田野，張峰，格日措毛

（1.河北北方學院理學院，河北張家口 075000；2.青海師范大學民族師范學院，青海西寧 810008）

離散的修正海森堡鐵磁鏈方程的研究

田野1，張峰1，格日措毛2

（1.河北北方學院理學院，河北張家口 075000；2.青海師范大學民族師范學院，青海西寧 810008）

對于離散的修正海森堡鐵磁鏈方程，相關(guān)研究表明若將其自旋矢量用閔可夫斯基空間中的離散曲線的單位矢量代替，則可給出與其幾何等價的可積微分－差分方程.通過規(guī)范變換具體證明了相關(guān)的離散修正海森堡鐵磁鏈方程與其幾何等價的可積微分－差分方程之間具有規(guī)范等價性關(guān)系.

離散可積方程；離散的修正海森堡鐵磁鏈方程；規(guī)范等價性

海森堡鐵磁鏈方程及其離散情形下的可積性的研究多年來一直受到人們的廣泛關(guān)注.已有的研究表明（離散）海森堡鐵磁鏈方程與（離散）非線性薛定諤NLSE＋之間存在規(guī)范等價性和幾何等價性關(guān)系［1－6］.

另外人們對各種推廣的海森堡鐵磁鏈方程也進行了研究，修正海森堡鐵磁方程便是其中一個十分重要的可積方程［7］，它與非線性薛定諤方程NLSE－之間不僅存在規(guī)范等價性關(guān)系［8］，而且還存在幾何等價性關(guān)系［9］.需要指出的是在證明幾何等價性關(guān)系時，與海森堡鐵磁方程的不同之處在于將修正海森堡鐵磁鏈方程的自旋矢量等價于閔可夫斯基空間一曲線的切矢量，然后利用相應的Hasimoto變換即可給出NLSE－.對于離散的修正海森堡鐵磁鏈方程，最近已有文獻利用閔可夫斯基空間中離散曲線的運動，給出了與其相應的可積微分－差分方程之間的幾何等價性關(guān)系［10］，但對其規(guī)范等價性一直尚未有相關(guān)研究報道.本文將就該問題進行深入討論和研究.

1 離散的修正海森堡鐵磁鏈方程

首先對離散可積的修正海森堡鐵磁鏈方程及其幾何等價的可積微分－差分方程做一簡單介紹.離散可積的修正海森堡鐵磁鏈方程為［10］

這里sn2＝－1.Yu等人在文獻［10］中用閔可夫斯基空間M3中的離散曲線的切矢量tn替代s n并利用離散的Frenet－Serret方程

2 離散的修正海森堡鐵磁鏈方程規(guī)范等價性

上面介紹了離散可積的修正海森堡鐵磁鏈方程（1）與可積微分－差分方程（7）之間的幾何等價性關(guān)系.

現(xiàn)在來具體證明它們之間也具有規(guī)范等價性關(guān)系.為此先給出它們的Lax表示.

對于方程（1），其相應的Lax表示為

為證明方程（1）與方程（7）是規(guī)范等價的，假設｛qn（t）｝是方程（7）的解，其對應Lax對（11）的解可以記為｛ψn（t，z）｝.考慮以下規(guī)范變換

其中g(shù) n是Lax對（11）在z＝1的基本解.下面證明上面的｛ψn，（t，z）｝是Lax對（8）的解.將（13）代入式（11）中的第1式，并將式（8）代入式（13），通過比較所得2式，很容易得到

由于gn是Lax對（11）在z＝1的解，可以直接驗證gn具有如下形式：

這樣由（17）和（18）可知Sn具體形式取為（10）.

下面將（13）代入（11）中的第2式，并將所得表達式與（13）式關(guān)于時間的導數(shù)進行對比，很容易得到

3 結(jié)論

對于離散的修正海森堡鐵磁鏈方程，已有相關(guān)文獻給出了與其幾何等價的可積微分－差分方程.在本文中通過利用可積系統(tǒng)中的規(guī)范變換方法，嚴格證明了相關(guān)的離散修正海森堡鐵磁鏈方程與其幾何等價的可積微分－差分方程之間還具有規(guī)范等價性關(guān)系，從而進一步深入揭示了這些方程之間的內(nèi)在聯(lián)系.

［1］郭柏靈，丁時進.自旋波與鐵磁鏈方程［M］.杭州：浙江科學技術(shù)出版社，2000.

［2］LAKSHMANAN M，RUIJGROK T M，THOMSON C J.On the dynamics of a continuum spin system［J］.Physica A，1976，84（3）：577－590.

［3］LAKSHMANAN M.Continuum spin system as an exactly solvable dynamical system［J］.Physics Letters A，1977，61（1）：53－54.

［4］何進春，史麗娜，陳化，等.Landau－Lifschitz鐵磁方程的Hamilton理論和規(guī)范變換［J］.物理學報，2006，54（5）：2007－2012.

［5］ZHAO W Z，BAI Y Q，WU K.Generalized inhomogeneous Heisenberg ferromagnet model and generalized nonlinear Schr?dinger equation［J］.Physics Letters A，2006，352（1）：64－68.

［6］DANIEL M，MANIVANNAN K.On the geometric equivalence of certain discrete integrable Heisenberg ferromagnetic spin chains［J］.Journal of Mathematical Physics，1999，40（6）：2560－2568.

［7］田野.離散的修正海森堡鐵磁鏈方程的規(guī)范等價性研究［D］.北京：首都師范大學數(shù)學科學學院，2008.

［8］DING Q.A note on the NLS and the Schr?dinger flow of maps［J］.Physics Letters A，1998，248（1）：49－56.

［9］ZHAO W Z，LI M L，QI Y H，et al.Modified Heisenberg ferromagnet model and integrable equation［J］.Communications in Theoretical Physics，2005，44（3）：415－418.

［10］YU F L，BI Y H，ZH AI Y，et al.On the geometric equivalence of the discrete Integrable modified Heisenberg ferromagnet model［J］.Journal of the Physical Society of Japan，2005，74（9）：2449－2452.

Investigation of Discrete Modified Heisenberg Ferromagnet Equation

TIAN Ye1，ZHANG Feng1，Gericuomao2
（1.College of Science，Hebei North University，Zhangjiakou 075000，China；2.Minority Normal College，Qinghai Normal University，Xining 810008，China）

For the discrete integrable modified Heisenberg ferromagnet equation，it is known that the geometric equivalent integrable differential－difference equation can be obtained by identifying the spin vector with the unit vectors of discrete curve in Minkowski space.In this paper，we prove that there is the gauge equivalence between the discrete modified Heisenberg ferromagnet equation and the corresponding geometric equivalent differential－difference equation.

discrete integrable equation；discrete modified heisenberg ferromagnet equation；gauge equivalence

O 175.7

A

1000－1565（2011）03－0244－05

2010－01－10

國家自然科學基金資助項目（10975102）

田野（1976一），女，內(nèi)蒙赤峰人，河北北方學院講師，主要從事可積系統(tǒng)方面的研究.E－mail：tianye8012＠sina.com

孟素蘭）