宋 濤 桂海蓮 周存龍

(太原科技大學機電學院，陜西 030024)

中厚板在塑性彎曲時，一般以應變中性層為分界，認為外層受拉，內(nèi)層受壓，使得中性層向內(nèi)移動。在實際應用過程中，雖然許多文獻都指出了應力中性層和應變中性層是內(nèi)移的，但關于應力中性層和應變中性層內(nèi)移量的大小，至今還認識不清。深入的探討中性層，對正確計算彎曲變形中的應力、應變及進一步認識中厚板矯直機理有一定的理論意義。中厚板在彎曲時，在材料截面上，有3 條中線:一條是幾何中心線，位于斷面的二分之一處;一條是應變中性層，指沿著纖維方向應變?yōu)榱愕闹行詫?一條是應力中性層，是指切向應力為零的一層纖維層。很多文獻都認為中厚板在彈塑性變形過程中應力中性層和應變中性層向內(nèi)移動，同時應力中性層和應變中性層是不重合的，并且用傳統(tǒng)理論求得的應力中性層是不連續(xù)的。但中厚板在彎曲量不大時，雖然材料發(fā)生了塑性變形，但材料本身仍然是一個連續(xù)體，應力變化不應該產(chǎn)生階躍現(xiàn)象，應該仍然是一個連續(xù)函數(shù)［1，2］，那么中厚板必然存在一個切向應力σ0=0 的應力中性層。本文通過對中厚板彈塑性彎曲應力的分析，對彈性區(qū)和塑性區(qū)分開處理，并利用mises 屈服準則及屈服應力呈線性變化來求解應力中性層。

1 中厚板彎曲后屈服應力呈線性變化時應力中性層求解

1.1 三點假設

在中厚板彎曲過程中，隨著力矩的增大由于材料的線性硬化，使得中間是彈性區(qū)，兩邊是塑性區(qū)，為了推導公式方便，假設:

(1)中厚板在彎曲時的切向應變的硬化效果與材料單向拉深和壓縮的效果相同。由于中厚板彎曲時，彎矩量不是很大，上下表面的塑性層向里延伸的不深，為方便計算，以近似直線代表塑性層屈服應力的變化。

(2)中厚板彎曲時變形區(qū)仍為平面，符合平截面假設。

(3)中厚板彎曲后，厚度方向的改變很小，認為厚度方向沒有變化。

1.2 求解中厚板彎曲時應力中性層的方程建立

對厚度為t 的中厚板兩邊加上彎矩M 后(如圖1)，板料開始彎曲。板料分成塑性層和彈性層，計算應力中性層時先分別計算中厚板彈性區(qū)和塑性區(qū)應力，最后聯(lián)立求得待定系數(shù)來求解。

(1)對于材料進入到屈服時，中厚板只是上下表面進入塑性屈服狀態(tài)，而中間仍是彈性狀態(tài)時，則利用微分體平衡方程和協(xié)調(diào)方程［3］有:

式中 σr——中厚板彎曲時徑向應力;

σθ——中厚板彎曲時切向應力;

ρ——彎曲半徑;

A、B、C——為待定系數(shù)。

用Mises 屈服準則可得出，在彎曲時下表面處最先屈服，然后塑性層由上下表面迅速向里延伸。

(2)中厚板進入屈服后，中間為彈塑區(qū)，而上下表面為塑性區(qū)(如圖1)，上下表面的塑性區(qū)在e1和e2分界。在塑性區(qū)，為簡化計算，根據(jù)假設中厚板線性硬化時的屈服應力［4，5］:

式中 σ0——板料在彎曲時大變形段近似直線在縱坐標的截距;

E——板料在彎曲時大變形段近似直線的硬化模量;

ε——真實應變。

圖1 中厚板彎曲后切向應力分布Figure 1 Distribution of tangential stress after medium and heavy plate bending

在塑性區(qū)取微分體后，有平衡方程

塑性區(qū)的邊界條件σθ|ρ=e2=σ0，σθ|ρ=e1=－σ0，σr|ρ=a=0，σr|ρ=b=0

聯(lián)立式(3)、式(4)、式(5)和塑性層的邊界條件，可以解得上表面拉伸塑性區(qū)的切向應力為:

下表面壓縮塑性區(qū)的切向應力為:

(3)同時聯(lián)立彈性區(qū)和塑性區(qū)的徑向力和切向力以及以下的邊界條件和平衡條件=0，σθ|ρ=e2=σ0，σθ|ρ=e1=－σ0，有

聯(lián)立式(10)、式(11)、式(12)可以解得彈性區(qū)σθ的待定系數(shù)。令σθ=0，這樣可以得到應力中性層的位置，其中m=

2 結論

通過上述討論，可以得到以下結論:

(1)應力中性層的位置與中厚板中心層的位置之差隨著彎矩的增大而增大。

(2)從中性層的公式可以看出，影響中厚板中性層位置的主要因素是a、b、t 等，彎曲后的形狀直接影響甚至決定了中性層的位置。這主要是中厚板彎曲后為了方便計算，運用常用的平截面假設，這樣中厚板截面形狀由變形前的長方形截面變成了彎曲后的規(guī)則的扇形截面。這與實際中厚板彈塑性彎曲時是有差別的，這樣運算的結果也極大的影響了應力中性層位置的準確性。

(3)根據(jù)彈性區(qū)和塑性區(qū)的徑向應力計算結果可以得出內(nèi)層和外層應力分布是根本不對稱的，這也是導致了應力中性層內(nèi)移的直接原因。

(4)根據(jù)中厚板彎曲時的力矩和形狀，基本可確定中厚板彎曲后的撓度，那么應力中性層的位置也就確定。應力中性層的偏移相對于中厚板板厚來說不是很大，如果不是精確計算，可以不考慮。

［1］肖景容，姜奎華.沖壓工藝學.北京:機械工業(yè)出版社，1994.

［2］官英平.中性層內(nèi)移對彎曲回彈的影響［J］.鍛壓技術，2007，32(2):26－28.

［3］劉鴻文.材料力學.2.下冊.北京:高等教育出版社，1991.

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