/n(x)來描寫局域的自旋極化率．

在諧振勢中，當外勢中存在大量費米子時，局域密度近似是一個比較準確的近似方法［5-6］，結合均勻極化費米氣的Bethe-ansatz解，可以得到當N?1時系統(tǒng)的基態(tài)性質．

利用局域密度近似并根據非均勻氣體的局域平衡條件可以確定化學勢．平衡條件為:

再加上粒子數守恒條件

其中:n(x)和p(x)分別是局域密度和局域自旋極化率;下標“g”表示整體性質．

由此可以進行數值計算．對于給定的參數N和P，先猜想初始的整體化學勢μσg，用局域平衡方程找到n(x)和p(x)．然后，在歸一化條件下調整化學勢μσg，得到一個新的分布．重復這個過程從而達到穩(wěn)定值，即為所求的基態(tài)密度分布．

極化費米氣體的狀態(tài)是由總極化率決定的．當極化率較小時，氣體處于FFLO-BCS相;當極化率較大時，氣體處于FFLO-N相．這2種狀態(tài)之間存在一個臨界極化率PC．

2 均勻體系的精確Bethe-ansatz解

在均勻系統(tǒng)的情況下，式(1)可用Bethe-ansatz進行精確求解［15-16］．在熱力學極限下，對于固定粒子數密度nσ和相互作用γ的均勻氣體，其基態(tài)可以從一組Gaudin耦合積分方程中得到:

此時系統(tǒng)的基態(tài)能為

3 Speckle無序

Speckle無序分布可用隨機復數場φ(x)來模擬，這個場的實部和虛部是2個獨立的高斯分布η(x)．它們的平均值＜η(x)＞為0，標準偏差為1，關聯(lián)函數是＜ η(x)η(y)＞～δ(x-y)．Speckle的光強是

式(11)中:操作算符F是傅立葉變換

W(y)是孔徑函數

在一維系統(tǒng)的speckle分布中，可設定相關常數lc與孔徑平面寬度的關系為lc=0．88/D［9，18］．本文使用的相關長度均為lc=10 μm．Speckle無序可寫為 Vdis=±AI(x)，其中A代表無序振幅，±分別表示藍諧(排斥)無序或紅諧(吸引)無序．圖1中，實現了一次藍諧(排斥)speckle無序，其中aho是諧振勢中的單位長度．

圖1 一次藍諧(排斥)speckle無序在實空間中的分布情況

4 數值結果

利用精確Bethe-ansatz解和局域密度近似，借助式(2)～式(5)可得到極化費米氣體在外勢中的密度分布情況，而密度分布是冷原子實驗中可直接測量的物理量，對其研究可以同實驗進行直接對比．

圖2給出了不同極化率下費米氣體在外勢中的密度及密度差的分布，圖2中:相互作用強度為γ0=1．6．圖2(a)～(c)是藍諧排斥speckle無序．圖2(d)～(f)是紅諧吸引無序．圖2(a)和(d)中P=0，干凈系統(tǒng)為BCS相．圖2(b)和(e)中P=0．05，干凈系統(tǒng)為FFLO-BCS相．圖2(c)和(f)中，干凈系統(tǒng)為FFLO-N相．實線、圓圈、三角形分別代表A=0，±0．5和±1．0時的總密度分布;虛線、方形、叉號分別代表A=0，±0．5和1．0時的密度分布之差．筆者發(fā)現，隨著無序的增強，粒子數密度的分布降低，但分布的范圍變寬．在相同的條件下，紅諧無序下密度在勢阱中間的分布更集中，但總體分布的范圍更廣．

圖2 諧振勢中兩組分費米氣體密度分布之和及密度分布之差

圖3 所示的是臨界自旋極化率PC與相互作用強度γ0和無序振幅A之間的相圖，當P＜PC時，系統(tǒng)處于FFLO-BCS相;當P＞PC時，系統(tǒng)處于FFLO-N相．筆者發(fā)現當相互作用強度不變時，隨著無序的增加，系統(tǒng)從FFLO-BCS相變?yōu)镕FLO-N相．出現這種現象的原因是無序打破了系統(tǒng)的完全配對和完全正常的狀態(tài)，使兩組分氣體產生能量差別，從而產生FFLO相在空間區(qū)域上的擴大．

