劉建軍，陳建新

(1.北京控制工程研究所，北京 100190;2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室，北京 100190)

月球探測是人類進行太陽系空間探測的歷史性開端，大大促進了人類對月球、地球和太陽系的認識，帶動了一系列基礎(chǔ)科學(xué)的創(chuàng)新，促進了一系列應(yīng)用科學(xué)的新發(fā)展.美國與前蘇聯(lián)正是通過月球探測，建立和完善了龐大的航天工業(yè)和技術(shù)體系，有力地帶動和促進了一系列科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展.月球車是一種能夠適應(yīng)月球表面環(huán)境，攜帶各種科學(xué)儀器在月球表面移動，完成探測、采樣等任務(wù)的行星探測機器人，它是我國探月二期工程(實現(xiàn)月球軟著陸及月面巡視勘查)的重要組成部分.月球車的工作環(huán)境極為惡劣，非結(jié)構(gòu)化地形、通訊困難、照明條件不穩(wěn)定、特殊的地質(zhì)條件導(dǎo)致車輪滑轉(zhuǎn)、下陷等等多種因素都對月球車的控制提出了嚴峻的挑戰(zhàn).

Muir等［1］于1986年提出了平面輪式移動機器人的基于坐標變換的通用運動學(xué)建模方法，之后McDermott等［2］對這種方法進行了改進，將其運用到非結(jié)構(gòu)化地形的移動機器人上，引入車輪的轉(zhuǎn)動滑移、側(cè)向滑移和縱向滑移，提出了一種通用的輪式移動機器人運動學(xué)模型建模方法，Grand等［3］根據(jù)矢量方法，針對一種輪腿式移動機器人，提出了一種通用的“靜運動學(xué)”(kineto-static)建模與分析方法，由于該方法中使用矢量來描述剛體運動，因而該方法可以描述相對于坐標轉(zhuǎn)換法更廣的接觸滑動形式，例如不連續(xù)接觸以及接觸變形等等.Hacot等［4］對搖臂懸架式移動機器人的空間力學(xué)模型進行了詳細推導(dǎo)，根據(jù)靜力平衡得到了這種移動機器人的準靜態(tài)模型，根據(jù)這個模型提出了一種以消耗功率最小為目標函數(shù)的牽引優(yōu)化控制方法.Iagnemma等［5］在Hacot的基礎(chǔ)上，引入了地面力學(xué)，提出了一種基于地面力學(xué)的力矩分配控制方法.此外，Lamon等［6］、Waldron 等［7］等也對輪式移動機器人的力矩優(yōu)化控制方法進行了深入的研究.

Hacot、Iagnemma 和 Lamon 等［4-6］的牽引力優(yōu)化控制方法的核心思想是在運動學(xué)、動力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，根據(jù)每個車輪的所受載荷以及驅(qū)動能力合理分配驅(qū)動力矩，協(xié)調(diào)各個車輪的驅(qū)動，以達到優(yōu)化某一項設(shè)計指標的效果.但限于車載計算資源，無法應(yīng)用較為復(fù)雜的控制方法，且某些假設(shè)過于嚴格.本文將冗余自由度機械臂的控制思想應(yīng)用到月球車的控制上，應(yīng)用基于零空間的數(shù)學(xué)方法分解準靜態(tài)平衡方程，簡化系統(tǒng)，并使用基于廣義逆的梯度投影法優(yōu)化牽引控制.

1 月球車運動學(xué)及動力學(xué)分析

本文的月球車采用6輪搖臂懸架式車體結(jié)構(gòu)，如圖1所示.該結(jié)構(gòu)由左右2個單側(cè)搖臂機構(gòu)組成，單側(cè)搖臂機構(gòu)由主搖臂和副搖臂鉸接構(gòu)成，其中主搖臂與后輪和副搖臂相連，副搖臂與中輪和前輪相連，左右2個獨立的單側(cè)搖臂機構(gòu)由橫桿以差動方式將車體懸掛.車體的運動采用6輪獨立驅(qū)動、前后4個角輪獨立轉(zhuǎn)向方式工作，車輪為彈性篩網(wǎng)輪.車體載有一套機械臂系統(tǒng)，用于抓取科學(xué)樣本.車箱上層有2塊太陽能帆板，車廂內(nèi)還有可以展開的桅桿、天線和立體視覺相機.

在運動學(xué)的推導(dǎo)過程中，假設(shè)以下條件成立:

1)車輪及月面無變形;

2)不考慮車輪寬度;

3)車輪與月面的接觸為單點接觸，接觸點位于車輪與月面幾何外形的接觸點上;

4)車輪與地面持續(xù)接觸，即車輪從不離開地面.

