袁麗君，姚天祥

（南京信息工程大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，南京210044）

幾類變權(quán)強化緩沖算子的構(gòu)造方法

袁麗君，姚天祥

（南京信息工程大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，南京210044）

文章基于沖擊擾動系統(tǒng)的概念，引入了變權(quán)強化算子，以便于控制緩沖算子的作用強度；討論了緩沖算子的內(nèi)部關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了緩沖算子大小與作用強度的關(guān)系并證明其正確性，解決了傳統(tǒng)緩沖算子作用強度過強或者過弱的問題，也解決了當系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列前一部分增長（衰減）過慢后一部分增長（衰減）過快時定性分析與定量預(yù)測不符的問題；最后通過實例證明了緩沖算子的有效性和實用性。

緩沖算子；強化算子；灰色模型；GM（1，1）模型；變權(quán)緩沖

0 引言

在科學(xué)預(yù)測過程中，定量研究結(jié)果與定性分析預(yù)測會出現(xiàn)出入很大的情況，而這些情況的發(fā)生并不是在于模型的優(yōu)劣，而是由于系統(tǒng)本身受到某些沖擊波的干擾而使系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)失真。通常，沖擊擾動因素對數(shù)據(jù)序列的干擾可分為兩類：第一類是加快數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢或使數(shù)據(jù)序列的振蕩變幅度變大；第二類是減緩數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢或使數(shù)據(jù)序列的振蕩變幅度變小[3]。一旦通過某種方式尋找出系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律，就能成功解決定量研究結(jié)果與定性分析預(yù)測出入很大的問題?；疑到y(tǒng)通過對原始數(shù)據(jù)的挖掘、整理來尋求其變化規(guī)律，這種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實規(guī)律的途徑被稱為灰色序列生成[2]。通過灰色序列的生成弱化系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)的隨機性，得出規(guī)律性的數(shù)據(jù)。

劉思峰在文獻[1]提出預(yù)測陷阱的概念、緩沖算子的特性及公理系統(tǒng)，并構(gòu)造了兩類緩沖算子。文獻[4]在原有的緩沖算子的基礎(chǔ)上利用反向累積和的概念構(gòu)造了一類新的弱化算子，并討論緩沖算子之間的相互關(guān)系及其性質(zhì)，并用實例數(shù)據(jù)驗證了緩沖算子的有效性和實用性。文獻[5]將變權(quán)思想引入了緩沖算子，并利用遺傳算法探討了該類算子的優(yōu)化問題。文獻[6]在原有的緩沖算子的基礎(chǔ)上將緩沖算子與函數(shù)聯(lián)系起來，從而為緩沖算子開辟了新的方向。文獻[7]提出了一類新的弱化緩沖算子，從而解決了系統(tǒng)行為序列前一部分增長（衰減）過快后一部分增長（衰減）過慢的問題。文獻[8]中利用單調(diào)函數(shù)構(gòu)建了弱化緩沖算子，解決了定量預(yù)測與定性分析不符的問題。文獻[9]則對以往的緩沖算子進行研究，得出了相關(guān)結(jié)論。本文將基于沖擊擾動系統(tǒng)的概念，引入變權(quán)強化算子，并討論其內(nèi)部關(guān)系，分析緩沖算子大小與作用強度的關(guān)系，以期解決傳統(tǒng)緩沖算子作用強度過強或者過弱的問題，和當系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列前一部分增長（衰減）過慢后一部分增長（衰減）過快時定性分析與定量預(yù)測不符的問題。

1 基本概念

公理1[10](不動點公理)設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，則D滿足

x（n）d=x(n)

不動點公理限定系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列在序列算子的作用下，系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列中的最新信息x(n)保持不變，即運用序列算子對系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)進行作用，不改變最新信息x(n)這一即成事實[2]。

公理2[10](信息充分利用公理)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每個數(shù)據(jù)x(k)(k=1，2，…，n)都應(yīng)充分地參與算子作用的全過程。

