王 平，田 偉，王汝冬，王立朋，隋永新，楊懷江

(中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033)

為了實現干涉儀標準鏡中光學元件的高精度定位，設計了一種柔性支撐鏡框，研究了該結構的力學模型、結構參數、定位精度和透鏡變形。首先，根據材料力學原理將柔性鏡框等效為一個彈簧系統(tǒng);根據力學方程和幾何關系，建立了透鏡中心位置與柔性結構的撓度之間的二元方程。然后，分析了安裝位置、溫度、結構參數對透鏡位置以及作用力的影響。最后，應用有限元仿真分析了所設計結構的力學性能，并進行對比驗證。結果表明，數值仿真分析的結果與有限元仿真結果基本相同，柔性鏡框的柔性結構厚度最優(yōu)值為1.5 mm。該設計方案完全滿足干涉儀標準鏡對鏡框在定位精度、穩(wěn)定性方面的要求。

干涉儀;標準鏡;柔性鏡框;定位精度;穩(wěn)定性;有限元分析

1 引言

目前，隨著光學儀器精度的提高，對光學元件面形檢測的要求越來越高，特別是對光刻機曝光鏡頭內的光學元件面形的檢測，精度需要達到納米量級。干涉儀是目前用于光學元件面形檢測的主要技術手段，利用參考面和待測面之間的干涉條紋測量待測面的面形，其測量精度主要取決于參考面的精度。因此，干涉儀標準具的質量成為制約光學元件檢測精度的一個重要因素。用于高精度檢測的標準面的面形精度通常要達到納米級別，這就要求夾持參考鏡的鏡框具有非常高的定位精度、熱穩(wěn)定性、剛度以及低的應力(甚至無應力)夾持。

常用的透鏡夾持方式為鏡框加壓圈，其結構簡單，但是這種方式容易受到環(huán)境的影響，溫度變化時會產生熱應力，并且，壓圈壓緊時造成的面形變化是高精度標準鏡所不允許的。為了保證透鏡的高精度面形，工程界提出了很多鏡框的結構形式，其中應用最廣泛的一種方式就是柔性支撐方式。 王 忠 素［1］、Vukobratovich［2］、Ahmad［3］和Masaki［4］等人都研究了利用柔性結構來支撐光學元件，表明了通過增加鏡框結構的柔性可以有效地保證光學元件的面形。同時，透鏡高精度夾持的固定方式也主要采用膠粘固定，Vukobratovich［5］和 Christopher［6］等人對光學元件的膠粘固定方式進行了研究。由于上述兩種方式的有效性，工程實際中經常將兩種方式結合使用。柔性支撐方式是一種利用柔性鉸鏈來降低鏡框與透鏡之間連接剛度的方式，李琳［7］和單云霄［8］等人對柔性鉸鏈的設計進行了研究，給出了通用柔性鉸鏈的設計公式。干涉測量中環(huán)境振動對測量精度影響很大，這要求柔性支撐在保證光學元件面形的同時具有一定的剛度，秦鵬［9］和朱曉明［10］等人對光學儀器的振動特性進行了研究。

在以上研究基礎上，本文針對干涉儀標準鏡中參考鏡鏡框的柔性結構進行了優(yōu)化設計，并討論了各種環(huán)境因素、柔性結構的結構參數、安裝方式對透鏡的定位精度和作用力的影響。仿真分析結果表明，選擇合適的柔性結構形式，可以有效地保證標準鏡的位置和面形精度，并且能夠保證溫度、振動對透鏡的位置和面形精度的影響非常小。

2 柔性鏡框的結構模型

柔性鏡框的結構模型如圖1所示，透鏡與鏡框之間通過3個柔性結構連接。為了實現干涉儀標準鏡對透鏡之間傾斜和偏心公差的要求，需要通過定心儀檢測透鏡與鏡框之間的對準，在保證兩者同軸以后，從柔性結構的注膠孔注入結構膠，將透鏡與鏡框固定在一起。

