冷永剛

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

雙穩(wěn)調(diào)參高頻共振機(jī)理*

冷永剛

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

(2010年3月15日收到;2010年5月19日收到修改稿)

針對(duì)雙穩(wěn)系統(tǒng)的高頻信號(hào)響應(yīng)，探討了雙穩(wěn)調(diào)參的高頻共振機(jī)理.研究表明，二次采樣頻率變換并不改變雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)直接在原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上在與高頻映射對(duì)應(yīng)的低頻處實(shí)現(xiàn)共振，而雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)是調(diào)參改變雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)并直接在高頻處實(shí)現(xiàn)共振.雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)之所以能夠?qū)崿F(xiàn)高頻隨機(jī)共振，是因?yàn)橥瑫r(shí)調(diào)節(jié)雙穩(wěn)系統(tǒng)兩參數(shù)可使Kramers逃逸速率不存在極限值，突破了隨機(jī)共振信號(hào)頻率必須在小頻率范圍內(nèi)的限制.

雙穩(wěn)系統(tǒng)，高頻共振，二次采樣頻率變換，系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)

PACS:05.45.-a，05.40.-a，02.60.Cb

1.引 言

雙穩(wěn)系統(tǒng)是一種可以用于信息處理的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，系統(tǒng)在周期信號(hào)和噪聲的共同作用下會(huì)產(chǎn)生所謂的隨機(jī)共振(SR)現(xiàn)象［1，2］，即系統(tǒng)在添加最優(yōu)噪聲強(qiáng)度時(shí)對(duì)弱輸入的響應(yīng)會(huì)被放大，或系統(tǒng)輸出信噪比在一定的噪聲水平范圍內(nèi)可取得最優(yōu)值.為了充分利用雙穩(wěn)隨機(jī)共振特性，有效提取特征信息，文獻(xiàn)［3—9］分別提出了調(diào)諧非線性系統(tǒng)參數(shù)和改變頻率/步長(zhǎng)尺度參數(shù)等方法.這種通過(guò)調(diào)整或控制雙穩(wěn)動(dòng)力方程參數(shù)實(shí)現(xiàn)特征信息檢測(cè)的方法很適合于實(shí)際信號(hào)處理，是一種不需要知道信號(hào)先驗(yàn)信息的非相關(guān)的有效檢測(cè)方法.

為了掌握雙穩(wěn)隨機(jī)共振的參數(shù)調(diào)節(jié)規(guī)律，文獻(xiàn)［10］就雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)和二次采樣頻率參數(shù)在過(guò)共振、欠共振和隨機(jī)共振三者之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)聯(lián)性進(jìn)行了論述分析，得出改變雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)和/或二次采樣頻率參數(shù)都可以使過(guò)共振或欠共振轉(zhuǎn)化為隨機(jī)共振狀態(tài)的結(jié)論.文獻(xiàn)［11］根據(jù)Kramers逃逸速率闡述了雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)和二次采樣頻率參數(shù)之間的調(diào)諧關(guān)系，認(rèn)為隨機(jī)共振信號(hào)的頻率被Kramers逃逸速率制約在小參數(shù)頻率范圍內(nèi)，而二次采樣頻率尺度可以把任意信號(hào)頻率映射變換到隨機(jī)共振的頻率尺度上.這些分析結(jié)果主要是針對(duì)經(jīng)典小頻率雙穩(wěn)隨機(jī)共振的實(shí)現(xiàn)及其參數(shù)關(guān)聯(lián)性進(jìn)行了闡述，而對(duì)于任意高頻或大頻率信號(hào)的隨機(jī)共振研究，目前除了超導(dǎo)量子隧道［12］和 Chua電子線路［13］的硬件高頻隨機(jī)共振以及二次采樣［8，11］的映射高頻隨機(jī)共振研究外尚鮮有報(bào)道，特別是高頻隨機(jī)共振參數(shù)關(guān)聯(lián)性的研究則更少.

本文以雙穩(wěn)系統(tǒng)為研究對(duì)象，研究在高頻或大頻率輸入信號(hào)條件下系統(tǒng)的響應(yīng)特性以及雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)和二次采樣頻率參數(shù)之間的調(diào)諧關(guān)系，從理論上對(duì)雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)和二次采樣頻率參數(shù)調(diào)節(jié)的高頻隨機(jī)共振機(jī)理加以闡述分析.

