曹愛民

濟(jì)南職業(yè)學(xué)院 山東 濟(jì)南 250014

數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識；數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通?；旆Q為“數(shù)學(xué)思想方法”。日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏說：“學(xué)生在學(xué)校所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，在進(jìn)入社會后，幾乎沒有機(jī)會應(yīng)用，因而這種作為知識的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不到一兩年就忘掉，然而不管他們從事什么工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用，使其終身受益”。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會有一個大幅度的提高，掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。對高職院校的學(xué)生而言，由于其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，抽象的數(shù)學(xué)邏輯體系成了他們理解的障礙，高職院校高等數(shù)學(xué)的教學(xué)目的在于讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)課程的主線，掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用于實踐中的簡單理論和操作方法，引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思維分析和解決實際問題，因此，在教學(xué)實踐過程中，如何利用有限的課時使學(xué)生掌握更多的數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法，成為每一位職業(yè)院校數(shù)學(xué)教師必須思考的問題，因此在教學(xué)中要重視對數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)和提煉，把有限的教學(xué)內(nèi)容拓展到學(xué)生各專業(yè)應(yīng)用實踐中去。在教學(xué)內(nèi)容的安排上，盡可能地降低抽象性，減少不必要的理論推導(dǎo)，突出操作性和應(yīng)用性，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維方式和思想方法的養(yǎng)成，使高等數(shù)學(xué)成為培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想素質(zhì)、訓(xùn)練數(shù)學(xué)應(yīng)用技術(shù)的平臺。

1 挖掘高等數(shù)學(xué)教材中隱含的數(shù)學(xué)思想方法

高等數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則、性質(zhì)等內(nèi)容，是數(shù)學(xué)知識有形的實體，而數(shù)學(xué)思想方法隱含在數(shù)學(xué)知識體系當(dāng)中，滲透在教材的不同章節(jié)和不同的內(nèi)容中，需要經(jīng)過分析、鑒別、抽象、總結(jié)才能得出，而其一旦形成以后，又可以指導(dǎo)我們?nèi)パ芯啃碌臄?shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)思想方法滲透在學(xué)生獲得知識和解決問題的過程中，如果能有效地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成過程，讓學(xué)生在觀察實驗分析、抽象、概括的過程中，看到知識背后負(fù)載的方法，蘊(yùn)含的思想，那么，學(xué)生掌握知識才是鮮活的，可遷移的，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才得到質(zhì)的飛躍。因此，教師首先應(yīng)從思想上提高對思想方法重要性的認(rèn)識，把掌握數(shù)學(xué)知識和滲透數(shù)學(xué)思想方法同時融入教學(xué)目標(biāo)。其次，要深入鉆研教材，努力挖掘高等數(shù)學(xué)教材中隱含的數(shù)學(xué)思想方法。高等數(shù)學(xué)中隱含的思想方法很多，比如，數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、轉(zhuǎn)化思想等都有所體現(xiàn)，但比較重要的是三種數(shù)學(xué)思想：極限思想、導(dǎo)數(shù)思想和積分思想。

1）極限思想：極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，高等數(shù)學(xué)就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。極限思想的應(yīng)用主要是作為一種方法給出了導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、二重積分等重要概念，初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的研究方法發(fā)生了改變，這一改變就是引入了極限思想，把原本“靜止”的數(shù)學(xué)變成了“運動”的數(shù)學(xué)，高職院校的學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的初期，普遍感覺到高等數(shù)學(xué)不好學(xué)，很大程度上就是因為數(shù)學(xué)的思想方法變了，而他們思考問題、解決問題的方法還沒有轉(zhuǎn)變。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量，最后用極限計算來得到這結(jié)果。

2）導(dǎo)數(shù)思想：導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)中微積分的核心概念之一，是一種思想方法，兩類問題導(dǎo)致了導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生：一是求變速運動的瞬時速度，二是求曲線上一點處的切線，這兩類問題都?xì)w結(jié)為變量變化的快慢程度，即變化率問題。牛頓從第一個問題出發(fā)，萊布尼茲從第二個問題出發(fā)，分別給出了導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)運算是一種高明的數(shù)學(xué)思維，用導(dǎo)數(shù)的運算去處理函數(shù)的性質(zhì)更具一般性，獲得更為理想的結(jié)果；把運算對象作用于導(dǎo)數(shù)上，可使我們擴(kuò)展知識面，感悟變量、極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化高等數(shù)學(xué)中的不少問題；導(dǎo)數(shù)的方法是全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學(xué)科中同樣具有十分重要的作用，在物理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等其它學(xué)科和生產(chǎn)、生活的各個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。

3）積分思想：通常的加法是有限項相加，定積分概念是從求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程兩個問題引出來的，從解決這兩個問題的基本思想和步驟來考察，我們會體會到，定積分也是一種積累，曲邊梯形的面積是由“小窄條面積”積累而得：無限多個底邊長趨于零的小矩形的面積相加而得；變速直線運動的路程是由“小段路程”積累而得：無限多個時間間隔趨于零的小段路程相加而成全路程。因此，用定積分所表示的積累與同城意義下的積累不同。這里要以無限細(xì)分區(qū)間［a，b］而經(jīng)歷一個取極限的過程。也就是說，定積分是無限積累。能用定積分表示的量所具有的特點是：一是量不均勻地分布在一個有限區(qū)間［a，b］上，或者說它與自變量 的一個區(qū)間有關(guān)，當(dāng)區(qū)間［a，b］給定后，S就是一個確定的量。二是部分量ΔSi在部分區(qū)間［xi-1，xi］上能用“以直代曲”或“以不變代變”的方法寫出ΔSi的近似表達(dá)式：ΔSi≈f（ξi）Δxi，i=1，2，…，n，xi-1≤ξi≤xi，這里f（x）（x∈［a，b］）是根據(jù)具體問題所得到的函數(shù)。

