喬國(guó)棟，黎 康，曾海波

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；

2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190）

一種非線性不確定系統(tǒng)的魯棒H∞濾波方法研究*

喬國(guó)棟1，2，黎 康1，2，曾海波1，2

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；

2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190）

考慮EKF濾波方法的線性化過(guò)程對(duì)估計(jì)誤差的影響，提出一種非線性不確定系統(tǒng)的魯棒H∞濾波方法.基于 H∞理論，該算法將濾波模型和觀測(cè)模型在線性化過(guò)程中所產(chǎn)生的誤差作為系統(tǒng)的不確定部分，力求此誤差對(duì)導(dǎo)航精度的影響最小，并且利用李亞普諾夫方法證明了該濾波算法的穩(wěn)定性.利用所提算法對(duì)月球環(huán)繞段自主導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行濾波估計(jì)，仿真結(jié)果證實(shí)了算法的有效性.

李亞普諾夫穩(wěn)定性；非線性不確定系統(tǒng)；魯棒H∞濾波；月球探測(cè)

自主導(dǎo)航系統(tǒng)都是精密的，但其工作的環(huán)境容易受到各種外界環(huán)境的干擾，另外，其本身也存在著傳感器誤差，這些因素都會(huì)影響導(dǎo)航的精度.為了在已有硬件基礎(chǔ)上提高導(dǎo)航精度，必須采取強(qiáng)有效的濾波方法.目前應(yīng)用最廣泛的是擴(kuò)展卡爾曼濾波［1］，這是一種非線性濾波方法，該算法在線性化過(guò)程中忽略高階項(xiàng)，必然會(huì)降低導(dǎo)航精度，且當(dāng)模型受到干擾發(fā)生變化時(shí)，EKF濾波算法往往會(huì)使系統(tǒng)發(fā)散［2］.

本文提出一種非線性不確定系統(tǒng)的魯棒H∞濾波方法，該算法是基于H∞理論［3］設(shè)計(jì)的，將濾波模型和觀測(cè)模型在線性化過(guò)程中所產(chǎn)生的誤差作為系統(tǒng)的不確定部分，力求其對(duì)導(dǎo)航精度的影響最小，通過(guò)李亞普諾夫方法證明了該魯棒H∞濾波算法的穩(wěn)定性，利用所提算對(duì)月球環(huán)繞段自主導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行濾波估計(jì)，證實(shí)了所提算法的精度優(yōu)于傳統(tǒng)的EKF算法.

1 魯棒H∞濾波器的結(jié)構(gòu)

考慮非線性不確定系統(tǒng)：

式中，x（t）表示狀態(tài)變量；y（t）表示測(cè)量輸出；w（t）為系統(tǒng)的模型誤差，即不確定項(xiàng)；為測(cè)量噪聲，其統(tǒng)計(jì)特性已知，即

對(duì)于非線性不確定系統(tǒng)（1），設(shè)計(jì)魯棒H∞濾波器形式為

式中，P（t）是黎卡提方程的解，R為系統(tǒng)的測(cè)量方差陣.定義系統(tǒng)的估計(jì)誤差為ζ=x（t）-（t），則估計(jì)誤差的動(dòng)力學(xué)方程為

式中，γ為H∞控制中的衰減因子，Q為有界的對(duì)稱正定矩陣.

2 魯棒濾波器穩(wěn)定性證明

為了保證魯棒H∞濾波器的穩(wěn)定性，需作如下

假設(shè)：

假設(shè)1.P矩陣為對(duì)稱有界陣，即

式中，p1，p2均為正實(shí)數(shù).

假設(shè)2.模型誤差 w和測(cè)量噪聲 v，分別滿足 w，v∈L2，w，v∈L∞.

假設(shè)3.對(duì)于式（5）中的L，定義LTL是有界的，即

式中，l1，l2為正實(shí)數(shù).

假設(shè)4.觀測(cè)矩陣C（t）是有界的

式中，c2為一正實(shí)數(shù).

