李華青 廖曉峰 黃宏宇

(重慶大學計算機學院，重慶 400044)

基于神經網絡和滑?？刂频牟淮_定混沌系統(tǒng)同步*

李華青廖曉峰 黃宏宇

(重慶大學計算機學院，重慶 400044)

(2010年4月12日收到;2010年5月21日收到修改稿)

基于滑?？刂萍夹g和徑向基函數(shù)神經網絡，設計出一種神經滑?？刂破?，實現(xiàn)了兩個不確定混沌系統(tǒng)的同步.控制器的設計不依賴于系統(tǒng)的數(shù)學模型，只與系統(tǒng)的輸出狀態(tài)有關，而且對參數(shù)不確定性和外界干擾具有較強的穩(wěn)健性.最后，利用本方法設計出控制器實現(xiàn)了未知 Lorenz系統(tǒng)的自同步、未知 Lorenz系統(tǒng)與 Chen系統(tǒng)之間的異結構同步，而且響應時間短，同步效果好.

混沌同步，滑?？刂?，神經網絡，不確定混沌系統(tǒng)

PACS:05.45.Xt

1.引 言

1990年，Pecora和Carroll［1］在混沌同步方面作了開創(chuàng)性的研究工作.混沌同步在物理、通信、信息科學、生物工程等領域都有較好的應用前景，這激發(fā)了許多學者的研究熱情.各種混沌同步方法相繼被提出［2—11］，如耦合同步法［2］、變結構同步法［3］、自適應同步法［4］、線性和非線性反饋同步法［5—7］、脈沖同步法［8，9］、投影同步法［10，11］和其他方法［12—29］.這些同步方法大多都是在假設模型參數(shù)確定不變和沒有外界干擾的前提下給出的，即使有模型參數(shù)不確定性和外界干擾的影響，通常也僅是考慮它們滿足一定的匹配條件.在實際應用中，限于測量條件和工具的限制，外界很難精確知道系統(tǒng)的數(shù)學模型，即系統(tǒng)對于外界往往是未知的，或者系統(tǒng)受外界干擾是時變的，且外界干擾往往不滿足某種匹配條件.在這種情況下，大量依賴系統(tǒng)數(shù)學模型的同步方法就會失效［12，13］.但人們能夠較容易地獲得系統(tǒng)各個狀態(tài)的輸出，因此尋找一種只需要狀態(tài)輸出的控制器來同步未知混沌系統(tǒng)的方法有較大的實際應用價值.而這方面的研究還未見報道.

一方面，考慮到徑向基函數(shù)(RBF)神經網絡是一種局部逼近網絡，已經證明它能以任意精度逼近任意的連續(xù)函數(shù)［14］，所以RBF具有較強的處理不確定性和外界干擾的能力.另一方面，滑模變結構控制技術對于滿足一定匹配條件的模型不確定性和外界干擾具有較強穩(wěn)健性，因此被廣泛用于控制領域，但是常規(guī)滑模變結構控制伴隨的抖振會產生穩(wěn)態(tài)誤差，這在一定程度上限制了它在混沌控制中的深入應用［12］.基于以上考慮，本文設計一種含有積分項的滑模面(可以在一定程度上減弱斗振)，利用滑模變結構控制技術和RBF神經網絡，設計一種神經滑?？刂破鱽硗轿粗煦缃y(tǒng).具體步驟為:首先設計出n(系統(tǒng)維數(shù))個含有積分項的滑模面，然后分別以這n個滑模面為輸入設計n個SISO(單入單出)的RBF神經網絡，n個控制器分別為這n個RBF神經網絡的輸出.按照滑模趨近條件推導出各個網絡權值的在線調整規(guī)律.設計這種控制器只需要系統(tǒng)的狀態(tài)輸出，不必知道系統(tǒng)的精確數(shù)學模型，追蹤切換控制代價較小，而且對系統(tǒng)參數(shù)不確定性和外界干擾具有較強的穩(wěn)性.本方法還可以實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的投影步、廣義同步以及對參考信號的追等.控制器和網絡權值在線調整規(guī)律可以具有相同的形式，只需要修改滑模面即可.最后通過仿真實驗對該同步方法進行了驗證.