信息充分利用公理限定序列算子都應(yīng)以現(xiàn)有數(shù)據(jù)序列中的信息為基礎(chǔ)進行構(gòu)造，不能拋開原始數(shù)據(jù)序列另搞一套[2]。

公理3[10](解析化、規(guī)范化公理)任意x(k)(k=1，2，…，n)都可由統(tǒng)一的初等解析式表達。

公理4[2]（單調(diào)性不變公理）設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，X經(jīng)序列算子D作用后所得數(shù)據(jù)序列為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則序列XD與序列X的單調(diào)性必須保持一致。

單調(diào)性不變公理限定系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列在序列算子的作用下，其單調(diào)性不能改變，否則將出現(xiàn)與實際意義相矛盾的情況[2]。

滿足上述四個公理的序列算子D成為緩沖算子，XD稱為緩沖算子作用序列。

定義1[2]設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n)d)，

（2）令M=max{x(k)k=1，2，…，n}，m=min{x(k)|k=1，2，…，n}，稱M-m為振蕩序列X的振幅。

定義2[2]設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，r(k)為數(shù)據(jù)序列X中x(k)到x(n)的平均變化率；D為作用于X的緩沖算子，X經(jīng)緩沖算子D作用后所得數(shù)據(jù)序列為XD={x (1)，x(2)d，…，x(n)d}，則稱

為緩沖算子D在k點的調(diào)節(jié)度。

調(diào)節(jié)度反映了緩沖算子對原始序列的作用強度。

2 變權(quán)強化緩沖算子

2.1 變權(quán)強化緩沖算子的構(gòu)造

定理1設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，令XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，t為權(quán)重，0≤t≤1。其中

D1不論X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或者振蕩序列時都為強化緩沖算子。

定理2 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，令XD2=(x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，t為權(quán)重，0

則D2不論X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或者振蕩序列時都為強化緩沖算子。

證明略。

定理3 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，令XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…，x(n)d3)，t為權(quán)重，0≤t<1。其中

則D3不論X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或者振蕩序列時都為強化緩沖算子。

證明略。

定理4 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(k)>0（k=1，2，…，n），令XD4=（x(1)d4，x(2)d4，…，x(n)d4），t為權(quán)重，0≤t<1。其中

則D4不論X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或者振蕩序列時都為強化緩沖算子。

證明略。

定理5 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，令XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，XD2= (x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，t為權(quán)重，0≤t<1?？傻?/p>

證明略。

定理6 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…x(n) d3)，XD4=(x(1)d4，x(2)d4，…，x(n)d4)，t為權(quán)重，0≤t<1?？傻?/p>

證明略。

定理7 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，x(k)為單調(diào)增長序列或者單調(diào)衰減序列，令XDi=(x(1)di，x(2)di，…，x(n)di)，令XDj=(x(1)dj，x(2)dj，…，x (n)dj)，并且δi(k)，δj(k)分別為Di，Dj在x(k)上的調(diào)節(jié)度（δ(k)代表緩沖算子對系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列調(diào)節(jié)度，即越大，緩沖算子對數(shù)據(jù)序列的調(diào)節(jié)度δ(k)越大，也就是對數(shù)據(jù)序列的改變就也大），有

（1）當Di、Dj都為強化緩沖算子時

（2）當Di、Dj都為弱化緩沖算子時

即當為強化緩沖算子時，緩沖后的數(shù)值越大，緩沖算子調(diào)節(jié)度越??；當為弱化緩沖算子時，緩沖后的數(shù)值越大，緩沖算子調(diào)節(jié)度也越大。

證明略。

定理8 設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且x(k)>0(k=1，2，…，n)，XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)d1)，XD2=(x (1)d2，x(2)d2，…，x(n)d2)，t為權(quán)重，0≤t<1。

XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…，x(n)d3)，XD4=(x(1)d4，x(2)d4，…，x(n) d4)，可得

δ3(k)≥δ4(k)；δ1(k)≥δ2(k)

