王榮偉，高正紅

(西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，陜西西安 710072)

0 前言

隨著計算機技術(shù)和計算流體力學(xué)(Computational Fluid Dynamics，CFD)的迅速發(fā)展，使得借助數(shù)值方法進行飛機的優(yōu)化設(shè)計成為可能。傳統(tǒng)的單目標(biāo)設(shè)計已經(jīng)不能滿足對性能的要求，氣動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計［1］概念被提出。飛機的氣動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中目標(biāo)函數(shù)(氣動計算)涉及流場分離等物理現(xiàn)象是一個非線性多峰值的復(fù)雜問題，且在優(yōu)化過程中需要大量的調(diào)用氣動計算模塊求解耗時，為縮短優(yōu)化時間提高優(yōu)化效果，應(yīng)選擇收斂速度快調(diào)用目標(biāo)次數(shù)少的優(yōu)化算法，現(xiàn)有研究對氣動問題中的優(yōu)化算法的選擇分析較少，因此如何合理選擇搜索能力高的全局優(yōu)化算法成為本文研究的一個重要方面。本文針對氣動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中優(yōu)化方法的選擇做了以下幾點研究:

(1)針對現(xiàn)有常用的多目標(biāo)優(yōu)化算法，進行了性能測試，分析了各種算法的搜索能力及適用性。

(2)針對氣動多目標(biāo)優(yōu)化問題的特性，選擇適用的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法，通過翼型多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題，驗證方法的可行性以及進一步需要解決和發(fā)展的問題。

1 多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)描述

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化概念

最優(yōu)化目標(biāo)如下［2］:

這里x表示決策向量，y表示目標(biāo)向量，X表示決策向量形成的決策空間，Y是目標(biāo)向量形成的目標(biāo)空間，約束e(x)≤0確定了可行解。

1.2 多目標(biāo)優(yōu)化處理方法

(1)基于Pareto解的多目標(biāo)優(yōu)化

Pareto優(yōu)勝關(guān)系:

對于任意兩個決策向量a和b，

a?b(a優(yōu)于b):當(dāng)且僅當(dāng)f(a)＞f(b)(決策向量a對應(yīng)的若干目標(biāo)適應(yīng)值均優(yōu)于決策向量b);

a≥b(a弱優(yōu)于b):當(dāng)且僅當(dāng)f(a)≥f(b)(決策向量a對應(yīng)的若干目標(biāo)適應(yīng)值均等于或優(yōu)于決策向量b);

a～b(a無差別于b):當(dāng)且僅當(dāng)f(a)與f(b)無法比較。

·多目標(biāo)遺傳算法(MOGA和MOGAII)

·非劣分類遺傳算法(NSGA和NSGAII)

·強度Pareto進化算法(SPEA)

·基于EPSION支配關(guān)系的MOGA算法(下面簡稱EPS)

(2)新型算法

·粒子群算法

1.3 基于Pareto解的多目標(biāo)進化算法關(guān)鍵理論

適應(yīng)度分配，選擇機制，多樣性保持是多目標(biāo)優(yōu)化算法的關(guān)鍵理論，算法優(yōu)化的最終目的是為多，快，好的尋找到最優(yōu)解，因此判斷多目標(biāo)優(yōu)化算法的性能應(yīng)該從三方面分析:即算法的收斂性及收斂速度，解的多樣性，解的均勻性。

2 典型多目標(biāo)搜索算法評估分析

傳統(tǒng)的基于Pareto的搜索算法像遺傳算法，進化規(guī)則，進化策略等都是模擬自然界遺傳和進化過程，仿效基因，染色體等物質(zhì)表達方式，遵循達爾文“物競天擇，適者生存”的選擇機理，使隨機生成的初始解通過選擇復(fù)制，交叉和變異等遺傳操作不斷得到迭代進化，并逐步逼近最優(yōu)解。不同的是遺傳算法交叉為主，進化規(guī)則無交叉，進化策略變異為主。

2.1 多目標(biāo)遺傳算法(MOGAII)［3］

MOGAII算法首先根據(jù)個體的非劣關(guān)系進行排序，然后按通常的線性插值的方法指派適應(yīng)度，對等級相同的個體，平均它們的適應(yīng)度，以使它們以相同的概率被選擇。采用共享函數(shù)與小生境技術(shù)來提高種群的多樣性，通過非劣最優(yōu)域的大小與種群規(guī)模來確定共享半徑或小生境參數(shù)。

