周志勇，楊立坤，葛耀君

(1.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實驗室，上海 200092;2.天津市市政工程設(shè)計研究院，天津 300000)

0 引言

橋梁風(fēng)致振動所有問題從本質(zhì)上講是流體和結(jié)構(gòu)耦合振蕩所致的動力相互作用問題，是能量傳遞的問題，對發(fā)散性的顫振表現(xiàn)地更加明顯。橋梁顫振失穩(wěn)可以分為單自由度(1DOF)扭轉(zhuǎn)顫振和兩自由度(2DOF)彎扭耦合顫振。Scanlan［1］提出可由8個氣動導(dǎo)數(shù)表征主梁斷面幾何外形的氣動力特性，從工程應(yīng)用角度，Scanlan提出的氣動導(dǎo)數(shù)可確定大跨橋梁顫振穩(wěn)定性能。

值原Tacoma橋倒塌50周年之際，英國 WYATT［2］提出:平板古典耦合顫振和鈍形斷面的分離流扭轉(zhuǎn)顫振是二種不同的機(jī)制，盡管通過風(fēng)洞試驗?zāi)鼙ＷC安全的抗風(fēng)設(shè)計，但流體和結(jié)構(gòu)的相互作用機(jī)理是不清楚的。

目前，橋梁顫振機(jī)理的研究主要有三類方法，分別是基于氣動導(dǎo)數(shù)的顫振驅(qū)動機(jī)理分析方法、基于計算流體動力學(xué)(CFD)的方法及基于粒子圖像測速技術(shù)(PIV)的方法。

基于氣動導(dǎo)數(shù)的顫振驅(qū)動機(jī)理分析方法首先通過節(jié)段模型風(fēng)洞試驗識別的斷面氣動導(dǎo)數(shù)，然后進(jìn)行二維或三維顫振分析?；诜植椒治龅乃悸?，楊詠欣［3］用二維三自由度分析方法研究了二維橋梁節(jié)段模型扭轉(zhuǎn)、豎向和側(cè)向振動參數(shù)(系統(tǒng)阻尼及系統(tǒng)剛度)同斷面氣動導(dǎo)數(shù)的定量關(guān)系及顫振發(fā)生點(diǎn)各個自由度運(yùn)動的耦合效應(yīng)。

丹麥的 Larsen［4］利用二維隨機(jī)離散渦方法軟件(DVMFLOW)，顯示了原Tacoma橋斷面繞流流動和結(jié)構(gòu)相互作用的全過程。研究表明旋渦沿主梁的漂移會使升力的作用點(diǎn)同時漂移，造成升力矩從正向負(fù)轉(zhuǎn)化，當(dāng)渦的間距和橋面跨度達(dá)到一定的配合關(guān)系將激起發(fā)散的扭轉(zhuǎn)振動。然而值得商榷的是，Larsen在數(shù)值計算中假定Tacoma橋的扭轉(zhuǎn)顫振風(fēng)速僅與旋渦的漂移速度相關(guān)且旋渦沿橋梁斷面(原Tacoma橋斷面)的漂移速度是恒定不變的，而以單個因素的線性化假設(shè)并不能描述流體的粘性與斷面非定常運(yùn)動的耦合的強(qiáng)非線性特征。

PIV技術(shù)是一種20世紀(jì)80年代發(fā)展起來的流場測試手段，能夠捕捉到渦量沿斷面及在尾流流動中的瞬時狀態(tài)。張偉［5］應(yīng)用PIV技術(shù)對H形橋梁斷面運(yùn)動及靜止?fàn)顟B(tài)的旋渦運(yùn)動進(jìn)行了分析。分析認(rèn)為H形橋梁斷面的風(fēng)振驅(qū)動是由于上下腹板交替移動的旋渦造成的，而旋渦是由于前緣豎板引起的流動分離形成的。在一個完整的周期內(nèi)，結(jié)構(gòu)表面的旋渦經(jīng)歷了從生成到脫落的過程。但限于較低的時間分辨率、較小的模型比例，試驗還未能對顫振全過程進(jìn)行系統(tǒng)地采樣及分析。