2.問題描述

考慮以下兩個同步的混沌系統(tǒng):

這里x，y∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量;A1，A2∈Rn×n為定常矩陣;f1(·)，f2(·)為光滑的非線性矢量;ΔA1x，ΔA2y為線性擾動項;Δf1(x，t)，Δf2(y，t)為非線性擾動項;d1(t)，d2(t)為外部干擾;u(t)∈Rn為控制輸入.定義狀態(tài)誤差為 e=y-x=［e1，e2，…，en］T，我們的目標是充分利用RBF神經網絡的在線學習能力與滑模變結構控制技術來設計一組控制器u(t)∈Rn使得定義n個滑模面為

其中ci>0.根據(jù)神經網絡的逼近原理，任何一個連續(xù)的非線性函數(shù)都可以通過理想權值和充分多的輸入基函數(shù)的神經網絡來以任意精度逼近［14，15］.為此我們設計第i個神經滑模控制器為

這里 m為隱含層個數(shù)，ωij，cij，bij∈Rn×m.接下來的任務就是根據(jù)滑模趨近條件來推導出m×n個網絡權值的在線學習調整規(guī)律.我們控制的目標是使得

那么第i個RBF神經權值調整指標為

則可以得到網絡權值在線調整規(guī)律

其中ηi>0為網絡學習率，(i=1，2，…，n)，(j=1，2，…，m).

從以上分析過程可以看出:這種控制器只需要系統(tǒng)的狀態(tài)輸出，不必知道系統(tǒng)的精確數(shù)學模型，追蹤切換控制代價較小，而且對系統(tǒng)參數(shù)不確定性和外界干擾具有較強的穩(wěn)性.

3.仿真實驗

3.1.混沌系統(tǒng)描述

Lorenz系統(tǒng)的數(shù)學模型為

當a=10，b=8/3，c=28時，系統(tǒng)(7)處于混沌狀態(tài).

Chen系統(tǒng)的數(shù)學模型為

當α=35，β=3，γ=28時，系統(tǒng)(8)處于混沌狀態(tài).

3.2.Lorenz系統(tǒng)的自同步

仿真實驗中采用步長為0.001的四階龍格-庫塔法，主 Lorenz系統(tǒng)的初始值選取為［0.2，0.91，3］;線性擾動項為δa=0.05，δb=0.04，δc=0.03;非線性擾動項為 Δf11=0，Δf12=0.1x1x3，Δf13= 0.2x1x2;外界擾動為d11(t)=0.5sin(2πt)，d12(t)= 0.3cos(πt)，d13(t)=0.5sin(2πt).從Lorenz系統(tǒng)的初始值選取為［3，2，1］，線性擾動項為δa=0.03，δb =0.04，δc=0.05;非線性擾動項為Δf21=0，Δf22= 0.2x1x3，Δf23=0.1x1x2;外界擾動為 d21(t)= 0.4sin(2πt)，d22(t)=0.4sin(2πt)，d23(t)= 0.4sin(2πt);滑模面系數(shù)為c1=c2=c3=5;RBF神經網絡的隱含層個數(shù)為m=7，高斯函數(shù)的參數(shù)為

3.3.Lorenz系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)的異結構同步

主Lorenz系統(tǒng)的參數(shù)與3.2.節(jié)選取相同的值;從Chen系統(tǒng)的初始值選取為［3，2，1］;線性擾動項為δα=0.03，δβ=0.04，δγ=0.05;非線性擾動項為Δf21=0，Δf22=0.2x1x3，Δf23=0.1x1x2;外界擾動為d21(t)=0.4sin(2πt)，d22(t)=0.4sin(2πt)，d23(t) =0.4sin(2πt);RBF神經網絡的所有參數(shù)與3.2.節(jié)相同.仿真結果如圖3，4所示.從以上仿真結果可以看出:兩個系統(tǒng)的狀態(tài)變量在利用本方法設計的控制器的作用下達到了同步，同步所需要的響應時間很短而且同步效果較好.