假設(shè) 5.存在正實(shí)數(shù) κφ，εφ與 κχ，εχ，能夠保證非線性殘差項(xiàng)滿足

引理 1［3].若假設(shè) 4、5滿足，則存在常數(shù) ε=對(duì)于一切滿足條件以及的 ζ，均滿足

對(duì)于非線性魯棒 H∞濾波器（2）和（3），選取李亞譜諾夫函數(shù)

式中，P（t）為黎卡提微分方程（5）的解，由假設(shè)1可知：

由式（12）可以看出，V（t）為正定有界函數(shù).對(duì)式（11）計(jì)算微分，得

式中，P-1可由黎卡提微分方程（5）計(jì)算，

由此可得

式（15）中的第二項(xiàng)可改寫為

將式（16）和式（17）代入式（15），得

由引理1，可得

若估計(jì)誤差ζ≤ ε2，則

式（21）中的殘差項(xiàng)wTQ-1w+vTR-1v由假設(shè)2得

式中，dw，dv分別為w和v的上界，μ，r分別為Q，R陣的下界，對(duì)式（21）兩邊進(jìn)行積分，得

考慮到V（t）=ζT（t） P-1（t）ζ（t），且

ζT其中 p2a為 P（t）矩陣的上界，因此，

式中，p1a為P（t）矩陣的下界，隨著時(shí)間的增加，式（24）中的第一項(xiàng)逐漸趨于零，所以，誤差的穩(wěn)態(tài)值為

給出所提魯棒H∞濾波器的代價(jià)函數(shù)，由假設(shè)3及式（20）可知：

式中定義：

定義魯棒H∞濾波器的代價(jià)函數(shù)為

3 魯棒H∞濾波器設(shè)計(jì)方法

前面已經(jīng)給出魯棒H∞濾波器的構(gòu)型來(lái)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，本節(jié)主要給出魯棒H∞濾波器的設(shè)計(jì)步.

圖1 魯棒H∞濾波器的設(shè)計(jì)步驟

由圖1可知，本文所提的魯棒 H∞濾波算法將傳統(tǒng)的EKF算法中的測(cè)量更新步驟分解到方程（2）與方程（5）中，僅僅需要計(jì)算2個(gè)微分方程，就能夠解算導(dǎo)航系統(tǒng)的狀態(tài)變量，操作方便.

4 月球探測(cè)環(huán)繞段仿真

為了驗(yàn)證所提魯棒 H∞濾波算法的有效性，以月球探測(cè)環(huán)繞段［4-5］自主導(dǎo)航系統(tǒng)為例，分別利用所提算法與EKF算法對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行濾波估計(jì)，然后分析兩者的計(jì)算結(jié)果.

4.1 仿真條件

導(dǎo)航坐標(biāo)系：月心J2000慣性系.起始時(shí)間：2007.7.1，12：00.結(jié)束時(shí)間：2007.7.2，12：00.軌道初始根數(shù)：

（1）半長(zhǎng)軸：1938km；

（2）離心率：0.001；

（3）軌道傾角：89.5。；

（4）近月點(diǎn)幅角：45。；

（5）升交點(diǎn)赤經(jīng)：45。；

（6）平近點(diǎn)角：0。.

真實(shí)模型：由STK產(chǎn)生，主要考慮的攝動(dòng)加速度包括月球非球形引力攝動(dòng)，地球引力攝動(dòng)，太陽(yáng)引力攝動(dòng)，月球固體潮攝動(dòng)，月球物理天平動(dòng).

濾波模型：僅考慮月心引力.

測(cè)量頻率：30s.

觀測(cè)模型：月心矢量及視半徑.

測(cè)量誤差：0.06。（1σ）.

濾波估計(jì)狀態(tài)變量：探測(cè)器的位置和速度.

濾波算法：魯棒H∞濾波算法.

濾波算法中所用參數(shù)選?。?/p>

矩陣 B=I6×6，I表示單位矩陣.

矩陣 L=I6×6.

矩陣 P=10-8I6×6.

加權(quán)矩陣 Q=10-3I6×6.