POD(Proper Orthogonal Decomposition)技術(shù)提供了一種描述結(jié)構(gòu)表面風(fēng)壓場的統(tǒng)計方法，它將風(fēng)壓場分解為僅依賴時間的主坐標(biāo)和僅依賴空間的協(xié)方差模態(tài)的組合。POD可以找出一系列隨機(jī)過程之間的隱藏在已知數(shù)據(jù)背后的特征，其最大的優(yōu)點(diǎn)就是用很少的幾個模態(tài)去表述一個過程，而通常主要模態(tài)和現(xiàn)象的機(jī)理是有很大關(guān)系的［6－9］。在鈍體空氣動力學(xué)中，POD技術(shù)常被用來針對風(fēng)洞試驗或?qū)崪y所獲得結(jié)構(gòu)表面壓力，來構(gòu)建簡化氣動模態(tài)和分析結(jié)構(gòu)上風(fēng)荷載的主要機(jī)理。上述過程主要是通過把氣動荷載或壓力看做一個確定時間內(nèi)的n維隨機(jī)過程，把POD分析看做一個線性變換過程，把壓力數(shù)據(jù)和力的分布展開成一系列用零延遲協(xié)方差矩陣特征向量表達(dá)的模態(tài)。Armitt［7］最早將POD技術(shù)用于風(fēng)工程，1990年Holmes［8］分析了一個低矮建筑模型邊跨的壓力，討論了POD模態(tài)與暗含的物理現(xiàn)象之間的聯(lián)系。1995年Bienkiewicz等人［9］研究了邊界層風(fēng)洞中的一座低矮建筑，使用分布在建筑表面的494個測點(diǎn)同步測量，基于POD技術(shù)獲得相關(guān)本征模態(tài)。

現(xiàn)有的測壓技術(shù)的采樣頻率可設(shè)置的很高(大于300Hz)，在二元彈性懸掛剛體模型斷面上布置測壓點(diǎn)，以較長的采樣時間測量斷面顫振前及顫振過程中的表面壓力的變化，既可避免僅基于氣動導(dǎo)數(shù)進(jìn)行顫振驅(qū)動機(jī)理分析的短處，又可避免PIV技術(shù)中較低的時間分辨率(15Hz)、不能對顫振全過程進(jìn)行系統(tǒng)地采樣及不能得到斷面同步的表面壓力的缺點(diǎn)。

目前對應(yīng)于橋梁顫振時的斷面壓力空間分布特征是不清楚的。本文第2節(jié)簡述了POD方法的基本數(shù)學(xué)格式。第3節(jié)介紹二元彈性懸掛剛體模型表面壓力采樣試驗，試驗風(fēng)速逐級增加直至顫振發(fā)生，對模型顫振時及固定時(來流風(fēng)速與顫振風(fēng)速一致)的表面壓力進(jìn)行采樣，分析了模型顫振時的表面壓力分布特征。第4節(jié)運(yùn)用POD方法分析模型表面壓力分布與顫振分散性運(yùn)動之間的關(guān)系。本文工作目前未見報道，為今后顫振機(jī)理分析提供了一個新的思路與方法。

1 POD方法的基本數(shù)學(xué)格式

假設(shè)p(x，y，t)為隨機(jī)脈動風(fēng)壓力函數(shù)，那么p(x，y，t)的協(xié)方差函數(shù) Cp(x，y，x'，y')可寫成:

式(1)的特征值問題為:

式中，φn(x，y)及λn是式(2)所示特征值問題求解所獲得的本征模態(tài)及特征值，并且有

其中，δnm為 kronecker符號

當(dāng)且僅當(dāng)λn及φn(x，y)分別是協(xié)方差函數(shù)Cp(x，y，x'，y')的特征值及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征模態(tài)時，隨機(jī)風(fēng)壓函數(shù)p(x，y，t)可以展開成下式:

對第i個測壓點(diǎn)的脈動風(fēng)壓力則有

式中 φn(xi，yi)為本征模態(tài) φn在測壓孔(xi，yi)處的值。上述兩式即脈動風(fēng)壓力向量及脈動風(fēng)壓力的本征正交分解，其意義是結(jié)構(gòu)表面隨時間和空間變化的風(fēng)壓力場可以分解為主坐標(biāo)an(t)和本征模態(tài)(或協(xié)方差模態(tài))φn(x，y)的組合，前者是時間隨機(jī)函數(shù)，而后者是僅取決于空間坐標(biāo)的確定性函數(shù)。

2 彎扭耦合顫振模型及表面壓力波動特征

二元彈性懸掛彎扭耦合顫振風(fēng)洞試驗?zāi)Ｐ筒捎昧私?jīng)典的斜腹板箱形截面［10］，截面形狀及尺寸如圖1所示，系統(tǒng)重量為39.2kg。在斜腹板箱形截面上布置了180個同步測量的壓力測點(diǎn)，測點(diǎn)非均勻布置，見圖2。試驗在均勻流場中進(jìn)行，采樣頻率為312.5Hz，采樣點(diǎn)數(shù)12000點(diǎn)，采樣時間38.4s，位移采樣頻率為300Hz，采樣時間為50s。試驗共采集了6組顫振時的數(shù)據(jù)及5組模型固定時的數(shù)據(jù)，以反映測量數(shù)據(jù)的可重復(fù)性。

在零風(fēng)速下，系統(tǒng)的豎彎及扭轉(zhuǎn)振動頻率分別為1.0997Hz及 2.2361Hz;豎彎及扭轉(zhuǎn)阻尼比分別為0.62%及0.48%。在均勻流場中，彈性懸掛模型在風(fēng)速為12.2m/s時發(fā)生顫振，顫振過程斷面的扭轉(zhuǎn)角變化時程如圖3所示，相應(yīng)的幅值譜如圖4所示。圖4顯示結(jié)構(gòu)發(fā)生顫振的頻率是1.8695Hz，這個頻率介于模型在零風(fēng)速下豎彎頻率和扭轉(zhuǎn)頻率之間。

圖1 模型截面圖(單位:mm)Fig.1 Cross section of the scale section(unit:mm)

圖2 模型壓力測點(diǎn)布置圖Fig.2 Distribution of measuring points

圖3 模型顫振時扭轉(zhuǎn)角隨時間的變化(單位:°)Fig.3 Change of the torsion angle with time during fluttering(unit:°)

圖4 模型顫振時扭轉(zhuǎn)角時程幅值譜Fig.4 Amplitude spectrum of the torsion angle during fluttering

在整個顫振過程中，模型表面的歸一化平均壓力如圖5所示(向外表示負(fù)壓，向內(nèi)表示正壓，下同)。相應(yīng)地，模型固定時，在12.2m/s的風(fēng)速下，模型表面的平均壓力如圖6所示。可以看出，模型在顫振和固定的時候，表面的平均壓力差別較小，只是顫振時上表面右側(cè)的負(fù)壓比模型固定時同一部位稍大。

圖5 模型顫振過程中的平均表面壓力Fig.5 Mean surface pressure during fluttering

圖6 模型固定時的平均表面壓力Fig.6 Mean surface pressure when fixed

為了明確模型表面各部分壓力波動特征，將模型的表面輪廓線分成6部分:上甲板左部，上甲板右部，下腹板左部，下腹板右部，左斜腹板，右斜腹板。分別計算這六部分的壓力對升力矩系數(shù)的貢獻(xiàn)，并觀察他們的相位差，結(jié)果如圖7所示。

圖7 總升力矩系數(shù)與各部分升力矩系數(shù)對比Fig.7 Comparison of the total and the single torque coefficient