2 在課堂教學(xué)過程中 滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)必須通過具體的教學(xué)過程得以實現(xiàn)，因此，必須把握好教學(xué)過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)——概念形成的過程、結(jié)論推導(dǎo)的過程、數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過程等。

2.1 在概念形成的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

2.2 在結(jié)論推導(dǎo)的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

這三道題雖然形式與原例題只有微小差別（二次三項式的常數(shù)項不同），但其解法卻大相徑庭，（1）的解法是把分母完全平方，然后湊微分求解；（2）是仿原例題的解法，只是在湊微分時稍顯復(fù)雜；（3）的解法是把被積函數(shù)裂成兩項，然后逐項積分。為什么會有如此大的區(qū)別呢？在總結(jié)的時候要給學(xué)生點出，幾道題目的本質(zhì)區(qū)別其實在于其分母二次三項式所對應(yīng)一元二次方程的判別式不同，當(dāng)Δ=0時，同（1）的解法；當(dāng)Δ＜0時，同（2）的解法；當(dāng)Δ＞0時，同（3）的解法。這其實是數(shù)學(xué)上的分類匯總思想，這樣處理既把知識進(jìn)行了有效地總結(jié)，有滲透了數(shù)學(xué)的思想方法。

2.3 在數(shù)學(xué)實驗 數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

根據(jù)高職高專培養(yǎng)目標(biāo)的要求，對高等數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)理論課的教學(xué)，要“淡化數(shù)學(xué)理論教學(xué)，注重數(shù)學(xué)思想方法傳授，側(cè)重數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)”。數(shù)學(xué)實驗是指為研究與獲得某種數(shù)學(xué)理論、驗證某種數(shù)學(xué)猜想、解決某種數(shù)學(xué)問題，運用數(shù)學(xué)的一些思想方法和手段，在數(shù)學(xué)思維活動指導(dǎo)下，在思維的實驗環(huán)境中或特定的實驗條件下所進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)探究活動。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。因此，在數(shù)學(xué)實驗和數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過程中，要注重對數(shù)學(xué)思想方法的滲透和講解，側(cè)重培養(yǎng)學(xué)習(xí)運用高等數(shù)學(xué)的知識去解決實際問題的能力。例如，定積分的思想是高等數(shù)學(xué)中最基本、最重要、最有實用價值的思想方法之一，也是應(yīng)用微積分描述實際問題，構(gòu)成數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。要通過幾何、物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等實例，加深對定積分思想方法的理解，進(jìn)一步增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)去理解、描述實際問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的初步能力；導(dǎo)數(shù)的思想方法應(yīng)用研究著重于瞬時速度、瞬時電流強(qiáng)度、切線斜率、曲率、邊際利潤、邊際成本等實際問題等。通過這些應(yīng)用問題的練習(xí)，可以鍛煉學(xué)生在較簡單的實際問題中提煉并且學(xué)會解答數(shù)學(xué)建模問題，進(jìn)一步增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識。

3 在現(xiàn)代信息技術(shù)的融合中 要貫通數(shù)學(xué)思想方法

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，要融入現(xiàn)代教育信息技術(shù)，要充分發(fā)揮現(xiàn)代教育信息技術(shù)的優(yōu)勢，把原本枯燥和抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)換成學(xué)生喜聞樂見的表現(xiàn)形式，最大限度的發(fā)揮高科技手段的表現(xiàn)形式，把高等數(shù)學(xué)知識表現(xiàn)為文字、圖像、數(shù)字和聲音等多種形式有機(jī)的合為一體的形式，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生、發(fā)展、變化的過程和數(shù)學(xué)本質(zhì)，最大限度的調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，提高學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)去解決實際問題的能力。例如，在講解用定積分的思想求曲邊梯形的面積時，要表現(xiàn)當(dāng)區(qū)間分割越來越小的時候，每個區(qū)間對應(yīng)舉行的面積和越來越接近曲邊梯形的面積時，無論是從描述還是畫圖都比較困難，而利用幾何畫板或MATLAB等軟件制作的課件去演示這一變化過程就非常方便。因此，在課程整合的過程中，要充分發(fā)揮信息技術(shù)的這一特點，幫助學(xué)生在較短的時間內(nèi)完成對艱深的數(shù)學(xué)定理的理解，幫助學(xué)生更好地從本質(zhì)上理解定理的內(nèi)在聯(lián)系。

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求教師掌握深層的、廣博的知識，以保證在教學(xué)過程中有明確的教學(xué)目標(biāo)。教師要針對不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容，靈活設(shè)計教學(xué)方案，積極引領(lǐng)學(xué)生在主動探究數(shù)學(xué)知識的過程中親身經(jīng)歷，在不同學(xué)科的融合中感悟、理解并掌握數(shù)學(xué)思想方法。讓數(shù)學(xué)思想方法在與知識能力形成的過程中共同生成，真正領(lǐng)會數(shù)學(xué)的精髓，從而進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

［1］徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2000.

［2］黎加厚.基于現(xiàn)代教育技術(shù)的信息教育［J］.中國電化教育，1999，（07）.

［3］吳元梁.科學(xué)方法論基礎(chǔ)［M］.北京：中國社會科學(xué)出版社，1991.