圖1 柔性支撐鏡框結構圖Fig.1 Structural diagram of flexure barrel of lens

圖2 柔性支撐結構示意圖Fig.2 Structural diagram of flexure structure

柔性結構是用線切割機床加工出的薄片，如圖2所示，其一端與鏡框連接，另一端通過膠點與透鏡連接。由于線切割機床可以實現微米量級的加工精度，因而，可以保證每個柔性結構都具有相同的幾何尺寸和力學性能。當溫度發(fā)生變化時，這種結構仍然能夠保證透鏡與鏡框同軸，并且在極端的沖擊和振動環(huán)境下允許透鏡偏心，并在這些動態(tài)干擾平息之后，使透鏡恢復到原來的正確位置。柔性結構可等效成如圖3所示的矩形截面的懸臂梁機構。懸臂梁的末端具有6個自由度，但是，由于模型中 t?b，t?l，柔性結構在鏡框徑向方向上的剛度遠小于其他方向的剛度。因此，這里假設在外力很小的情況下，只研究懸臂梁的撓度可以近似表征柔性結構的力學特性。

圖3 等效懸臂梁示意圖Fig.3 Scheme diagram of cantilever model

根據材料力學的理論，懸臂梁在撓度方向上的剛度可以按照下式進行計算：

式中：E為材料的彈性模量;I為柔性結構的慣性矩;t為柔性結構的厚度;b為柔性結構的寬度;l為柔性結構的長度。

這樣，就可以將柔性支撐鏡框的3個柔性支撐結構等效成3個均勻分布的純彈簧，彈簧的彈性系數為k，其初始長度l=R1-R2，R1為柔性支撐結構在鏡框上的基圓半徑，R2為鏡片的半徑。建立透鏡與等效彈簧之間的力學模型，如圖4所示。由于鏡片在裝配過程中不能保證其周向位置，因此，力學模型中等效彈簧的布置和重力方向都按照與x軸成一角度布置。

圖4 柔性鏡框等效力學模型Fig.4 Mechanical model of flexure barrel

圖4中內圓為透鏡的外徑，外圓為鏡框的內徑，虛線表示透鏡在初始狀態(tài)下的位置，實線表示透鏡在重力作用下的位置。透鏡從O1移動到O2，發(fā)生量偏心量(dx，dy)。在初始狀態(tài)下，透鏡與鏡框同心，此時彈簧的長度為鏡框內徑與透鏡外徑之差的1/2，3個彈簧成120°均勻布置。由于裝配時并不能保證鏡框的徑向位置，這里假設一個柔性結構與x軸成角度θ。在重力作用下，為了實現力的平衡，各個彈簧要發(fā)生一定的形變。

建立力學平衡方程，如下式所示：

等效模型中，各個彈簧的變形量如下式所示：

因為柔性鏡框與鏡子之間具有很高的剛度，因而，重力作用下，彈簧的變形量很小(dx?R1)，彈簧變形量公式Δl1可以按照下式所示方式化簡：

整理公式(2)、(3)。

同理，可得：

將上述方程帶入力學平衡方程，整理可以得 到偏心量(dx，dy)的2元方程組，如下式所示：

其中：

3 柔性鏡框的穩(wěn)定性分析

3.1 結構穩(wěn)定性

由于鏡框的位置是一個裝配過程中的隨機量，因而重力與柔性結構之間的關系也是一個變化量，需要分析柔性鏡框在不同安裝狀態(tài)下對透鏡的影響。如圖5所示，改變重力的方向(相當于改變透鏡的周向位置)，透鏡中心的偏心量(dx，dy)不斷發(fā)生變化。從圖6中可以看出，該變化是一個圓形軌跡，也就是說，改變透鏡的周向位置，會造成透鏡產生一個固定大小的偏心量0.113 μm，這個偏心量指向重力方向。從圖7中可以看出，隨著周向位置不同，彈簧作用在透鏡上的力也是不斷變化的，而這種變化的作用力也會使得透鏡的面形不斷變化，影響干涉儀標準鏡的重復性，甚至是光學質量。

圖5 柔性結構位置隨重力方向變化的曲線Fig.5 Curve of flexure position changed with gravity direction