圖7顯示，從幅值看，升力矩的波動主要是由上甲板及下腹板的左部壓力主導(dǎo)，其次是左斜腹板和上甲板右部，貢獻(xiàn)最小的是下腹板右部和右斜腹板。從相位上看，上甲板及下腹板的左部的相位和總升力矩系數(shù)的相位幾乎相同，上甲板右部的相位稍稍落后一點(diǎn)，而下腹板右部和右斜腹板的相位與總升力矩相位相差幾乎1/4個周期。顫振時模型各部分表面壓力分布對升力矩系數(shù)的貢獻(xiàn)如表1所示，其幅值譜如圖8所示。從圖8及表1同樣可以看到，上甲板及下腹板的壓力波動在總升力矩波動中占了絕大部分，有82%之多，它們是引發(fā)顫振形態(tài)的主動部分，而上甲板及下腹板的右部和右斜腹板雖然具有同樣的卓越頻率，但頻率比較亂，幅值也較小，是受迎風(fēng)側(cè)特征湍流影響的被動區(qū)域，上甲板及下腹板右部和右斜腹板的相位落后于總升力矩時程相位也證明了這點(diǎn)。

圖8 表面各部分升力矩幅值譜Fig.8 Amplitude spectrums of torques in each part

表1 顫振時模型各部分表面壓力分布對升力矩系數(shù)的貢獻(xiàn)Table 1 Contribution to the torque of each part

3 彎扭耦合顫振及固定時模型表面壓力的POD分析

3.1 彎扭耦合顫振時模型表面壓力POD分析

模型斷面總共有180個測點(diǎn)，所以協(xié)方差矩陣為180×180的實對稱陣，可以求解出180階模態(tài)，而每一階模態(tài)的主坐標(biāo)就代表了該空間分布隨時間的變化規(guī)律。由于顫振是單一頻率的運(yùn)動，所以對其表面壓力進(jìn)行POD分解時，只會有1階或很少幾階模態(tài)與顫振運(yùn)動聯(lián)系緊密，我們?nèi)∏捌唠A進(jìn)行觀察，后面的高階模態(tài)所含的能量已經(jīng)很少，不會對顫振運(yùn)動產(chǎn)生很大影響。

顫振時模型表面壓力前7階本征模態(tài)φn(xi，yi)、主坐標(biāo)an(t)時程及主坐標(biāo)的幅值譜如圖9所示。POD分解所獲得的第一階本征模態(tài)即為其平均壓力分布，從上圖9(a)可以看出，該分布與模型固定時的歸一化平均壓力分布(見圖5)極其相似。

由圖9(b)、圖9(c)主坐標(biāo)的時程可以看出，第2、3階主坐標(biāo)幅值隨時間逐步變大，顯示出發(fā)散的性質(zhì)，其相應(yīng)的幅值譜有明確的卓越頻率(1.869Hz)，該頻率與顫振頻率一致，表明該本征模態(tài)與顫振時的斷面發(fā)散性運(yùn)動具有極強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性。圖9(d)、圖9(g)顯示，第4～7階主坐標(biāo)幅值并不具有隨時間逐步發(fā)散的性質(zhì)，其相應(yīng)的幅值譜也不存在明確的卓越頻率。

根據(jù)式(5)，對每一階本征模態(tài)所對應(yīng)的壓力分布進(jìn)行積分就可以得到該本征模態(tài)對應(yīng)的升力系數(shù)、升力矩系數(shù)和阻力系數(shù)。風(fēng)洞試驗顯示該模型的顫振形態(tài)主要表現(xiàn)為有豎彎參與的扭轉(zhuǎn)顫振形式，因此，我們關(guān)心由本征模態(tài)積分所獲得的升力矩系數(shù)對總升力矩系數(shù)的貢獻(xiàn)。圖10(a)為總升力矩系數(shù)的幅值譜，圖10(b～g)為第2～第7階本征模態(tài)所對應(yīng)的升力矩系數(shù)的幅值譜。表2為各階本征模態(tài)對應(yīng)的升力矩系數(shù)對總升力矩系數(shù)的貢獻(xiàn)。從表2可以看出，第2階本征模態(tài)對總升力矩系數(shù)波動的貢獻(xiàn)占絕對主導(dǎo)地位，近96%。

