井敏英 郭佳林 李大偉 段 濤

（陜西理工學(xué)院，陜西 漢中 723001）

連續(xù)時間信號頻譜分析研究及MATLAB實現(xiàn)

井敏英 郭佳林 李大偉 段 濤

（陜西理工學(xué)院，陜西 漢中 723001）

信號的頻譜分析是信號與系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)。文章分析了用數(shù)值計算的方法實現(xiàn)確知連續(xù)時間信號的頻譜分析，即采用離散傅里葉變換的快速算法實現(xiàn)對連續(xù)信號的頻譜估計，然后在 MATLAB語言工具下結(jié)合正弦信號給出了頻譜分析的結(jié)果。

頻譜分析；離散傅里葉變化；MATLAB

（一）引言

在信號處理過程中，頻域分析方法往往比時域分析方法更方便和有效。對于確知連續(xù)時間信號，其頻域分析可以通過連續(xù)時間傅里葉變換來進(jìn)行，但是，這樣計算出來的結(jié)果仍然是連續(xù)函數(shù)，計算機(jī)不能直接加以處理。為了實現(xiàn)數(shù)值計算，還需要對其進(jìn)行離散化處理，即采用離散傅里葉變換（DFT）進(jìn)行分析。DFT的快速算法的出現(xiàn)，使DFT在數(shù)字通信、圖像處理、功率譜估計、系統(tǒng)分析與仿真、雷達(dá)信號處理、光學(xué)、醫(yī)學(xué)等各個領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。本文以正弦信號為例，介紹用DFT的快速算法即快速傅里葉變化（FFT）實現(xiàn)確知連續(xù)時間信號的頻譜分析，給出了MATLAB語言工具下的分析程序。

（二）信號頻譜分析的原理

對于時間連續(xù)信號f(t)，其頻譜分析可以通過連續(xù)時間傅里葉變換（CTFT）來進(jìn)行。連續(xù)時間傅里葉變化特別適合于對時間連續(xù)信號的理論分析，但是，由于函數(shù)f(t)和其頻譜函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，不能夠直接用計算機(jī)來處理，因此在進(jìn)行數(shù)值計算時必須將其離散化，然后利用離散傅里葉變換（DFT）實現(xiàn)近似計算。

設(shè)對連續(xù)時間信號 f(t)的截取時間段長度為L，對其進(jìn)行離散化的采樣時間間隔為T，那么采樣輸出的離散時間序列f( nT)中的信號樣值點數(shù)N為：

但是，這樣計算出來的結(jié)果F( Ω)仍然是連續(xù)函數(shù)，計算機(jī)不能直接加以處理。為了實現(xiàn)數(shù)值計算，還需要對F(Ω)進(jìn)行離散化處理。將頻率段0～1/THz劃分為N個計算頻率點，這N個離散頻率點以角頻率表示為：

即得到離散頻率點上的近似計算式：

對比DFT計算式，顯然有

該式表明，利用DFT(FFT)計算連續(xù)時間傅里葉變換的頻譜時，除了計算時域樣點的離散傅里葉變化的頻譜F( k)，還要將F( k)乘以取樣時間間隔T，才能得出結(jié)果。

