任 芳

(福建船政交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，福建 福州 350007)

Regular范疇研究

任 芳

(福建船政交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，福建 福州 350007)

首先證明了Abel范疇是Regular范疇，然后證明了Regular范疇關(guān)于任意小范疇的函子范疇仍是Regular范疇。

Abel范疇； Regular范疇；Regular滿態(tài)射；函子范疇

Abel范疇是一類性質(zhì)較好的范疇，從范疇論產(chǎn)生至今，一直是諸多數(shù)學(xué)工作者致力研究的對(duì)象。H.Bass給出了Abel范疇等價(jià)于模范疇等的充要刻畫[1]，N.Popescu則從一般環(huán)模理論的研究提升至Abel范疇，并給出豐富的應(yīng)用[2]。粗略地說，Regular范疇是去掉加性而具有類Abel范疇正合結(jié)構(gòu)的一類范疇，文獻(xiàn)[3-5]對(duì)Regular范疇進(jìn)行細(xì)致地研究與刻畫。

擴(kuò)張的研究歷來是代數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)問題。函子范疇是范疇的一種擴(kuò)張形式，諸多范疇經(jīng)過函子范疇形式擴(kuò)張之后具有原來不具備的良好性質(zhì)。 P.Freyd、B.Mitchell等對(duì)預(yù)加范疇關(guān)于Abel群范疇的函子范疇的擴(kuò)張進(jìn)行細(xì)致而深入地研究，并給出該函子范疇的結(jié)構(gòu)刻畫與諸多同調(diào)性質(zhì)[6-8]。 A.Neeman進(jìn)一步將函子范疇的研究推向三角范疇層面，發(fā)展出以函子和函子范疇擴(kuò)張方式研究三角范疇的研究方法[9]。下面，筆者基于擴(kuò)張的思想，結(jié)合性質(zhì)保持問題對(duì)Regular范疇展開研究。

1 相關(guān)概念及性質(zhì)

定義1設(shè)A為一范疇，若一滿態(tài)射為一對(duì)態(tài)射的差余核，則稱該態(tài)射為Regular滿態(tài)射。在Regular范疇中，以如下記號(hào)表示Regular滿態(tài)射：

①一般地，拉回保持單態(tài)射，然而推出卻不保持滿態(tài)射；②核對(duì)中的態(tài)射α,β均為滿態(tài)射；③容易證明如下命題等價(jià)：(i)態(tài)f為單態(tài)射；(ii)態(tài)射f的核對(duì)存在，且為(A,1A,1A)；(iii)態(tài)射f的核對(duì)存在，且有α=β。

定義3一個(gè)范疇稱為Regular范疇當(dāng)且僅當(dāng)其滿足以下條件：①每一個(gè)態(tài)射有核對(duì)；②每一個(gè)核對(duì)有差余核；③每一個(gè)Regular滿態(tài)射關(guān)于任意態(tài)射的拉回仍是Regular滿態(tài)射。

2 Regular范疇與Abel范疇

引理1差余核是其核對(duì)的差余核，核對(duì)的差余核是該差余核的核對(duì)。

證明只證明第1個(gè)命題，第2個(gè)命題類似可證。設(shè)態(tài)射f:A→B為態(tài)射對(duì)α,β:X→A的差余核，

考察如下交換圖：

由核對(duì)的泛性知，存在唯一的態(tài)射z:X→P使得如上交換圖可交換。

定理1Abel范疇是Regular范疇。

證明記A為一Abel范疇，任取一態(tài)射f，考慮如下態(tài)射的交換圖：

最后證明拉回保持Regular滿態(tài)射。考察下述拉回圖：

再據(jù)推出的等價(jià)定義知

為推出圖。由Abel范疇的推出的性質(zhì)，有Cokerf=Cokerf′(同構(gòu))。故f′亦為滿態(tài)射。

因?yàn)閼B(tài)射f′具有核對(duì)，據(jù)引理1，有f′為Regular滿態(tài)射。此即說明Regular滿態(tài)射在拉回意義下是穩(wěn)定的。

3 Regular范疇的函子范疇

定理2Regular范疇的函子范疇仍是Regular范疇。

證明記A為一Regular范疇，C為一小范疇。考察函子范疇Fun(C,A)，任取一自然變換σ:F→G，對(duì)于任意的態(tài)射f:A→B，考察如下交換圖：

由于A為Regular范疇，故對(duì)于每一個(gè)對(duì)象A∈A，σA:F(A)→G(A)有核對(duì)。

定義P:C→A，其中P(A)為σA:F(A)→G(A)對(duì)應(yīng)的核對(duì)對(duì)象；對(duì)任意態(tài)射f:A→B，由于σBF(f)αA=G(f)σAβA=σBF(f)βA,據(jù)核對(duì)的定義知存在唯一的態(tài)射P(f)，使得上述態(tài)射圖可交換。容易驗(yàn)證α={αA}A∈A,β={βA}A∈A為自然變換。故每一個(gè)自然變換具有核對(duì)。

不難類似證明每一個(gè)自然變換的核對(duì)具有差余核。最后證明拉回保持Regular滿自然變換。為此，考慮Regular滿自然變換σ:F→G與任意自然變換構(gòu)成的拉回：

由于σ:F→G為Regular滿自然變換，其是某一自然變換的差余核，據(jù)引理1知，σ:F→G為其核對(duì)υ,ω:K→F的差余核。由于范疇A為Regular范疇，故對(duì)于每一個(gè)對(duì)象A∈A，態(tài)射βA：P(A)→H(A)。為某一態(tài)射對(duì)的差余核。再據(jù)引理1知，βA：P(A)→H(A)為其核對(duì)φ，φ：E(A)→P(A)的差余核。由于βBP(f)φA=H(f)βAφA=βBP(f)φA，故存在唯一的態(tài)射E(f)使得φBE(f)=P(f)φA，φBE(f)=P(f)φA。于是可以定義一個(gè)函子E:C→A，與自然變換φ={φA}A∈A，φ={φA}A∈A使得自然變換β:P→H。 為Regular滿自然變換，至此定理2證畢。

[1]Bass H.Algebraic K-Theory[M].New York：Benjamin，1998.

[2]Popescu N.Abelian Categories with Applilcations to Rings and Modules[M].London & New York: Academic Press, 1973.

[3]Carboni A, Vitale E M.Regular and exact completions[J].J Pure Appl Alg, 1998，125:79-116.

[4]Lack S.A note on the exact completion of a Regular category and its infinitary generlizations[J].Theory and Applications of Categories, 1999, 5(3):70-80.

[5] Meisen J.Pullbacks in regualr categories[J].Canad Math Bull, 1973, 16(2): 251-255.

[6]Freyd P.Abelian Categories[M].New York: Harper and Row, 1964.

[7]Freyd P.Functor Categories and Their Application to Relative Homology[M].New York: Columbia University, 1962.

[8]Mitchell B.Rings with several objects[J].Adv Math, 1972, 8:1-161.

[9]Neeman A.Triangulated Categories.Annals of Mathematics Studies[M].Princeton:Princeton University Press, 2001.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.12.007

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1673-1409(2011)12-0016-03