5 結論

基于精確Bethe-ansatz解和局域密度近似，求解了在外勢和無序存在的情況下，一維自旋極化費米氣體的基態(tài)性質．研究了不同極化率下無序對系統(tǒng)的影響，可以發(fā)現，隨著無序的增強，粒子數密度的分布降低，但分布的范圍變寬．筆者還求解了FFLO-BCS相和FFLO-N相的臨界極化率，發(fā)現隨著無序強度的增加，系統(tǒng)能從FFLO-BCS相轉變?yōu)镕FLO-N相．

圖3 臨界自旋極化與相互作用及無序振幅之間的關系圖

［1］Fulde P，Ferrell R A．Superconductivity in a strong spink-exchange field［J］．Phys Rev，1964，135(3A):A550-A563．

［2］Larkin A I，Ovchinnikov Y N．Neodnorodnoe sostoyanie sverkhprovodnikov［J］．Zh Eksp Teor Fiz，1964，47(3):1136-1146．

［3］Giorgini S，Pitaevskii L P，Stringari S．Theory of ultracold atomic Fermi gases［J］．Rev Mod Phys，2008，80(4):1215-1274．

［4］Moritz H，St?ferle T，Güunter K，et al．Confinement induced molecules in a 1D fermi fas［J］．Phys Rev Lett，2005，94(21):210401．

［5］Orso G．Attractive fermi gases with unequal spin populations in highly elongated traps［J］．Phys Rev Lett，2007，98:070402．

［6］Hu Hui，Liu Xiaji，Drummond P D．Phase diagram of a strongly interacting polarized fermi gas in one dimension［J］．Phys Rev Lett，2007，98:070403．

［7］Fallani L，Lye J E，Guarrera V，et al．Ultracold atoms in a disordered crystal of light:towards a bose glass［J］．Phys Rev Lett，2007，98:130404．

［8］Lye J E，Fallani L，Modugno M，et al．Bose-Einstein condensate in a random potential［J］．Phys Rev Lett，2005，95:070401．

［9］Modugno M．Collective dynamics and expansion of a Bose-Einstein condensate in a random potential［J］．Phys Rev A，2006，73:013606．

［10］Fisher M P A，Weichman P B，Grinstein G，et al．Boson localization and the superfluid-insulator transition［J］．Phys Rev B，1989，40(1):546-570．

［11］Roati G，Errico C D，Fallani L，et al．Anderson localization of a non-interacting Bose-Einstein condensate［J］．Nature(London)，2008，453:895-899．

［12］Billy J，Josse V，Zuo Zhanchun，et al．Direct observation of Anderson localization of matter waves in a controlled disorder［J］．Nature(London)，2008，453:891-894．

［13］Liu Xiaji，Hu Hui，Drummond P D．Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov states in one-dimensional spin-polarized ultracold atomic Fermi gases［J］．Phys Rev A，2007，76:043605．

［14］Bergeman T，Moore M G，Olshanii M．Atom-atom scattering under cylindrical harmonic confinement:numerical and analytic studies of the confinement induced resonance［J］．Phys Rev Lett，2003，91:163201．

［15］Gaudin M．Un systeme a une dimension de fermions en interaction［J］．Phys Lett A，1967，24(1):55-56．

［16］Yang Chenning．Some exact results for the many-body problem in one dimension with repulsive delta-function interaction［J］．Phys Rev Lett，1967，19(23):1312-1315．

［17］Lieb E H，Liniger W．Exact analysis of an interacting bose gas．I．The general solution and the ground state［J］．Phys Rev，1963，130(4):1605-1616．

［18］Huntley J M．Speckle photography fringe analysis:assessment of current algorithms［J］．Appl Opt，1989，28(20):4316-4322．