證明略。

不論X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或者振蕩序列，D1、D2、D3、D4都為強化緩沖算子，則當系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列前一部分增長過緩而后一部分增長過快時，D1、D2、D3、D4中任一一個緩沖算子可作用于序列，對序列的數(shù)據(jù)進行強化緩沖，從而減少沖擊擾動系統(tǒng)對原始數(shù)據(jù)的干擾。但如果強化的程度不夠的話，則可調(diào)節(jié)度比較大的強化緩沖算子或者采用多階算子對其進行強化，從而提高預(yù)測進度，還原數(shù)據(jù)。

2.2 變權(quán)強化緩沖算子的應(yīng)用實例

本文以用品類零售總額[11]為例來說明變權(quán)強化緩沖算子在預(yù)測過程中的作用。選取2001～2008年用品類零售總額作為原始數(shù)據(jù)，如表1。

由表1可計算出用品類零售總額增長速度分別為9.75%，11.10%，9.88%，11.30%，12.84%，14.65%，17.71%。2005年以前的增長速度明顯慢于后面數(shù)據(jù)的增長速度。如果直接對其建模，必然導(dǎo)致預(yù)測的誤差率很高。為了及時準確地把握用品類零售總額的增長趨勢，對以后的用品類零售總額能夠進行合理的預(yù)測，就必須對前面緩慢增長的數(shù)據(jù)加以處理，使其符合2005年后的發(fā)展趨勢，在此基礎(chǔ)上進行合理預(yù)測。

下面分別運用強化緩沖算子D1、D2、D3、D4作用于2001～2007年的數(shù)據(jù)，建立GM（1，1）模型，模擬2008年食品類零售總額，并與原始數(shù)據(jù)得到的預(yù)測數(shù)據(jù)進行對比，從而說明緩沖算子的有效性和優(yōu)越性。

表1 用品類零售總額

表2 誤差對比表

（1）以原始數(shù)據(jù)直接建模，得GM（1，1）模型的時間響應(yīng)式為：作用于2001～2007年的數(shù)據(jù)得

XD1=(560.29，661.85，799.83，944.27，1140.60，1411.47，1796.05)

得GM（1，1）模型的時間響應(yīng)式：

x贊(k+1)=2801.500996e0.203313k-2241.212292

XD2=(562.63，664.09，801.92，946.09，1141.98，1412.23，1796.05)

得GM（1，1）模型的時間響應(yīng)式：

XD3=(571.06，671.34，807.82，950.32，1144.44，1413.06，1796.05)

得GM（1，1）模型的時間響應(yīng)式：

x(k+1)=2877.922092e0.200682k-2306.85913

XD4=(574.44，674.40，810.50，952.52，1146.03，1413.88 1796.05)

得GM（1，1）模型的時間響應(yīng)式：

x(k+1)=2904.287202e0.199806k-2329.846984

由表2的對比結(jié)果可以看出，在無緩沖算子作用于系統(tǒng)序列直接進行建模，2008年的用品類零售總額與實際值之間仍有比達差距；在D1、D2緩沖算子的作用下，再次進行建模，預(yù)測結(jié)果已經(jīng)得到了相應(yīng)的改善。在表2中得出D3、D4緩沖之后預(yù)測結(jié)果提高了很大一部分。由此可以看出，經(jīng)過強化算子對原數(shù)據(jù)處理后使得預(yù)測精度明顯提高。因此，當系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)前部分增長（衰減）相比后一部分增長（衰減）過慢時，可以采用此些強化算子對原數(shù)據(jù)進行強化。如果D2的強化程度不夠，則可改用D1，D3、D4；同樣，如果對數(shù)據(jù)要再強化，可以采用多階的緩沖算子理論。但四種強化算子往往使用于單調(diào)增長或單調(diào)衰減序列。

