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(海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

師生課堂交流中的有效評價(jià)引導(dǎo)
——“直線與圓位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課教學(xué)案例片斷分析

●沈順良

(海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

師生交流是課堂教學(xué)的重要方式.師生數(shù)學(xué)交流是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思想方法，接受和表達(dá)對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識、感受及體驗(yàn)的一種活動.它能夠加強(qiáng)對數(shù)學(xué)的理解，鼓勵學(xué)生積極參與教學(xué)活動，包括思維的參與和行為的參與.課程標(biāo)準(zhǔn)在教學(xué)建議中指出，教師要創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識形成的過程.評價(jià)應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，有利于數(shù)學(xué)教與學(xué)活動過程的調(diào)控.師生課堂的交流能呈現(xiàn)出學(xué)生的探索、想法，也能暴露出其思考中存在的問題，教師有效的評價(jià)能針對性地引導(dǎo)思維、解決問題并滲透思想方法.下面筆者以“直線與圓位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課為例就教師的有效評價(jià)引導(dǎo)作簡要的分析.

1 前后方法的比較評價(jià)中激活解析幾何思想

師：如何判定直線與圓的位置關(guān)系？

生1：通過圓心到直線的距離與圓半徑的大小比較.

生2：解直線與圓聯(lián)立的方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的判別式來判斷.

師：這2種方法有什么共同特點(diǎn)？

生3：它們都是將直線與圓的位置關(guān)系這一幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法來解決的，只是前面的方法是利用圓的幾何特征先簡化再用代數(shù)方法的.

師：對.它們都體現(xiàn)了運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題的解析幾何思想，那么哪種方法比較好？

生4：第1種方法好，只要計(jì)算圓心到直線的距離即可與半徑比較大小.

生5：第2種方法好，因?yàn)榈?種方法也適用于后面的直線與其他曲線的位置關(guān)系的.

師：都有道理.第2種方法是一般方法，可適用于直線與一般圓錐曲線的位置判別;第1種方法只適用于圓，因?yàn)樗抢脠A的幾何特征得到的.

例1直線x-y+1=0與圓x2+y2=4的位置關(guān)系如何？

生6：畫個(gè)圖就可以知道.

師：看圖說話嗎？做大題不可以用，那應(yīng)該怎么判斷呢？

生7：用圓心到直線的距離和半徑作比較來解決.

師：若變式為：直線x-y+m=0與圓x2+y2=4相交，求m的取值范圍？若直線與圓相離呢？

評析獨(dú)立思考是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本特點(diǎn)之一，教師的評價(jià)引導(dǎo)應(yīng)關(guān)注學(xué)生善于思考并不斷地改進(jìn)思考的方法與過程.不同解題方案的交流可以讓學(xué)生更多地參與解題思路的探索，也可使學(xué)生養(yǎng)成從不同角度思考問題的習(xí)慣.在上述教學(xué)片斷中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生對2種方法的異同開展比較評價(jià)，突出了知識復(fù)習(xí)中的解析幾何思想.若能從2條直線的位置關(guān)系判斷加以類比，同樣得到2種方法(通過直線方程的斜率比較、解2條直線方程的方程組)，其中前一種方法同樣是先將幾何條件轉(zhuǎn)化為傾斜程度的關(guān)系，再用斜率這一方程中的代數(shù)形式來解決，則更有效.2種方法都體現(xiàn)著解析幾何思想，前一種適用于特殊的圓(直線)圖形，后一種適用于一般幾何圖形.

例1中學(xué)生回答的方法應(yīng)該是可行的.它是在坐標(biāo)系下畫出圖形(根據(jù)坐標(biāo))，再根據(jù)圖形的直觀性直接判斷得到的.對于大題的解答過程來說，只要增加一些說明即可.

2 解題過程的歸納評價(jià)中整體把握

例2求過圓x2+y2=1上一點(diǎn)(a,b)的切線方程.

師：你能化簡嗎？

生8：可以.ax+by=a2+b2，即ax+by=1.

師：這樣的過程和結(jié)果對不對？

生9：斜率不存在的情況沒有考慮.

師：那么該如何解決？

生9：再一一找出來，得到x=±1，y=±1.

師：那得到的特殊情形在方程ax+by=1中能統(tǒng)一嗎？

生9：將其代入可知是滿足的.

師：對，因此所求切線方程為ax+by=1，還要考慮是否遺漏特殊的情形.

3 對學(xué)生錯(cuò)誤的根源評價(jià)加深印象

例3點(diǎn)(a,b)在圓x2+y2=1內(nèi)，直線ax+by=1與圓的位置關(guān)系如何？

生10：這兒的直線和圓是相切的.