（三）頻譜分析的若干問題討論

通過以上原理可知，連續(xù)非周期信號頻譜的數(shù)值計算必須首先對信號時域采樣，得到時間離散化的信號，時域采樣必須滿足或近似滿足采樣定理。根據(jù)時域頻域的對應(yīng)關(guān)系，時域采樣將導(dǎo)致所得的抽樣信號頻譜周期化。然而，為了使周期化后的抽樣信號頻譜便于計算機(jī)處理，還必須再將其頻域離散化，方法是對該頻譜進(jìn)行頻域采樣。根據(jù)時域頻域的對應(yīng)關(guān)系，頻域離散化將對應(yīng)于時域信號的周期化。因此，對于連續(xù)非周期信號頻譜進(jìn)行數(shù)值計算時，要確定如何截取信號的時間段、如何選擇時域采樣率，以及在時間段上對信號進(jìn)行截取的方式。截取信號的時間段長度決定了時域周期化的周期，對應(yīng)于頻率抽樣的頻率間隔，即頻率分辨率；時域采樣率決定了頻域周期化的周期，即頻譜數(shù)值計算的范圍；而在某時間段上對信號進(jìn)行截取的方式，即不同窗函數(shù)的應(yīng)用，決定了信號頻譜估計的精度和有效范圍。設(shè)要分析連續(xù)時間非周期信號f(t)在頻率范圍內(nèi)的頻譜，且要求分析的頻譜分辨率（數(shù)值計算的頻率間隔）為Δf，則首先應(yīng)根據(jù)信號頻率范圍確定采樣率，在根據(jù)所要求的頻率分辨率確定截取時間長度，從而計算出所需計算FFT的序列長度（點數(shù)），最后根據(jù)信號時域波形特性選擇使用不同的窗函數(shù)。

1.根據(jù)分析的信號頻率范圍確定采樣率。要分析信號在頻率范圍內(nèi)的頻譜，則采樣率必須滿足采樣定理，即相應(yīng)地，采樣時間間隔T（也稱為時間分辨率）滿足

2.根據(jù)頻率分辨率要求確定分析信號 f(t)的截取時間長度。要使所分析的頻率分辨率達(dá)到Δf，即每隔Δf計算一個頻率點，那么對信號的截取時間長度L必須滿足L≥1/Δf，根據(jù)截取時間長度L和采樣時間間隔T就可以計算出截取時間信號離散化之后的序列點數(shù)N，也可以由計算采樣率 fs和頻率間隔Δf來等價計算出序列點數(shù)，即：

3.根據(jù)信號時域波形特性來應(yīng)用不同的窗函數(shù)。使用窗函數(shù)可以控制頻譜主瓣寬度、旁瓣抑制度等參數(shù)，從而更好地進(jìn)行波形頻譜分析和濾波器參數(shù)的設(shè)計。將窗函數(shù)與信號的時域波形或頻譜進(jìn)行相乘的過程，就稱為對信號做時域加窗和頻域加窗。不同窗函數(shù)與信號時域波形相乘就是以不同窗函數(shù)對時間無限長的連續(xù)信號f(t)進(jìn)行時間段截取。

（四）分析實例

現(xiàn)應(yīng)用MATLAB語言工具，使用數(shù)值計算的方法對其進(jìn)行頻譜估計。分別用矩形窗、漢明窗和漢寧窗進(jìn)行時域加窗，分析信號幅度譜曲線，程序代碼如下：

圖1 3種加窗后的幅度頻譜圖

可以看出，圖1中3種加窗后對信號的頻譜估計與理論值都有一定的誤差，這是由于在實際分析過程中，要對連續(xù)信號采樣和截斷。加矩形窗的頻譜誤差最大，那是因為事實上，加矩形窗等價于截取時不作加窗處理。從圖1中3種加窗后的幅度譜估計曲線來看，應(yīng)用漢明窗和漢寧窗都比應(yīng)用矩形窗（等價于不加窗）的估計精度要高。

（五）結(jié)論

以上對帶限確知連續(xù)時間信號的頻譜分析的數(shù)值計算方法進(jìn)行了分析，在分析過程中要對信號進(jìn)行采樣和截斷，因此會出現(xiàn)一定誤差，但只要合理選擇分析參數(shù)可以使誤差在工程允許的范圍之內(nèi)。對于隨機(jī)信號，由于是無限大能量的功率信號，它不滿足傅里葉變換條件，而且也不存在解析表達(dá)式，因此就不能夠應(yīng)用確知信號的頻譜計算方法去分析隨機(jī)信號的頻譜。但可以用以上確知信號頻譜分析的方法分析隨機(jī)信號的功率譜，因此同樣適應(yīng)于隨機(jī)信號的頻域研究。

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1008-1151(2011)04-0042-02

2011-01-18

井敏英（1978－），女，陜西富平人，陜西理工學(xué)院物理系碩士，從事通信信號處理的研究。