圖6 透鏡中心的偏心軌跡Fig.6 Partiality contrail of lens center

圖7 柔性結構隨重力方向變化的作用力Fig.7 Curve of flexure force changed with gravity direction

3.2 熱穩(wěn)定性

在受熱的情況下，由于透鏡與鏡框之間的材料差異，會產生一定的相對位置變化。材料的參數如表1所示。假設透鏡的熱膨脹系數為αG，鏡框的熱膨脹系數為αM，透鏡的半徑為R2。那么，當溫度變化Δt時，透鏡與鏡框之間的相對位移量為

表1 材料性能列表Tab．1 List of materials performance

溫度變化產生的變形量將作為彈簧的預載施加到各個彈簧上，因此，在溫度的影響下，彈簧在重力作用下的變形量如公式(6)所示：

建立力學平衡方程，如公式(7)、(8)所示?？梢垣@得透鏡中心在溫度變化時的方程組(9)。

通過仿真分析，鏡片的偏心量與溫度變化之間的關系如圖8所示，從圖中可以看出，溫度在較大范圍內變化時，透鏡中心的位置基本不發(fā)生變化。也就是說，柔性結構的形變未發(fā)生較大的變化，從而作用在透鏡上的作用力的變化也很小，能夠保證在溫度發(fā)生變化時，支撐結構對透鏡面形的影響非常小。從上述分析可以斷定，柔性支撐結構可以保證溫度變化時透鏡的變形，并保持在裝調位置不變。

圖8 透鏡偏心量隨溫度變化曲線Fig.8 Curve of lens center changed with temperature

4 柔性結構的優(yōu)化設計

對于一定口徑的光學鏡片，其鏡框的尺寸是確定的，在設計柔性鏡框時，柔性結構的長度根據鏡框的尺寸進行選擇，其長度受加工精度的限制，不能過長，因此，對柔性支撐結構的優(yōu)化設計主要為選擇一個較為合適的柔性支撐結構的厚度量。圖9為在溫度變化時，不同的柔性結構厚度對彈簧彈力的影響。從圖10中可以看出，隨著厚度增加，彈簧彈力的增加很快，這會造成鏡片面形急劇變壞，并且會產生很嚴重的應力雙折射。隨著厚度增加，透鏡位置的穩(wěn)定性也逐漸增加，但是隨著厚度的加大，這種改善的效果越來越不明顯。

圖9 柔性結構彈力隨結構厚度變化曲線Fig.9 Curves of spring force of flexure changed with structure thickness

圖10 柔性結構彈力和透鏡偏心隨結構厚度變化曲線Fig.10 Curves of spring force of flexure and lens center changed with structure thickness

為了權衡各種影響因素造成的不利影響，需要選擇作用力和偏心量都符合要求的柔性結構厚度。從圖10中可以看出，柔性結構厚度為1～2 mm時是較好的尺寸范圍，本文綜合加工等方面的考慮，將柔性結構的厚度選為1.5 mm。

為了驗證上述分析結果是否正確，通過有限元分析的方法對柔性支撐鏡框進行驗證。應用MSC.Nastran軟件進行仿真分析，建立了溫度變化0.1℃、重力條件下的仿真模型，柔性結構采用二維殼單元形式，分析結果如圖11～14所示。圖11為透鏡的應力云圖，其最大應力為30.3 kPa，發(fā)生在下部的兩個支撐點附近。圖12為透鏡的變形云圖，其最大變形量為0.114 μm，與數值仿真的結果非常接近。圖13為透鏡單元的變形云圖，可以看出透鏡和鏡框相對于柔性支撐近似于剛體，在重力作用下整體發(fā)生了移動。圖14為柔性支撐結構的變形云圖，可以看出結構的變形梯度主要沿著長度方向，而在寬度方向上的變形是相等的，這證明了柔性支撐結構在撓度方向上的剛度遠小于其他方向的剛度，與數值仿真的假設吻合。