首先，定義各個相關(guān)的坐標系:慣性坐標系RW:原點位于月面上某一個定點(出發(fā)點)，x軸在當?shù)厮矫嬷赶驏|方，z軸沿當?shù)卮咕€指天向上，形成右手坐標系;車體坐標系RR:原點為主搖臂差動機構(gòu)橫桿的中心，x軸指向車體前方，y軸指向車體左側(cè)，z軸指向車體上方，形成右手坐標系;輪架坐標系RAi(i=1，2，…，6):原點位于車輪中心，與主、副搖臂固連(i=1，2，4，5 時與副搖臂固連，i=3，6 時與主搖臂固連)，當車體在平坦地面上靜止不動時，各軸與RR平行;接觸坐標系RCi(i=1，2，…6):原點位于各個車輪上的輪地接觸點Ci，x軸沿切線指向車體前方，z軸垂直于切線指向車體上方，形成右手坐標系，x軸與z軸均保持在車輪平面內(nèi)，見圖2.

輪地接觸點Ci位于第i個車輪上，由矢量代數(shù)的基本原理可得

由于

式中，(·)表示相對于慣性系RW的時間導(dǎo)數(shù)，(°)表示相對于車體坐標系RR的時間導(dǎo)數(shù)表示RR相對于RW轉(zhuǎn)動的角速度，即車體的姿態(tài)角速度.

代入式(2)可得

而

式中，(°)表示相對于車體坐標系RR的時間導(dǎo)數(shù)，(△)表示相對于輪架坐標系RAi的時間導(dǎo)數(shù)，Ai表示RAi相對于RR的轉(zhuǎn)動速度.

將式(6)代入式(5)可得

又因為

式中，(△)表示相對于輪架坐標系RAi的時間導(dǎo)數(shù)，(□)表示相對于接觸坐標系RCi的時間導(dǎo)數(shù)，Bi表示RCi相對于RAi的轉(zhuǎn)動速度.

代入式(7)可得

將式(9)表示在車體坐標系RR下，則

式中，R為方向余弦陣，q×為反對稱陣，ey=［010］T.

式中 JAiρ、JAiβ、JAiψ均為系數(shù)矩陣.

同理，接觸坐標系RCi相對于慣性坐標系RW的轉(zhuǎn)動可以得到

寫成矩陣形式，即

將6個車輪的運動學(xué)方程整理成矩陣形式可得

在動力學(xué)模型的推導(dǎo)過程中，假設(shè)以下條件成立:

1)車體質(zhì)心位于差動機構(gòu)中心;

2)車輪與地面接觸為點接觸;

3)忽略主、副搖臂的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量，忽略車輪的質(zhì)量.

限于篇幅，動力學(xué)方程以及下面各節(jié)的推導(dǎo)只能以單側(cè)的搖臂懸架驅(qū)動機構(gòu)為例說明，整車的準靜態(tài)平衡方程以及控制算法的推導(dǎo)方法與其一致，并不影響本文原理的闡述.

設(shè)車體的質(zhì)量為m，主搖臂的轉(zhuǎn)動慣量為I，副搖臂的轉(zhuǎn)動慣量為Ib，車輪的轉(zhuǎn)動慣量為Iw.則系統(tǒng)的動能為

系統(tǒng)的勢能為

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

式中x、z為車體質(zhì)心的水平、垂直位移，φy為車體的俯仰角，β為副搖臂角，θi為車輪轉(zhuǎn)角.由拉格朗日第二方法得到

式中τi為車輪的驅(qū)動力矩，r為車輪半徑，ai和bi分別車體結(jié)構(gòu)參數(shù)和運動狀態(tài)量的函數(shù)，δi為輪地接觸角，F(xiàn)i為車輪的牽引力，Ni為支撐力.輪地接觸角可以參考文獻［8］的方法在線估計得到.

由于車體運動速度較低，則探測車的“準靜態(tài)”平衡方程為

2 基于準靜態(tài)平衡的牽引力優(yōu)化控制

由準靜態(tài)平衡方程的前4行，可得

整理得

取 W1=0，W2=［mg00］T，

則有

整理可得

可得

記

由零空間的知識可得

記

則原方程組可分解為兩部分:

原方程組有6個未知力(Fi、Ni)，而只有4個方程，冗余度為2.支撐力Ni主要是由車體在當前位姿在的重力分量以及牽引力Fi共同作用決定，很難直接對其進行控制，而牽引力Fi在準靜態(tài)時主要由車輪的驅(qū)動力矩τi決定.因此，力矩優(yōu)化可以通過牽引力Fi的優(yōu)化來完成.

