于亞杰，趙英志，張?jiān)氯A

(河北省第二測(cè)繪院，河北石家莊050031)

基于橢球膨脹法實(shí)現(xiàn)獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)的建立

于亞杰，趙英志，張?jiān)氯A

(河北省第二測(cè)繪院，河北石家莊050031)

針對(duì)平面控制測(cè)量投影變形的兩個(gè)主要因素以及它們之間的關(guān)系，闡述建立獨(dú)立坐標(biāo)系的方法，介紹投影面變換方法中的橢球膨脹法。同時(shí)結(jié)合實(shí)際工程項(xiàng)目，介紹通過(guò)TGO軟件利用上述方法建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系的操作步驟。

獨(dú)立坐標(biāo)系;坐標(biāo)系統(tǒng)管理器;橢球膨脹法;當(dāng)?shù)攸c(diǎn)設(shè)置;投影面變換;TGO

一、引 言

在工程測(cè)量和城市測(cè)量中，由于作業(yè)區(qū)域可能位于投影帶的邊緣，并且測(cè)區(qū)平均高程還可能與國(guó)家大地基準(zhǔn)的參考橢球面有較大差距，為了控制長(zhǎng)度變形≤2.5 cm/km［1］，就需要建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系。利用高程歸化和高斯投影對(duì)于控制網(wǎng)邊長(zhǎng)的影響具有前者縮短和后者延長(zhǎng)的特點(diǎn)，如果兩者不能完全抵償而允許有一個(gè)殘余的差數(shù)VS，則其相對(duì)差數(shù)為

由式(1)可知，由于高程歸化投影變形與高斯投影變形符號(hào)相反，所以在一定的區(qū)域內(nèi)，兩種變形可以相互抵償，這就需要采用一種行之有效的辦法，即建立獨(dú)立坐標(biāo)系。

二、獨(dú)立坐標(biāo)系的建立方法

一般的，根據(jù)式(1)的計(jì)算，當(dāng) ym值不小于45 km或 Hm在 160 m以下時(shí)，投影變形值小于2.5 cm/km。對(duì)于投影變形超限的測(cè)區(qū)，根據(jù)地理位置和平均高程獨(dú)立坐標(biāo)系的建立方法一般有3種:選擇合適的中央子午線(xiàn)(即改變ym以抵償由高程面的邊長(zhǎng)歸算到參考橢球面上的投影變形)，選擇合適的投影面(即改變Hm以抵償由高程歸化引起的變形)和兩者均選定。建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系有3個(gè)必要參數(shù):中央子午線(xiàn)、投影面及地方坐標(biāo)系參考橢球。通過(guò)對(duì)地方坐標(biāo)系參考橢球幾何元素、定位及定向的確定，使得橢球面與投影面擬合最好，這樣投影變形可以減到最小，同時(shí)要求便于與國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行換算。

三、投影面變換的方法——橢球膨脹法

橢球膨脹法的基本思想是保持參考橢球的定位和定向不變，對(duì)橢球進(jìn)行縮放，使得經(jīng)過(guò)縮放之后的參考橢球的橢球面與獨(dú)立坐標(biāo)系所選定的平面相切，在切點(diǎn)處，兩橢球的法線(xiàn)重合。要滿(mǎn)足上述縮放條件，新橢球的長(zhǎng)半軸 a1和扁率 α1分別為［2］

式(2)、式(3)中，N為卯酉圈曲率半徑;B為大地緯度;H為投影面大地高;e為原橢球的第一偏心率。通常，采用膨脹后橢球與原橢球的中心保持不變，方向保持不變，橢球扁率保持不變(即da=0)。這種觀點(diǎn)易于實(shí)現(xiàn)，而且能保證成果精度滿(mǎn)足要求。橢球膨脹法有多種方法實(shí)現(xiàn)不同投影面的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，在工程實(shí)踐中多采用如下3種方法［3-4］:

1)橢球長(zhǎng)半徑的改正量為投影面大地高H(da=H)。

2)投影面的大地高H等于卯酉曲率半徑N的變化量(ΔN=H)，又由

得出

3)以基點(diǎn)上參考橢球的平均曲率半徑的變化值求出橢球長(zhǎng)半徑的改正值。設(shè)R0為測(cè)區(qū)中心在國(guó)家參考橢球下的平均曲率半徑，R'0為獨(dú)立橢球下的平均曲率半徑，又根據(jù)平均曲率半徑公式