圖1 Lorenz系統(tǒng)自同步誤差隨時間的演化曲線 (a)e1，(b)e2，(c)e3

圖2 Lorenz系統(tǒng)自同步時控制輸入隨時間的演化曲線 (a)u1，(b)u2，(c)u3

圖3 Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的同步誤差隨時間的演化曲線 (a)e1，(b)e2，(c)e3

本文提出方案的同步性能指標取決于RBF網絡的隱含層個數(shù)、高斯函數(shù)參數(shù)、學習率和滑模面系數(shù).控制器的設計只需知道需要同步的系統(tǒng)狀態(tài)變量即可，不需要其他的非線性信息.到目前為止，許多經典的同步方法都是通過直接或者間接地抵消掉響應系統(tǒng)的非線性項來達到系統(tǒng)同步的目的.但是這些方法一方面由于非線性項的難于測量而難應用于實際領域，另一方面也會減弱受控系統(tǒng)的非線性動力學行為.本文通過結合RBF神經網絡與滑?？刂萍夹g，解決了傳統(tǒng)同步方法存在的這些不足.因為在同步過程中只需要系統(tǒng)的狀態(tài)信息，而不需要其他的任何非線性信息，這就使得響應系統(tǒng)的動力學行為不受影響.所以，本方法在同步兩個混沌系統(tǒng)方面具有較好的應用前景.此外，本方法還可以實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的投影同步、廣義同步以及對參考信號的追蹤控制等，并且控制器和網絡權值在線調整規(guī)律可以具有相同的形式，只需要修改滑模面即可.

圖4 Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的控制輸入隨時間的演化曲線 (a)u1，(b)u2，(c)u3

4.結 論

本文提出一種普遍適用的未知混沌系統(tǒng)的同步方法.所設計的神經滑模控制器和網絡權值在線調整規(guī)律具有統(tǒng)一的形式.該方法不依賴于系統(tǒng)的數(shù)學模型，只與系統(tǒng)的狀態(tài)輸出有關，而且對參數(shù)不確定性和外界干擾具有較強的穩(wěn)健性.當兩個系統(tǒng)都存在系統(tǒng)參數(shù)不確定性和外界擾動時，使用本方法能較好地實現(xiàn)同步.該方法還適用于廣義同步、投影同步和追蹤控制.

［1］Pecora L M，Carroll T L 1990 Phys.Rev.Lett.64 821

［2］Lü J H，Zhou T S 2002 Chaos Soliton.Fract.14 529

［3］Yin X H，Ren Y，Shan X M 2002 Chaos Solitton.Fract.14 1077

［4］Han X，Lu J A，Wu X 2004 Chaos Soliton.Fract.22 221

心臟移植術后急性排斥反應可引起移植物血管病變，提高心臟衰竭的風險。一旦排斥反應沒有及時處理，心肌將受到不可逆性損傷，嚴重可導致死亡。及時的免疫抑制治療可以顯著減少心臟移植急性排斥反應的發(fā)生，盡早發(fā)現(xiàn)排斥反應尤為關鍵[5-6]。

［5］Tao C H，Lu J A，Lü J H 2002 Acta Phys.Sin.51 1497(in Chinese)［陶朝海、陸君安、呂金虎2002物理學報51 1497］

［6］Chen Z S，Sun K H，Zhang T S 2005 Acta Phys.Sin.54 2580 (in Chinese)［陳志勝、孫克輝、張?zhí)┥?2005物理學報 54 2580］