3 結(jié)語

本文主要研究了緩沖算子及其相關(guān)應(yīng)用，該緩沖算子的作用主要是對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，平滑整個數(shù)據(jù)的曲線，提高對以后數(shù)據(jù)的預(yù)測精度。雖然有些數(shù)據(jù)離亂，但只要整個數(shù)據(jù)存在著整體功能，則必然存在著某種規(guī)律。一旦尋找通過某種方式尋找出系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律，就能成功解決定量研究結(jié)果與定性分析預(yù)測出入很大的問題。此時就可以通過緩沖算子的作用對原本離亂的數(shù)據(jù)進行緩沖，從而解決定性分析與定量預(yù)測不符的問題。本文在原有研究的基礎(chǔ)上，重新構(gòu)造了變權(quán)強化緩沖算子，解決了數(shù)據(jù)序列前一部分增長（衰減）速度過緩而后一部分增長（衰減）速度過快的問題，但變權(quán)強化緩沖算子往往也只能適用于單調(diào)增長序列或者單調(diào)衰減序列。這些緩沖算子雖然有其局限性，但對其適用范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)緩沖后的預(yù)測精度都大幅度提高，從而也驗證了緩沖算子的有效性和實用性，并發(fā)現(xiàn)了緩沖算子大小與調(diào)節(jié)度的關(guān)系（系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)為單調(diào)增長序列或者單調(diào)衰減序列）：當為強化緩沖算子時，緩沖算子越大，調(diào)節(jié)度越?。划敒槿趸彌_算子時，緩沖算子越大，調(diào)節(jié)度也越大。緩沖算子理論經(jīng)過這么多年的發(fā)展已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到應(yīng)用。但緩沖算子本身存在著一定的局限性，雖然在緩沖算子的證明中是所有的單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列和振蕩序列都可以應(yīng)用緩沖算子，但往往只有在單調(diào)增長序列和單調(diào)衰減序列中的應(yīng)用得到較好的結(jié)果。所以緩沖算子的發(fā)展還存在很大的空間。

[1]劉思峰等.沖擊擾動系統(tǒng)預(yù)測陷阱與緩沖算子[J].華中理工大學(xué)學(xué)報,1997,25(1).

[2]王正新，黨耀國，劉思峰.變權(quán)緩沖算子及緩沖算子公理的補充[J].系統(tǒng)工程，2009，27（1）.

[3]崔杰，黨耀國等.一類新的弱化緩沖算子的構(gòu)造及其應(yīng)用[J].控制與決策，2008，23（7）.

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[5]王正新，黨耀國，劉思峰.變權(quán)緩沖算子及其作用強度的研究[J].控制與決策，2009，24（8）.

[6]吳正朋，劉思峰，米傳民等.基于單調(diào)函數(shù)的若干實用強化緩沖算子的構(gòu)造[J].系統(tǒng)工程，2009，27（5）.

[7]Yao-guo Dang,Jie Cui,Xue-mei Li,Chuanmin Mi.Construction of New Weakening Buffer Operators Based on New Information and Their Applications[C].Proceedings of the 2009 IEEE International Conference on Systems,Man and Cybernetics,2009.

[8]Zheng-pengWu,Si-fengLiu,Chuan-minMi.ANoteonthe Sequence of Weakening Beffer Operator[C].Proceedings of the 2009 IEEE International Conference on Systems,Man and Cybernetics,2009.

[9]Ke Zhang,ZhengpengWu,ChuanminMi,JianlingWang.Studyon theSequenceofWeakeningBufferOperatorBasedonOld Weakening Buffer Operator[J].Journal of Grey System，2008，（3）.

[10]關(guān)葉青，劉思峰.強化緩沖算子序列與多階算子的作用[J].統(tǒng)計與決策，2007.

[11]上海統(tǒng)計局.上海統(tǒng)計年鑒[M].北京：中國統(tǒng)計出版社，2009.

（責(zé)任編輯/亦民）

N941.5

A

1002-6487（2011）06-0045-03

教育部人文社會科學(xué)研究青年項目(09YJC630129)；江蘇省高校哲學(xué)社會科學(xué)基金資助項目(09SJD630059)

姚天祥（1971－），男，河南新蔡人，博士，研究方向：灰色系統(tǒng)理論。