得到

即

四、換算方法

由莫洛金斯基公式可求得國(guó)家控制點(diǎn)的大地坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到獨(dú)立坐標(biāo)系中的計(jì)算公式為［5］

式中，

其中，M為國(guó)家參考橢球子午曲率半徑。由此實(shí)現(xiàn)橢球膨脹法的算法流程為:首先確定項(xiàng)目中心區(qū)域的B和L;其次確定高程異常ζ，與投影高程面的正常高相加，進(jìn)而確定投影面的大地高H;然后再將投影面大地高按上述3種方法的其中一個(gè)進(jìn)行計(jì)算，得到地方參考橢球的長(zhǎng)半徑a，將已知控制點(diǎn)在國(guó)家坐標(biāo)系下的平面坐標(biāo)進(jìn)行高斯反算得到其大地坐標(biāo);由式(9)計(jì)算ΔB，從而得到在地方獨(dú)立坐標(biāo)系中的大地坐標(biāo);最后根據(jù)地方參考橢球的橢球參數(shù)，進(jìn)行高斯投影正算。

五、采用TGO軟件實(shí)現(xiàn)獨(dú)立坐標(biāo)系的建立

某山區(qū)平均緯度為40°47'，測(cè)區(qū)平均高程為300 m，平均高程異常為17 m。測(cè)區(qū)已有1980西安坐標(biāo)系(117°)起算點(diǎn) 4個(gè)。現(xiàn)以中央子午線(xiàn)118°30'、測(cè)區(qū)平均緯度及平均高程面建立地方獨(dú)立坐標(biāo)系?？刂凭W(wǎng)中起算點(diǎn)成果如表1所示。

表1 起算點(diǎn)國(guó)家坐標(biāo)系成果表(1980西安坐標(biāo)系，中央子午線(xiàn)117°)

1)a1=a+H，得到獨(dú)立參考橢球長(zhǎng)半軸為6 378 457 m。過(guò)程如下:

打開(kāi)TGO坐標(biāo)系統(tǒng)管理器，新建地方獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)DF1-118.30，即橢球長(zhǎng)半軸為6 378 457 m，扁率不變，中央子午線(xiàn)設(shè)置為118°30'，中心緯度為0，縱軸加常數(shù)為0，橫軸加常數(shù)為500 000，尺度比為1。然后打開(kāi)國(guó)家坐標(biāo)系二維約束平差控制網(wǎng)項(xiàng)目，將坐標(biāo)系統(tǒng)改變?yōu)镈F1-118.30，此時(shí)，各點(diǎn)的平面成果已是該地方獨(dú)立坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。各起算點(diǎn)地方獨(dú)立坐標(biāo)系成果如表2所示。

表2 獨(dú)立坐標(biāo)系成果(橢球長(zhǎng)半徑改正量為投影面大地高，a1=6 378 457 m)

2)投影面的大地高H等于卯酉曲率半徑N的變化量。計(jì)算公式通過(guò)VB或Excel可輕松實(shí)現(xiàn)，以Excel為例，計(jì)算情況如表3所示。

表3 橢球膨脹法2中曲率半徑變化量的計(jì)算過(guò)程

可知獨(dú)立參考橢球長(zhǎng)半軸為6 378 456.547 m。打開(kāi)TGO坐標(biāo)系統(tǒng)管理器，新建地方獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)DF2-118.30，橢球長(zhǎng)半軸為6 378 456.547 m，其余項(xiàng)設(shè)置及操作方法同方法1)。各起算點(diǎn)按方法2)計(jì)算出的獨(dú)立坐標(biāo)系成果如表4所示。

表4 獨(dú)立坐標(biāo)系成果(投影面的大地高H等于卯酉曲率半徑N的變化量，a1=6 378 456.547 m)

3)以基點(diǎn)上參考橢球的平均曲率半徑的變化值求出橢球長(zhǎng)半徑的改正值，利用Excel進(jìn)行橢球膨脹法3)計(jì)算的計(jì)算過(guò)程如表5所示。

