王小強(qiáng)

(遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,遼寧 錦州 121000)

導(dǎo)函數(shù)極限和連續(xù)的特殊性及其應(yīng)用

王小強(qiáng)

(遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,遼寧 錦州 121000)

導(dǎo)函數(shù)的極限和導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，有著一般函數(shù)所不具備的特點(diǎn)。應(yīng)用這些特點(diǎn)去研究和計(jì)算導(dǎo)數(shù)問題比用普通方法有著許多便利之處。對導(dǎo)函數(shù)的極限和導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性特點(diǎn)和應(yīng)用給予了闡述和證明。

導(dǎo)函數(shù)；極限；連續(xù)

定理1還能說明：在滿足函數(shù)f(x)在鄰域U(x0,δ)內(nèi)連續(xù)，且在鄰域U(x0-δ,x0)及U(x0,x0+δ)內(nèi)分別可導(dǎo)的條件下，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點(diǎn)x0處只要存在極限，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)在該點(diǎn)處必然連續(xù)；反之，如果導(dǎo)函數(shù)f′(x)在一點(diǎn)連續(xù)，那么導(dǎo)函數(shù)f′(x)在該點(diǎn)處也必然存在極限。

推論1函數(shù)f(x)在鄰域U(x0,δ)內(nèi)連續(xù)，且在鄰域U(x0-δ,x0)及U(x0,x0+δ)內(nèi)分別可導(dǎo)，且f′(x)在點(diǎn)x0處極限存在是f′(x)在該點(diǎn)處連續(xù)的充要條件。

推論2函數(shù)f(x)在鄰域U(x0,δ)內(nèi)連續(xù)，且在鄰域U(x0-δ,x0)及U(x0,x0+δ)內(nèi)分別可導(dǎo)的條件下，導(dǎo)函數(shù)f′(x)只能存在跳躍型間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)。

以上各個命題和推論中的結(jié)論在一般的函數(shù)上肯定是不成立的。因此這些都是導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)。而且通過以上2個例子可以看到利用這些特點(diǎn)來研究和計(jì)算導(dǎo)數(shù)問題的便利之處。

定理2設(shè)函數(shù)f(x)在鄰域U(x0,δ)內(nèi)連續(xù)，且在鄰域U(x0-δ,x0)及U(x0,x0+δ)內(nèi)分別可導(dǎo)，且點(diǎn)x=x0是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的跳躍型間斷點(diǎn)，則f(x)在點(diǎn)x=x0處必不可導(dǎo)。

例4是在導(dǎo)函數(shù)f′(x)間斷點(diǎn)x=x0處f′(x0)存在的典型例子。在函數(shù)f(x)在鄰域U(x0,δ)內(nèi)連續(xù)，且在鄰域U(x0-δ,x0)及U(x0,x0+δ)內(nèi)分別可導(dǎo)的條件下下，只有在f′(x) 的第二類間斷點(diǎn)處才可能出現(xiàn)這種情況。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]王學(xué)理，孔慶海.高等數(shù)學(xué)全析全解[M].沈陽：東北大學(xué)出版社，2011.

[3]李正元.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)[M].北京：國家行政學(xué)院出版社，2008.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.12.005

O175.1

A

1673-1409(2011)12-0012-02