以上分析顯示，第二階本征模態(tài)的主坐標(biāo)的頻率與顫振頻率一致，且具有有振動位移一致的發(fā)散性，表明該本征模態(tài)與顫振時的斷面發(fā)散性運(yùn)動具有極強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性。第4～第7階模態(tài)里面雖然都含有與顫振頻率相同的頻率，但隨著模態(tài)數(shù)的增加，其他頻率的成分也漸漸增加，第六階模態(tài)以后，甚至顫振頻率已經(jīng)不是其主要頻率，其模態(tài)特性漸漸變成模型本身外形導(dǎo)致的壓力波動為主導(dǎo)。據(jù)此我們合理推斷第二階模態(tài)所代表的壓力波動是引起結(jié)構(gòu)顫振的原因，是顫振的主導(dǎo)模態(tài)，而其他本征模態(tài)為斷面外形引起的特征紊流形成的結(jié)果。

圖9 本征模態(tài)、主坐標(biāo)時程及主坐標(biāo)幅值譜Fig.9 Intrinsic modes，the principal coordinate time-history and the amplitude spectrums

圖10 顫振時的本征模態(tài)對應(yīng)的升力矩的幅值譜圖Fig.10 Amplitude spectrum of the torque corresponding to the intrinsic mode during fluttering

表2 模型顫振時POD分解第二至第七階模態(tài)對升力矩系數(shù)的貢獻(xiàn)Table 2 Contributions to the torque coefficient from the 2nd to 7th mode during fluttering

3.2 模型固定及顫振時表面壓力對比分析

圖11為模型顫振時的本征模態(tài)及固定時的本征模態(tài)對比圖。圖11顯示，顫振時模型表面壓力分布的第4階本征模態(tài)與固定時模型的第4階本征模態(tài)分布及幅值譜相似(圖11b);顫振時的第5階模態(tài)與固定時的第6階模態(tài)分布及幅值譜相似(圖11c);顫振時的第6階本征模態(tài)與固定時的第3階本征模態(tài)分布及幅值譜相似(圖11d);顫振時的第7階本征模態(tài)與固定時的第2階本征模態(tài)分布及幅值譜相似(圖11e)。只有顫振時的第2、3階本征模態(tài)在固定模型時的表面壓力分布的本征模態(tài)中找不到與之相近的。

圖11 模型顫振時的本征模態(tài)及固定時本征模態(tài)對比圖Fig.11 The intrinsic mode during fluttering and the intrinsic mode in the static condition

圖12 模型固定時的2～7階本征模態(tài)主坐標(biāo)幅值譜Fig.12 Amplitude spectrums of the principal coordinate from 2nd to 7th intrinsic mode in the static condition

4 小結(jié)

本文對彈性懸掛的剛體模型顫振時及固定時(來流風(fēng)速一致)的表面壓力進(jìn)行采樣。首先分析模型顫振時的表面壓力分布特征，分析顯示，主梁上甲板及下腹板左部的壓力波動在總升力矩波動中占主導(dǎo)地位且頻率與顫振頻率一致，是引發(fā)顫振形態(tài)的主動部分，而右部是受迎風(fēng)側(cè)特征紊流影響的被動區(qū)域，其相位相對于左部具有滯后性。隨后運(yùn)用本征正交分解(POD)方法分析模型表面壓力分布與顫振之間的關(guān)系。結(jié)果顯示，所獲得的本征模態(tài)中存在與顫振扭轉(zhuǎn)發(fā)散運(yùn)動關(guān)聯(lián)極強(qiáng)的本征模態(tài)，該模態(tài)對總升力矩系數(shù)波動的貢獻(xiàn)占絕對主導(dǎo)地位，其主坐標(biāo)頻率與顫振發(fā)散頻率一致，且具有有振動位移一致的發(fā)散性，該模態(tài)在固定模型表面壓力本征模態(tài)中找不到對應(yīng)的模態(tài)。而其他模態(tài)主坐標(biāo)幅值并不具有隨時間逐步發(fā)散的性質(zhì)，其相應(yīng)的幅值譜也不存在明確的卓越頻率。本文工作為今后顫振機(jī)理分析提供了一個新的思路與方法。

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