師：為何？你怎么想的？

生10：因?yàn)橹本€方程ax+by=1與上面的切線方程相似.

師：上面的切線方程有什么條件？與此有什么不同？

生11：不同的是點(diǎn)(a,b)不在圓上的，上面的結(jié)論也不能運(yùn)用了.

生12：我覺得這兒的直線與圓是相交的關(guān)系.

師：能說說你的理由嗎？

生12：因?yàn)辄c(diǎn)(a,b)在圓x2+y2=1內(nèi)的.

師：點(diǎn)(a,b)是在圓x2+y2=1內(nèi)的，可直線ax+by=1經(jīng)過點(diǎn)(a,b)嗎？

生12：將(a,b)代入得a2+b2=1.因?yàn)辄c(diǎn)(a,b)是在圓x2+y2=1內(nèi)的，所以不滿足條件，因此直線ax+by=1是不經(jīng)過點(diǎn)(a,b)的.

師：如何判斷直線和圓的位置關(guān)系呢？

師：前面2位同學(xué)都是從形式和表面上得到直線和圓的位置關(guān)系的，在實(shí)際問題中有的問題具有迷惑性，必須從一般解題方法上加以思考.

評析當(dāng)學(xué)生遇到疑難問題時(shí),引導(dǎo)他們相互交流或師生交流，既能讓常見的理解疑惑或典型錯(cuò)誤充分暴露，更能通過交流深入尋找形成問題的根源，使學(xué)生明確事物的本質(zhì)特征、相近概念的聯(lián)系與區(qū)別.在上述片斷中,生12的回答是常見的典型性錯(cuò)誤，是幫助學(xué)生辨析的機(jī)會.在這兒,教師抓住機(jī)會分別進(jìn)行了追問，師生的交流讓其暴露了學(xué)生思考的過程，然后有針對性地給予了根源上的糾正.

4 不同解法的比較評價(jià)中提升思維

師：你想到解決此問題的途徑了嗎？

生14：用代數(shù)方法即解方程組，可知2個(gè)不同的交點(diǎn)對應(yīng)于方程組有2組不同的解.

生15：此方法比較麻煩，需要開根號還要考慮前后的范圍，我通過圓心到直線的距離，可知它們有2個(gè)不同交點(diǎn),即相交.

師：這樣的對應(yīng)正確嗎？

生16：應(yīng)該是直線與上半個(gè)圓有2個(gè)不同的交點(diǎn).

圖1

師：比較上述方法，哪種更簡單？

生18：最后的那種方法要簡便些.

師：上述的方法中體現(xiàn)著什么樣的思想？

生18：一是數(shù)形結(jié)合思想;二是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.

評析數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，學(xué)生數(shù)學(xué)能力的獲得與提高是其自主學(xué)習(xí)、實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵.教師的課堂評價(jià)必須對此有正確的導(dǎo)向，要求教師把握滲透的機(jī)會，貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)過程與問題的解決過程中.同時(shí)需要關(guān)注學(xué)生能否在理解不同方法的基礎(chǔ)上，針對問題特點(diǎn)進(jìn)行合理選擇，進(jìn)而熟練運(yùn)用.在例4中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生對不同解法進(jìn)行評價(jià)，在比較中不僅知道了方法的優(yōu)劣，更是在深入的思想層面上的分析經(jīng)歷了思維的層次比較.

5 不同問題解決的比較評價(jià)中突出實(shí)質(zhì)

師：是如何解決的？

師：還有其他解法嗎？

變式1已知圓(x-3)2+(y-3)2=9和直線y=x+b，當(dāng)b為何值時(shí)，圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1(同桌討論).

師：上述3個(gè)問題的解決中有什么共同點(diǎn)？

生23：它們都是圓上的動點(diǎn)問題，相對比較抽象，解決時(shí)都是通過轉(zhuǎn)化為圓心和半徑的關(guān)系求解的.

生24：問題解決過程都是借助圖形直觀，也就是利用數(shù)形結(jié)合求解.

師：這就是圓上的動點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圓心這一定點(diǎn)的一般方法，其中需要形的輔助.

評析對一類數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解,既是有效交流評價(jià)的目標(biāo)，也是課堂交流的途徑和基礎(chǔ).教師在引導(dǎo)中要從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)，設(shè)計(jì)不同問題或變式問題，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)視角、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)思想方法等進(jìn)行問題本質(zhì)的理解交流.通過例4及其2個(gè)變式的解決，然后引導(dǎo)學(xué)生對其共同點(diǎn)開展評價(jià)，突出了圓上動點(diǎn)問題的一般轉(zhuǎn)化途徑和蘊(yùn)含其中的數(shù)形結(jié)合思想，有利于學(xué)生對此類問題的理解掌握.