2.2 非劣分類遺傳算法(NSGAII)［4］

NSGAII基于對多目標(biāo)解群體進行逐層分類，按解個體的非劣關(guān)系進行排序。在對個體進行排序之后，找到的非劣解點被賦予了一個假設(shè)適應(yīng)度值，他們作為第一批非劣前端，根據(jù)假設(shè)適應(yīng)度值進行復(fù)制。算法采用基于決策向量的共享函數(shù)法來保持種群的多樣性。根據(jù)產(chǎn)生的各種非劣前端，采用更好的記賬策略，從而減少了算法運行的整體時間。

2.3 強度Pareto進化算法(The Strength Pareto Evolutionary Algorithm，SPEA)［5］

SPEA算法個體的適應(yīng)值由外部種群中優(yōu)于該個體的數(shù)目決定，根據(jù)適應(yīng)值進行排序。采用基于目標(biāo)向量的小生境技術(shù)保持種群多樣性。增加了一個附屬的外部種群，用于存儲找到的所有非劣解，使用聚類技術(shù)保證外部種群的規(guī)模不超過規(guī)定大小，外部種群的所有個體參與選擇。

2.4 基于EPSION支配關(guān)系的MOGA算法(下面簡稱 EPS)［6］

基于EPSILON支配方法的MOEA算法，僅在個體的適應(yīng)值分配上與原始的MOGA算法有區(qū)別，表現(xiàn)在先比較新個體與存檔個體的目標(biāo)向量值，若優(yōu)則替換存檔個體，否則比較目標(biāo)值，如無法比較再比較個體目標(biāo)值距目標(biāo)向量值之間的距離。該算法引入一定的偏好信息，能更好得保存下用戶需要的非支配解。但算法很大程度上依賴支配關(guān)系的選擇，并不能找到完全的Pareto前緣解。

2.5 粒子群優(yōu)化算法［7］

粒子群算法(PSO)是一種新興的群智優(yōu)化算法，源于對鳥群捕食的行為研究。系統(tǒng)初始化為一組隨機解，通過迭代搜尋最優(yōu)值，并沒有遺傳算法用到的交叉以及變異操作算子，而是粒子在解空間追隨最優(yōu)粒子進行搜索。在該算法中，群體中的每個個體都能根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)和所獲得的信息，調(diào)整自己的下一步行為，從而使整個群體表現(xiàn)出一定的智能性。

表1 測試函數(shù)Table 1 Multi-objective test functions

3 算法函數(shù)測試

為了驗證各算法針對不同函數(shù)優(yōu)化的穩(wěn)定性和快速性，本文中主要進行了以下函數(shù)［8］的測試。以下方法的群體規(guī)模均為100。

函數(shù)1是一個簡單分段連續(xù)函數(shù)，常用的優(yōu)化算法都能快速的尋找到Pareto前緣，為比較各算法解的多樣性及均勻性，本文設(shè)置算法最大迭代代數(shù)20代(調(diào)用目標(biāo)求解次數(shù)2000次)，得到的Pareto前端如圖1。

測試結(jié)果及收斂結(jié)果分析如表2。

函數(shù)2是一個非凸非連續(xù)函數(shù)目標(biāo)計算復(fù)雜，函數(shù)求解耗時，為比較各算法的收斂速度及穩(wěn)定性，設(shè)定最大迭代次數(shù)為1000代，算法基本收斂后結(jié)果如圖2，分析見表3。

由表3可知，處理連續(xù)函數(shù)問題算法 MOGAII、MOPSO、NSGAII都有不錯的收斂速度及穩(wěn)定性。處理非凸非連續(xù)函數(shù)，各算法搜索效率有一定的差別，MOPSO和NSGAII算法收斂速度及穩(wěn)定較其他方法有較大的提高。

氣動優(yōu)化問題是一個非線性不連續(xù)的多峰值問題，且函數(shù)求解困難耗時，因此需要搜索能力高收斂速度快且全局性好的優(yōu)化方法，從以上算例分析，MOPSO算法搜索能力較高，調(diào)用目標(biāo)次數(shù)較少，且解的多樣性及均勻性均優(yōu)于其他算法，為驗證算法的適用性，進行了翼型的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。