2.確定性雙穩(wěn)共振模型的調(diào)參研究

雙穩(wěn)系統(tǒng)通常表示為下列勢(shì)函數(shù)形式

其中a和b為系統(tǒng)參數(shù).在驅(qū)動(dòng)力為單頻正弦信號(hào)s(t)=Asin(2πf0t)和噪聲強(qiáng)度為D的白噪聲n(t)的共同作用下，雙穩(wěn)系統(tǒng)的動(dòng)力方程可表示為下列隨機(jī)方程，稱為L(zhǎng)angevin方程

上式的勢(shì)壘高度為ΔU=a2/(4b)，其兩個(gè)穩(wěn)態(tài)值分別位于雙穩(wěn)系統(tǒng)的兩個(gè)勢(shì)阱，于是可得勢(shì)阱之間的距離為當(dāng)D=0無(wú)噪聲輸入時(shí)，方程(2)成為下列確定性雙穩(wěn)動(dòng)力方程

為了研究確定性方程(3)在大頻率或高頻條件下的雙穩(wěn)確定共振特性，并易于后續(xù)對(duì)比分析說(shuō)明，下面先給出可產(chǎn)生雙穩(wěn)確定共振的一組小頻率參數(shù)

其中信號(hào)頻率f0對(duì)采樣頻率 fs的歸一化為固定值500.取數(shù)值計(jì)算長(zhǎng)度為50000點(diǎn)，數(shù)值積分步長(zhǎng)為Δt=1/fs.方程(3)對(duì)這組參數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如圖1所示，其中只顯示5000點(diǎn)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度.

從圖1知，因?yàn)樾盘?hào)幅度 A大于臨界值 Ac≈0.38，且信號(hào)頻率 f0=0.01足夠小，因此在系統(tǒng)參數(shù)a=1和b=1這樣的雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)下，系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到雙穩(wěn)確定共振.

將(4)式的參數(shù)信號(hào)頻率增大到高頻或大頻率，為方便分析計(jì)算，取f0=10，其他參數(shù)與(4)式一致，顯示50000點(diǎn)全部計(jì)算數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，得到圖2的系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)果.

由圖2知，雖然信號(hào)幅度A仍然大于臨界值A(chǔ)c，但由于信號(hào)頻率超出雙穩(wěn)共振所要求的小頻率參數(shù)范圍，系統(tǒng)響應(yīng)無(wú)法跟上大頻率信號(hào)的變化，因此系統(tǒng)響應(yīng)最終維持在一個(gè)阱內(nèi)的振蕩而不能達(dá)到雙穩(wěn)確定共振.下面以圖2的高頻雙穩(wěn)響應(yīng)為基準(zhǔn)，分別討論二次采樣頻率變換和雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)的雙穩(wěn)確定共振機(jī)理.

圖1 確定性雙穩(wěn)模型的小頻率響應(yīng) a=b=1，A=0.5，f0= 0.01

圖2 確定性雙穩(wěn)模型的大頻率響應(yīng) a=b=1，A=0.5，f0=10

2.1.二次采樣頻率變換的高頻雙穩(wěn)確定共振機(jī)理

二次采樣頻率變換的原理是:通過(guò)一個(gè)頻率尺度R(R是大于零的有理數(shù))，將高頻信號(hào)變換為一個(gè)符合雙穩(wěn)共振的小頻率信號(hào)，然后對(duì)小頻率信號(hào)進(jìn)行共振并識(shí)別其特征信號(hào)成分，最后再按尺度系數(shù)R將小頻率信號(hào)恢復(fù)為原來(lái)的大頻率信號(hào).二次采樣頻率變換是一種等價(jià)線性映射變換，它并沒(méi)有改變雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸入信號(hào)特征［11］.