表5 橢球膨脹法3的計(jì)算過(guò)程

可知獨(dú)立參考橢球長(zhǎng)半軸為6 378 457.159 m。打開(kāi)TGO坐標(biāo)系統(tǒng)管理器，新建地方獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)DF3-118.30，橢球長(zhǎng)半軸為6 378 457.159 m，其余項(xiàng)設(shè)置及操作方法同方法1)、方法2)?？傻酶髌鹚泓c(diǎn)按方法3)計(jì)算出的獨(dú)立坐標(biāo)系成果如表6所示。

表6 獨(dú)立坐標(biāo)系成果

4)通過(guò)TGO中的當(dāng)?shù)攸c(diǎn)設(shè)置來(lái)實(shí)現(xiàn)。以橢球膨脹法3為例新建項(xiàng)目，將項(xiàng)目屬性由默認(rèn)改為1980西安坐標(biāo)系(XIAN80-117)，然后點(diǎn)擊當(dāng)?shù)攸c(diǎn)設(shè)置，如圖1所示。

圖1 當(dāng)?shù)攸c(diǎn)設(shè)置界面

高度為317.159 m，即橢球長(zhǎng)半軸變化量(根據(jù)選擇膨脹法不同，數(shù)值不同)，選擇使用地面坐標(biāo)和用投影位置計(jì)算比例尺選項(xiàng)。將表6中的地方橢球大地坐標(biāo)導(dǎo)入到項(xiàng)目中，得到的網(wǎng)格坐標(biāo)即為獨(dú)立坐標(biāo)系平面坐標(biāo)，如表7所示。

可見(jiàn)，方法4)與方法3)的結(jié)果一致。對(duì)控制網(wǎng)進(jìn)行無(wú)約束平差后，以表7坐標(biāo)為起算數(shù)據(jù)，在該獨(dú)立坐標(biāo)系的基準(zhǔn)下進(jìn)行平差計(jì)算，就得到了控制網(wǎng)獨(dú)立坐標(biāo)系成果。

表7 獨(dú)立坐標(biāo)成果(采用當(dāng)?shù)攸c(diǎn)設(shè)置并基于方法3)的地方橢球，a1=6 378 457.159 m)

六、結(jié) 論

1)橢球膨脹法其實(shí)是不同基準(zhǔn)間的轉(zhuǎn)換，雖然投影時(shí)的橢球參數(shù)與國(guó)家參考橢球的參數(shù)有所差異，但經(jīng)投影后所得平面坐標(biāo)在數(shù)值上與國(guó)家參考橢球的橢球面上的平面指標(biāo)接近，兩者有著較嚴(yán)密的換算關(guān)系，易實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換。ΔΒ與da有關(guān)，采用3種方法計(jì)算da會(huì)有3種不同值，則ΔB亦有3種成果，每一種橢球膨脹法采用上述的兩種計(jì)算方式所得結(jié)果是一致的。3種橢球膨脹法計(jì)算的坐標(biāo)值雖然不同，但在坐標(biāo)間的相對(duì)關(guān)系上是基本一致的。

2)在建立獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)時(shí)，投影帶和投影面的選擇尤為重要。對(duì)于平坦的測(cè)區(qū)，距國(guó)家3°帶中央子午線(xiàn)小于45 km的測(cè)區(qū)，投影面一般可選平均高程面;否則應(yīng)選取抵償高程面。如果測(cè)區(qū)高程起伏相較大，可通過(guò)變換中央子午線(xiàn)位置與投影面高程值來(lái)實(shí)現(xiàn)，或是分帶計(jì)算(多見(jiàn)于線(xiàn)狀工程測(cè)量)。

3)通過(guò)對(duì)TGO中的坐標(biāo)管理器及當(dāng)?shù)攸c(diǎn)設(shè)置的操作，可以很好地解決投影面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問(wèn)題，更方便建立獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)。

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The Establishment of Independent Coordinate System Based on the Ellipsoid Expansion Method

YU Yajie，ZHAO Yingzhi，ZHANG Yuehua

0494-0911(2011)12-0033-04

P226

B

2011-11-04

于亞杰(1982—)，男，河北保定人，工程師，主要從事控制測(cè)量方面的工作。