4.2 濾波模型

導(dǎo)航濾波方程僅考慮月球重力場(chǎng)中心引力，其它攝動(dòng)項(xiàng)歸入動(dòng)力學(xué)模型誤差［6］.導(dǎo)航濾波器的狀態(tài)包括探測(cè)器在月心赤道慣性系中的位置矢量r=［x y z］T和速度矢量 v=［vxvyvz］T.軌道動(dòng)力學(xué)方程可改寫為如下的狀態(tài)方程，

式中x為狀態(tài)矢量，w為動(dòng)力學(xué)模型誤差，可作為模型噪聲，

在擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）算法中要用到狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣，可如下計(jì)算：

月心引力加速度al對(duì)位置矢量r和速度矢量v的偏導(dǎo)數(shù)分別為

式中，rl表示月球星歷.系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 Φ在忽略高階項(xiàng)的情況下，可采用 Taylor展式計(jì)算得

式中，A表示偏微分矩陣；Δt表示仿真步長(zhǎng).

4.3 觀測(cè)模型

以月心矢量ul作為觀測(cè)量，則測(cè)量方程為

式中，r和rl分別代表探測(cè)器和月球的位置矢量；以月球視半徑θ作為觀測(cè)量，則觀測(cè)方程為

式中，Rm代表月球半徑.

4.4 仿真結(jié)果

圖2與圖3分別給出了魯棒H∞濾波與傳統(tǒng)的EKF算法計(jì)算的位置誤差與速度誤差.

圖2 魯棒H∞濾波與EKF位置誤差比較

圖3 魯棒H∞濾波與EKF速度誤差比較

從圖中可以看出，在相同初始條件的前提下，魯棒H∞的濾波算法的計(jì)算結(jié)果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的EKF濾波算法.

5 結(jié) 論

本文提出一種非線性不確定系統(tǒng)的魯棒H∞濾波方法，該算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，僅需要解算兩個(gè)微分方程（式（2）、（5）），就可將狀態(tài)變量準(zhǔn)確的估算出來(lái)，同時(shí)所提的魯棒H∞濾波算法將模型在線性化過(guò)程中所產(chǎn)生的誤差作為系統(tǒng)的不確定部分，力求將此誤差對(duì)導(dǎo)航精度的影響降至最小，通過(guò)對(duì)月球環(huán)繞段自主導(dǎo)航系統(tǒng)的仿真研究，證實(shí)了所提算法的精度優(yōu)于傳統(tǒng)的EKF算法.

［1］ 秦永元，張洪鉞，汪叔華.卡爾曼濾波與組合導(dǎo)航原理［M］.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2004

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［6］ 劉林，王歆.月球探測(cè)器軌道力學(xué)［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2006

Robust H∞Filter A lgorithm for Non linear Uncertain System

QIAO Guodong1，2，LIKang1，2，ZENG Haibao1，2
（1.Beijing Institute of Control Engineering， Beijing 100190；2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory， Beijing 100190， China）

In light of the effect of linearization on estimation error in EKF filter，a kind of robust H∞filter algorithm for nonlinear uncertain system is proposed.Based on H∞theory， the proposed algorithm is designed.The linearization errors of filter model and measure model are defined as uncertain parts of the system；the robust H∞filter algorithm could m inim ize the effect of uncertain parts on navigation acccuracy.By using Lyapunov method，the stability of proposed algorithm is proven.Both robust H∞filter algorithm and EKF algorithm are utilized to estimate states of the autonomous navigation system in the lunar-rounding phase，the simulation results validate effectiveness of the robust H∞filter algorithm.

Lyapunov stability； nonlinear uncertain system；robust H∞filter；lunar exp loration

V448

A

1674-1579（2011）04-0045-04

10.3969/j.issn.1674-1579.2011.04.009

*國(guó)防基礎(chǔ)科研項(xiàng)目（A0320080019）.

2011-05-28

喬國(guó)棟（1980—），男，山西人，工程師，研究方向?yàn)橹茖?dǎo)、導(dǎo)航與控制（e-mail：qiaoguodong@bice.org.cn）.