設(shè)經(jīng)過(guò)頻率尺度 R變換后的信號(hào)頻率為 f′0= f0/R，根據(jù)二次采樣頻率變換保持輸入信號(hào)特征不變性可得變換后的時(shí)間尺度為t′=Rt，于是方程(3)變換為

上式并不是真正的二次采樣頻率變換方程，因?yàn)樗鼉H僅是通過(guò)系數(shù)R的等價(jià)代換把方程(3)變換為方程(5)，在相同輸入條件下，無(wú)論R取何值它都與方程(3)有相同的解，換言之，方程(5)不能在小頻率f′0處產(chǎn)生對(duì)應(yīng)大頻率 f0的雙穩(wěn)確定共振.例如，對(duì)圖2的大頻率參數(shù)，令 R=1000，雖然頻率 f0=10被壓縮到雙穩(wěn)共振需要的小頻率f′0=0.01，且數(shù)值積分步長(zhǎng)變?yōu)棣′=RΔt，但方程(5)的解仍然是圖2的結(jié)果，得不到圖1的雙穩(wěn)確定共振形式.進(jìn)一步分析其原因在于，與方程(3)相比，方程(5)的雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)和信號(hào)幅度都發(fā)生了變化，使得勢(shì)壘和信號(hào)幅度分別變成 ΔU′=［a2/(4b)］/R=ΔU/R和A′=A/R，勢(shì)阱間距未改變，有Δx′=Δx.在方程(5)勢(shì)壘ΔU′和勢(shì)阱間距Δx′的雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)以及信號(hào)幅度A′條件下，變換后的小頻率f′0=0.01已不能與之匹配產(chǎn)生雙穩(wěn)確定共振，因?yàn)樵谛☆l率f′0=0.01處產(chǎn)生雙穩(wěn)確定共振的條件是方程(3)在參數(shù)(4)條件下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)ΔU，Δx和信號(hào)幅度A.

為了真正實(shí)現(xiàn)圖2大頻率的二次采樣頻率變換的雙穩(wěn)確定共振，我們需要讓二次采樣頻率變換只改變頻率和時(shí)間尺度而不改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號(hào)幅度，以保證變換后的小頻率的匹配條件.根據(jù)上面的分析，一個(gè)簡(jiǎn)單的方法即把方程(5)的系數(shù)1/R直接去掉就能滿足這些要求，二次采樣頻率變換方程實(shí)際上應(yīng)該是

方程(6)就是實(shí)現(xiàn)高頻或大頻率雙穩(wěn)確定共振的二次采樣頻率變換方程，在不改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)條件下，它能夠?qū)θ我飧哳l信號(hào)進(jìn)行壓縮變換，得到與之對(duì)應(yīng)的雙穩(wěn)確定共振小頻率或低頻.不難理解，在R=1000的壓縮比下，圖2參數(shù)按照方程(6)的變換只改變了頻率和時(shí)間尺度而其他參數(shù)沒(méi)有改變，變換后的參數(shù)與(4)式的參數(shù)一樣，于是可實(shí)現(xiàn)圖1那樣對(duì)應(yīng)f0=10的高頻雙穩(wěn)確定共振.

從方程(5)到方程(6)的轉(zhuǎn)化僅僅是一個(gè)系數(shù)的取舍而已，但正是這系數(shù)的取舍產(chǎn)生了積極的效果.比較方程(3)與方程(6)容易知道，兩方程的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)一致，輸入信號(hào)幅度一樣，所不同的僅僅是輸入的時(shí)間(或頻率)尺度不同.只要能夠確定兩方程時(shí)間尺度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么就可以將兩方程的頻率關(guān)系確定下來(lái)，即確定大頻率或高頻與小頻率或低頻的映射關(guān)系，這就是二次采樣頻率變換的核心所在.

2.2.雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)的高頻雙穩(wěn)確定共振機(jī)理

雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)a和b的調(diào)節(jié)是否能夠?qū)崿F(xiàn)高頻或大頻率信號(hào)的雙穩(wěn)確定共振，可以仿照二次采樣頻率變換的過(guò)程進(jìn)行分析.仍然以系數(shù)R作為變換因子，為易于比較，設(shè)方程(3)中參數(shù)a和b及軌道解x有下列變換

于是方程(3)變換為

如果繼續(xù)將系數(shù)R引入到方程(8)的時(shí)間和頻率尺度的變換，并保持輸入信號(hào)特征不變，即令f′0= Rf0和t′=t/R，則方程(8)又可變換為

dx′/dt′=a′x′-b′x′3+Asin(2πf′0t′).(9)