由地面力學(xué)可知，當?shù)孛婵梢蕴峁┳銐虼蟮哪Σ習(xí)r，隨著滑轉(zhuǎn)率的增加，牽引力也隨之增大;當牽引力接近或者達到地面所能夠提供的最大牽引力時，隨著滑轉(zhuǎn)率的增加，掛鉤牽引力將不再增大.本文所提出的牽引力優(yōu)化適用于前一階段，即每個車輪還具有一定的牽引能力余量，可以根據(jù)接觸力的分布，優(yōu)化控制輸出.如果處在后一階段，這時的移動系統(tǒng)已經(jīng)達到或接近了最大牽引能力，再增加驅(qū)動的能量，只會降低系統(tǒng)的效率，而無法提升移動系統(tǒng)的牽引性能.

將車輪的牽引力與滑轉(zhuǎn)率的關(guān)系近似為線性，即

式中，ii為滑轉(zhuǎn)率，ei為系數(shù)，ei可以由實驗擬合得到.

寫成矩陣形式為

將式(31)代入式(29)，則

定義牽引系數(shù)為

取

則由梯度法可得

由滑轉(zhuǎn)率的定義得

控制框圖見圖3.

圖3 牽引力優(yōu)化控制示意圖

3 牽引力優(yōu)化控制仿真

本文使用多剛體動力學(xué)軟件ADAMS建立月球車的機械系統(tǒng)模型，用其交互式的圖形環(huán)境和零件庫、約束庫、力庫，創(chuàng)建參數(shù)化的機械系統(tǒng)幾何模型;使用MATLAB建立了運動控制器以及驅(qū)動電機模型;使用ASSTM建立了彈性篩網(wǎng)輪與松軟月壤的相互作用模型，模擬剛性車輪與松軟月壤之間復(fù)雜的運動及力學(xué)關(guān)系.

仿真系統(tǒng)的各個主要參數(shù)如下:環(huán)境重力加速度為1.618 m/s2，車體模型總質(zhì)量約120 kg，3輪車體模型總質(zhì)量約60 kg，主、副搖臂質(zhì)量各約為3 kg，車輪質(zhì)量約為4 kg，車輪半徑約為16cm，輪寬約為20cm，驅(qū)動及轉(zhuǎn)向電機采用 Maxon公司的EC-max 22無刷直流電機，額定轉(zhuǎn)速為7740 r/min，額定連續(xù)輸出力矩為11.9mN·m，驅(qū)動、轉(zhuǎn)向機構(gòu)減速比各為2500和1000，電機控制器采用獨立的PID控制器.由于目前國內(nèi)外文獻中都關(guān)月壤機械特性的研究比較少，難以滿足軟土動力學(xué)軟件ASSTM對土壤參數(shù)的需求，故而仿真中的月壤使用ASSTM本身提供的一種松軟土質(zhì)代替.

為了對優(yōu)化的效果進行比較，下面將牽引力優(yōu)化控制與基于運動學(xué)分解的PID控制、FIDO漫游車的速率同步控制進行仿真比較，控制周期均為0.001s，仿真結(jié)果見圖4～6.

圖4 PID速度控制仿真結(jié)果

3組仿真結(jié)果顯示，PID控制過程較為平穩(wěn)，但存在穩(wěn)態(tài)誤差，且通過積分參數(shù)的調(diào)節(jié)難以消除，這主要是由于車輪打滑所引起的累積誤差所致.速率同步控制算法稍好一些，基本沒有穩(wěn)態(tài)誤差，過度過程與PID控制相當.本文所提出的算法穩(wěn)態(tài)誤差也比較小，而且調(diào)節(jié)時間比前兩個算法更短，這主要是由于該算法對牽引力進行了優(yōu)化，這個從各個車輪的滑轉(zhuǎn)率分布就可以看出.牽引力優(yōu)化算法更大程度的發(fā)揮了電機的牽引能力，因而具有更強的引動性能.

4 結(jié)論

本文根據(jù)非結(jié)構(gòu)化環(huán)境且輪地之間存在滑移的6輪搖臂懸架月球車的結(jié)構(gòu)特點，對其進行了運動學(xué)以及動力學(xué)的分析，并根據(jù)其準靜態(tài)平衡方程的特點，通過零空間優(yōu)化的思想對月球車的力矩進行優(yōu)化配置.通過與基于運動學(xué)分解的PID控制和速率同步控制兩種著名的行星車控制方法進行比較，驗證了本文所提出的方法的有效性.本文所提出的牽引力優(yōu)化方法也適用于其他具有冗余自由度的輪式移動機器人.

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