［7］Sarasola C，Torrealdea F J，Anjou A D 2003 Int.J.Bifurc. Chaos 13 177

［8］Chen S H，Yang Q，Wang C P 2004 Chaos Soliton.Fract.20 751

［9］Sun J T，Zhang Y P 2003 Phys.Lett.A 36 306

［10］Liu J，Chen S H，Lu J A 2003 Acta Phys.Sin.52 1595(in Chinese)［劉 杰、陳士華、陸君安2003物理學報52 1595］

［11］Wang X Y，Wang Y 2007 Acta Phys.Sin.56 2498(in Chinese)［王興元、王 勇2007物理學報56 2498］

［12］Guo H J，Liu J H 2004 Acta Phys.Sin.53 4080(in Chinese)［郭會軍、劉君華2004物理學報53 4080］

［13］Yang S K，Chen S L，Yan H T 2002 Chaos Solition.Fract.13 767

［14］Guan X P，Tang Y G，F(xiàn)an Z P，Wang Y Q 2001 Acta Phys. Sin.50 2112(in Chinese)［關新平、唐英干、范正平、王益群2001物理學報 50 2112］

［15］Hornik K，Stinchombe M，White H 1989 Neural Networks 2 359

［16］Liu J K 2005 Matlab Simulation for Sliding Mode Control (Beijing:Tsinghua University Press)pp13—226(in Chinese)［劉金坤2005滑模變結構控制MATLAB仿真(北京:清華大學出版社)第13—226頁］

［17］Ropaei M，Zolghadri M 2009 Nonl.Anal.Theo.Meth.Appl.71 4430

［18］Hajian M，Markadeh G 2009 Ener.Conv.Mana.50 2296

［19］Kong C C，Chen S H 2009 Chin.Phys.B 18 91

［20］Yu D C，Wu A G，Yang C P 2005 Chin.Phys.B 14 914

［21］Guo H J，Yin Y W，Wang H M 2008 Chin.Phys.B 17 1652

［22］Lou X Y，Cui B T 2008 Chin.Phys.B 17 4434

［23］Li L X，Peng H P，Guan B Z，Xu J M 2001 Chin.Phys.B 10 708

［24］Yue Y J，F(xiàn)eng R P 2001 Acta Phys.Sin.50 440(in Chinese)［薛月菊、馮汝鵬2001物理學報50 440］

［25］Liu D，Yan X M 2009 Acta Phys.Sin.58 3747(in Chinese)［劉 丁、閆曉妹2009物理學報58 3747］

［26］Li X C，Xu W，Xiao Y Z 2008 Acta Phys.Sin.57 4721(in Chinese)［李秀春、徐 偉、肖玉柱2008物理學報57 4721］

［27］Liu F C，Song J Q 2008 Acta Phys.Sin.57 4729(in Chinese)［劉福才、宋佳秋2008物理學報57 4729］

［28］Yang T，Shao H H 2005 Acta Phys.Sin.54 4584(in Chinese)［楊 濤、邵惠鶴2005物理學報54 4584］

［29］Yau H T，Yan J J 2009 Nonl.Anal.Real World Appl.10 1480

PACS:05.45.Xt

Synchronization of uncertain chaotic systems based on neural network and sliding mode control*

Li Hua-QingLiao Xiao-Feng Huang Hong-Yu
(College of Computer Science，Chongqing University，Chongqing 400044，China)

12 April 2010;revised manuscript

21 May 2010)

The synchronization between two unknown chaotic systems is achieved by designing a controller based on the sliding mode control technique and radial basis function neural network.The controller design method is independent of the system mathematical model，but only depends on the output of the system state.Moreover，it is robust to parameter uncertainties and the outside interference.Finally，synchronization between unknown Lorenz systems and between unknown Lorenz system and Chen system are achieved using the proposed method.The response time is very short and the synchronization performance is good.

chaos synchronization，sliding mode control，neural network，uncertain chaotic system

*中央高?；究蒲袠I(yè)務費(批準號:CDJXS10180012)和國家自然科學基金(批準號:60973114，61003247)資助的課題.

*Project Supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities of China(Grant No.CDJXS10180012)and the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.60973114，61003247).