根據(jù)2.1節(jié)的分析，同樣由于都是通過(guò)R的等價(jià)代換，因此方程(8)，(9)與方程(3)有同樣的軌道解形式，只是在數(shù)值上方程(8)和(9)的解x′需要按照x=x′/R恢復(fù)為方程(3)的解x.所以，對(duì)于圖2的高頻情況，不管R取何值，無(wú)論是方程(8)在原來(lái)t尺度的大頻率 f0處還是方程(9)在變換t′尺度的小頻率f′0處都不會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的雙穩(wěn)確定共振，系統(tǒng)響應(yīng)仍然都是圖2形式.方程(9)不能在f′0處產(chǎn)生雙穩(wěn)確定共振容易理解，因?yàn)槠湎到y(tǒng)參數(shù)的變化引起系統(tǒng)的勢(shì)壘和勢(shì)阱間距的變化，與變換后的f′0在原幅度A下已無(wú)法匹配形成共振，這一點(diǎn)與方程(5)的情況類似.所以由系統(tǒng)參數(shù)變換所引起的時(shí)間和頻率尺度的改變一般無(wú)法實(shí)現(xiàn)變換頻率處的雙穩(wěn)確定共振.下面不考慮方程(9)，重點(diǎn)研究方程(8).

方程(8)只涉及系統(tǒng)參數(shù)變換而時(shí)間頻率尺度不變，它與方程(5)有相同的構(gòu)造形式，但二者區(qū)別是方程(8)只調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)而方程(5)只調(diào)節(jié)時(shí)間頻率尺度，二者的解的數(shù)值相差 R倍數(shù).為研究方程(8)的雙穩(wěn)響應(yīng)特性，仿照方程(5)到方程(6)的轉(zhuǎn)化，將方程(8)中的系數(shù)1/R去掉得

對(duì)方程(10)按照?qǐng)D2的大頻率參數(shù)進(jìn)行求解，當(dāng)變換系數(shù)R=1000時(shí)，方程(10)的解象方程(6)那樣也達(dá)到雙穩(wěn)確定共振，如圖3，其中只顯示5000點(diǎn)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度.圖3清楚地表明，按照方程(10)，不改變輸入而只改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)即調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)是可以實(shí)現(xiàn)高頻或大頻率雙穩(wěn)確定共振的.稱方程(10)是系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)的雙穩(wěn)變換方程.

圖3 確定性雙穩(wěn)模型調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)的大頻率響應(yīng) a′=1000，b′=10003，A=0.5，f0=10

同樣也是一個(gè)系數(shù)的取舍，從方程(8)到方程(10)的轉(zhuǎn)化也產(chǎn)生了積極的效果.方程(10)通過(guò)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)改變了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，使得系統(tǒng)的勢(shì)壘和勢(shì)阱間距分別變換為 ΔU′=ΔU/R和 Δx′=Δx/R.顯然，由于R1，因此系統(tǒng)變換后的勢(shì)壘和勢(shì)阱間距被壓縮得很小，與變換前的雙穩(wěn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相比，變換后的系統(tǒng)幾乎可看成一個(gè)“微雙穩(wěn)系統(tǒng)”.于是，幅度不變的高頻輸入信號(hào)在極低的勢(shì)壘和極短的勢(shì)阱間距條件下，可輕易越過(guò)勢(shì)壘并消耗很少的時(shí)間快速在兩微勢(shì)阱之間做來(lái)回的躍遷運(yùn)動(dòng).或者說(shuō)，在新的微雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)ΔU′和Δx′條件下，高頻信號(hào)與之達(dá)到匹配產(chǎn)生雙穩(wěn)確定共振.

2.3.確定性雙穩(wěn)模型的統(tǒng)一與各參數(shù)間的關(guān)聯(lián)性

方程(10)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)的雙穩(wěn)共振與方程(6)二次采樣頻率變換的雙穩(wěn)共振有著不同的實(shí)現(xiàn)機(jī)理.一方面，方程(10)直接在高頻處實(shí)現(xiàn)雙穩(wěn)確定共振，而方程(6)是在與高頻映射對(duì)應(yīng)的低頻處實(shí)現(xiàn)雙穩(wěn)確定共振.另一方面，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變化上看，方程(6)不改變雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)直接在原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生雙穩(wěn)確定共振，而方程(10)要改變雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)來(lái)產(chǎn)生雙穩(wěn)確定共振.