圖1 (a) 函數(shù)1真實前緣Fig.1 (a)True Pareto of test 1

圖1 (b) 不同算法計算結(jié)果Fig.1 (b)The result of different algorithms

表2 函數(shù)1算法計算結(jié)果分析Table 2 The result of test 1

圖2 (a) 函數(shù)2真實前緣Fig.2 (a)True Pareto of test 2

圖2 (b)EPS算法Fig.2 (b)The result of EPS

圖2 (c)MOGAII算法Fig.2 (c)The result of MOGAII

圖2 (d)MOPSO算法Fig.2 (d)The result of MOPSO

圖2 (e)NSGAII算法Fig.2 (e)The result of NSGAII

圖2 (f)SPEA算法Fig.2 (f)The result of SPEA

表3 函數(shù)2算法計算結(jié)果分析Table 3 The result of test 2

4 翼型氣動優(yōu)化

以某翼型為例，以降低翼型在設(shè)計狀態(tài)下的阻力和減小低頭力矩為目標(biāo)約束升力和最大厚度，進行了翼型幾何外形的優(yōu)化設(shè)計。

本文的氣動力分析部分采用N-S方程作為流動控制方程，湍流模型選用S-A湍流模型，網(wǎng)格數(shù)為321×65。

設(shè)計狀態(tài)為:馬赫數(shù)為 0.73，巡航攻角為 2.07°，雷諾數(shù)為22×106。

采用目標(biāo)函數(shù)和約束條件的數(shù)學(xué)描述分別為:目標(biāo)函數(shù):Min:f1(X)=Cd

4.1 Pareto最優(yōu)解集

群體規(guī)模80，最大進化代數(shù)70，得到的Pareto前緣如圖3(ORI表示初始外形)。

圖3 Pareto前緣及任意取點Fig.3 The Pareto and arbitrary points

圖3為采用多目標(biāo)粒子群算法得到的Pareto前緣。圖3中，橫坐標(biāo)表示阻力，縱坐標(biāo)表示低頭力矩。由圖可見，算法得到的Pareto解的個數(shù)較多，解的分布也較均勻，但存在局部不連續(xù)解。

4.2 優(yōu)化結(jié)果比較

從最優(yōu)解集中任取解A和B(如圖3所示)進行分析。

圖4、圖5及表4分別比較了優(yōu)化設(shè)計前后的翼型幾何外型、壓力分布和設(shè)計點處的阻力和低頭力矩。可見優(yōu)化設(shè)計出的新翼型A在設(shè)計點有效的減小了激波，降低了阻力減小了低頭力矩。但是求得的Pareto解有部分解比原始的翼型在某一目標(biāo)上較差，此次優(yōu)化共調(diào)用目標(biāo)求解4880次，可見，算法在計算氣動多目標(biāo)優(yōu)化問題上有一定的效果，但針對大型的氣動優(yōu)化問題，還應(yīng)從收斂速度上對算法進行進一步的分析。

圖4 翼型幾何外形比較Fig.4 The shape of different aerofoil

圖5 翼型壓力分布比較Fig.5 Pressure coefficient distribution over aerofoil

表4 設(shè)計點處的氣動載荷比較Table 4 Aerodynamic performances at desing point

5 結(jié)論

文中將優(yōu)化方法中常用算法進行了比較，針對不同問題進行了函數(shù)測試，找出適合氣動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的優(yōu)化算法。結(jié)果表明，新型算法多目標(biāo)粒子群算法計算效率較高，對多峰值問題的處理結(jié)果較好應(yīng)用于翼型的氣動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計得到的結(jié)果較好。

［1］吁日新.多目標(biāo)/多學(xué)科優(yōu)化方法的研究［D］.［碩士學(xué)位論文］.北京航空航天大學(xué)，2002.

［2］岳超源.決策理論與方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.

［3］安偉剛.多目標(biāo)優(yōu)化方法研究及其工程應(yīng)用［D］.［博士學(xué)位論文］.西北工業(yè)大學(xué)，2005.

［4］PRATAP A，DEB k.A fast elitist non-dominated sorting genetic algorithm for multi-objective optimization［R］.NSGA II.Kan-GAL report 200001，Parallel Problem Solving from Nature(PPSN VI)，Berlin，2000.

［5］徐磊.基于遺傳算法的多目標(biāo)優(yōu)化問題的研究與應(yīng)用［D］.［碩士學(xué)位論文］.中南大學(xué)，2007.

［6］http://delta.es.cinvestav.mx ～ ccoello/EMOO/MOOsoftware.html.

［7］KENNEDY J，EBERHART R C.Particle swarm optimization［A］.presented at Proceedings of IEEE International Conference on neural networks［C］.Perth，Australia，1995.

［8］JORN M.A library of multi-objective functions with corresponding graphs［M］.Germany，June 2006.