圖11 透鏡應力云圖Fig.11 Nephogram of lens stress

圖12 透鏡變形云圖Fig.12 Nephogram of lens deformation

圖13 透鏡單元變形云圖Fig.13 Nephogram of lens unity deformation

圖14 柔性支撐結構變形云圖Fig.14 Nephogram of flexure deformation

柔性支撐的一個問題是帶來系統(tǒng)剛度的降低，因此，需要分析整個透鏡單元的剛度以及其對外界振動沖擊的響應。ADAMS/Vibration軟件具有非常強大的振動分析功能，本文應用ADAMS/Vibration軟件分析整個透鏡組件的響應情況，如圖15所示。在對光學系統(tǒng)影響較大的低頻部分，整個系統(tǒng)都具有很好的隔絕外界沖擊的作用。在幅頻曲線中，幅值較大的頻率為78.73 Hz，為系統(tǒng)的固有頻率。從幅頻和相頻曲線可以看出，整個透鏡單元的響應是符合設計要求的。

圖15 透鏡單元響應的幅頻和相頻曲線Fig.15 Resoponsible curves of lens unity

通過上面的有限元仿真分析結構可以看出，數值仿真的結果與有限元仿真結果基本相同，因此，可以通過數值仿真來優(yōu)化柔性鏡框的柔性結構。本文中的柔性支撐厚度最終設定為1.5 mm，是滿足精度要求和加工條件的。

5 結論

設計了一個用于支撐干涉儀標準鏡的高精度柔性鏡框結構，根據材料力學的理論建立了該柔性結構的仿真模型。通過仿真分析，柔性結構可以很好地提供干涉儀標準鏡的高精度定位要求，并且具有較好的穩(wěn)定性，能夠保證透鏡在溫度變化和外界振動的影響下，光學元件位置穩(wěn)定。根據柔性結構的厚度對透鏡定位精度和作用力的影響，選擇了最優(yōu)的柔性結構厚度為1.5 mm，并通過有限元仿真的方法進行了驗證，有限元仿真結果與數值仿真結果非常接近，證明該數值仿真模型切實可行。

［1］ 李琳，楊勇.空間曲線切口式柔性鉸鏈的設計［J］.光學 精密工程，2010，18(10)：2192-2198.LI L，YANG Y.Design of flexure hinges with space curve notches［J］.Opt．Precision Eng．，2010，18(10)：2192-2198.(in Chinese)

［2］ 單云霄，陳長征，劉磊，等.柔性鉸鏈的有限元法設計與分析［J］.中國光學與應用光學，2010，3(2)：146-154.SHAN Y X，CHEN CH ZH，LIU L.design and analysis of flexure hinge by finite element method［J］.Chinese J．Opt．Appl．Opt.，2010，3(2)：146-151.(in Chinese)

［3］ VUKOBRATOVICH D.Flexure mounts for high-resolution optical elements［J］.SPIE，1988，959：18-36.

［4］ VUKOBRATOVICH D，FETTERHOFF K A，MYERS J R，et al..Bonded mounts for small cryogenic optics［J］.SPIE，2000，4131：228-239.

［5］ AHMAD A，HUSE R L.Mounting for high resolution projection lenses：US，4929054［P］.1990-05-29.

［6］ CHRISTOPHER L.Athermal bonded mounts：Incorporating aspect ratio into a closed-form solution［J］.SPIE，2007，6665：666503.

［7］ HOSODA M，PARKS R E，BURGE J H.Vacuum support for a large interferometric reference surface［G］.Tucson：University of Arizona，2010.

［8］ 秦鵬.基于全柔性串接式振動系統(tǒng)的高精度動不平衡測量研究［D］.上海：上海交通大學，2007.QIN P.Research on high accuracy dynamic unbalancing measurement based on fully compliant tandem vibration system［D］.Shanghai：Shanghai Jiao Tong University，2007.(in Chinese)

［9］ 王忠素，翟巖，梅貴，等.空間光學遙感器反射鏡柔性支撐的設計［J］.光學 精密工程，2010，18(8)：1833-1841.WANG ZH S，ZHAI Y，MEI G，et al..Design of flexible support structure of reflector in space remote sensor［J］.Opt．Precision Eng.，2010，18(8)：1833-1841.(in Chinese)

［10］ 朱曉明，盧鍔.空間光學儀器結構件的動態(tài)特性分析及優(yōu)化［J］.光學 精密工程，1995，3(6)：99-106.ZHU X M，LU E.Dynamical behaviors analysis and optimum design for space optical instrument［J］.Opt．Precision Eng.，1995，3(6)：99-106.(in Chinese)