仔細(xì)分析方程(10)和方程(6)可以發(fā)現(xiàn)，如果把方程(10)的系統(tǒng)參數(shù)和響應(yīng)軌跡的尺度還原回去，同時(shí)把方程(6)的時(shí)間頻率尺度也還原回去，那么會(huì)得到同一個(gè)方程

稱方程(11)為共性變換方程.由于是同一個(gè)系數(shù)R的等價(jià)變換，因此方程(11)與方程(10)和(6)有相同形式的解或有相同的響應(yīng)波形.也即是說(shuō)，共性變換方程(11)僅僅通過(guò)一個(gè)尺度系數(shù)R的變換調(diào)整就可將方程(10)和(6)進(jìn)行統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)高頻雙穩(wěn)確定共振.

進(jìn)一步比較方程(3)和方程(11)，兩方程只差一個(gè)系數(shù)R，方程(3)等號(hào)右端整體乘以系數(shù)R就是方程(11)，這說(shuō)明只要將方程(3)的系統(tǒng)參數(shù)a和b以及信號(hào)幅度A都同時(shí)放大(或縮小)R倍就能夠?qū)崿F(xiàn)高頻或大頻率的雙穩(wěn)確定共振.例如，對(duì)于圖2的大頻率參數(shù)，當(dāng)R=1000時(shí)，方程(11)的解的形式就是圖3，只是解的數(shù)值大小是圖3的1000倍;或當(dāng)R=1000時(shí)，方程(11)的解就是圖1，只是解的時(shí)間尺度是圖1的1/1000倍.

顯然，方程(11)也是通過(guò)改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)雙穩(wěn)確定共振的，但其實(shí)現(xiàn)機(jī)制不同于方程(10)的情況.方程(10)把雙穩(wěn)系統(tǒng)的勢(shì)壘和勢(shì)阱間距同時(shí)縮小，而方程(11)只把勢(shì)壘抬高了 R倍，即 ΔU′= RΔU，而保持勢(shì)阱間距不變，有 Δx′=Δx.在勢(shì)壘增高的情況下，本應(yīng)該雙穩(wěn)躍遷更難實(shí)現(xiàn)，但因方程(11)把信號(hào)幅度也同時(shí)放大R倍，即A′=RA，則有可能高頻信號(hào)在新勢(shì)壘ΔU′的雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)和新的信號(hào)幅度A′下達(dá)到匹配而產(chǎn)生雙穩(wěn)確定共振.

上述分析一直未考慮變換對(duì)系統(tǒng)臨界值的影響，而是從雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)的變化與信號(hào)本身的關(guān)系進(jìn)行了討論.實(shí)際上，二次采樣頻率變換方程(6)和雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)方程(10)對(duì)系統(tǒng)的臨界值A(chǔ)c不產(chǎn)生影響，正如兩方程對(duì)信號(hào)幅度不產(chǎn)生影響一樣.共性變換方程(11)使臨界值擴(kuò)大了R倍，但同時(shí)也使信號(hào)幅度擴(kuò)大了R倍.所以從臨界值角度看，無(wú)論方程(6)，(10)和(11)的哪個(gè)變換，始終信號(hào)幅度大于系統(tǒng)的臨界值，這為雙穩(wěn)共振的產(chǎn)生具備了基本條件.

3.雙穩(wěn)隨機(jī)共振模型的調(diào)參研究

當(dāng)噪聲存在時(shí)，雙穩(wěn)動(dòng)力方程是隨機(jī)方程(2)，此時(shí)即使信號(hào)幅度A

圖4 隨機(jī)雙穩(wěn)模型的小頻率響應(yīng) a=b=1，A=0.3，f0= 0.01，D=0.31

圖5 隨機(jī)雙穩(wěn)模型的大頻率響應(yīng) a=b=1，A=0.3，f0= 10，D=0.31

如果把信號(hào)頻率提高，例如仍然取f0=10，其他參數(shù)同圖4的參數(shù)，則方程(2)的響應(yīng)如圖(5)所示.可以看到，由于信號(hào)頻率超出隨機(jī)共振要求的小頻率范圍，因此噪聲的作用不足以使系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到雙穩(wěn)隨機(jī)共振，最終系統(tǒng)響應(yīng)只能維持在一個(gè)阱內(nèi)的振蕩.

如同雙穩(wěn)確定共振分析那樣，下面以圖5為基準(zhǔn)，探討二次采樣頻率變換和雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)的高頻隨機(jī)共振機(jī)理.

3.1.隨機(jī)雙穩(wěn)模型的統(tǒng)一與各參數(shù)間的關(guān)聯(lián)性

如果隨機(jī)方程(2)分別按照二次采樣頻率變換方程(6)和雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)方程(10)以及共性變換方程(11)的方式進(jìn)行變換，那么可分別對(duì)應(yīng)得到下列方程:

對(duì)于方程(2)到方程(13)的系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)變換，噪聲強(qiáng)度與分布都未發(fā)生變化，兩方程的噪聲一致.根據(jù)方程(10)的分析，在極低的勢(shì)壘和極短的勢(shì)阱間距的微雙穩(wěn)系統(tǒng)條件下，盡管信號(hào)頻率超出隨機(jī)共振的小頻率范圍，但信號(hào)仍然可輕易越過(guò)勢(shì)壘并在極短的時(shí)間內(nèi)快速在兩微勢(shì)阱之間做來(lái)回的躍遷運(yùn)動(dòng)，形成高頻隨機(jī)共振.例如，當(dāng)變換系數(shù)R=1000時(shí)，方程(13)對(duì)圖5參數(shù)的解如圖6所示，其中只顯示5000點(diǎn)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度.比較圖6與圖4，實(shí)際上兩圖形完全一致，只是縱、橫坐標(biāo)值相差1000倍，這一點(diǎn)參照雙穩(wěn)確定共振分析易于理解.

圖6 隨機(jī)雙穩(wěn)模型調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)的大頻率響應(yīng) a′=1000，b′=10003，A=0.3，f0=10，D=0.31

如果把方程(12)和(13)分別按照R尺度和變換式(7)進(jìn)行還原，則兩方程都變成方程(14)，也稱為共性變換方程.既然是同一尺度變換的不同形式的方程，當(dāng)然(12)，(13)和(14)方程有同樣的解形式或圖形，差別僅僅是解的數(shù)值的倍數(shù)關(guān)系.與方程(2)比較，方程(14)是將方程(2)的系統(tǒng)參數(shù)a和b以及信號(hào)幅度 A和噪聲 n(t)都同時(shí)放大(或縮小)R倍而實(shí)現(xiàn)高頻或大頻率隨機(jī)共振的，其隨機(jī)共振機(jī)理這里不再贅述，可參考方程(11).

因此，含噪聲的共性變換方程(14)可通過(guò)一個(gè)尺度系數(shù)R的變換調(diào)整就能將方程(12)和(13)進(jìn)行統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)高頻或大頻率的隨機(jī)共振.

3.2.Kramers逃逸速率與雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)和二次采樣頻率尺度的調(diào)諧關(guān)系

文獻(xiàn)［11］曾對(duì)Kramers逃逸速率與雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)和二次采樣頻率尺度的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行了討論，認(rèn)為Kramers逃逸速率存在極限值，該極限值制約了系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)產(chǎn)生大頻率的隨機(jī)共振，而只能靠二次采樣頻率的壓縮實(shí)現(xiàn)大頻率的隨機(jī)共振.實(shí)際上，這一結(jié)論僅僅考慮了雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)a和b中的某一單個(gè)因素，而沒(méi)有把兩參數(shù)因素聯(lián)合起來(lái)進(jìn)行考慮，因此具有一定的局限性.下面將雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)a和b相互聯(lián)系起來(lái)考慮，進(jìn)一步闡述雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)的高頻隨機(jī)共振機(jī)理.

根據(jù)雙穩(wěn)方程(2)，Kramers逃逸速率rk可表示為

在一定噪聲強(qiáng)度范圍內(nèi)，分別調(diào)節(jié)參數(shù)a或b都會(huì)使 Kramers逃逸速率 rk趨于一個(gè)極限值，如果系統(tǒng)輸入信號(hào)頻率 f0小于這一極限值的一半，且存在rk/2=f0，那么隨機(jī)共振現(xiàn)象可以產(chǎn)生.反之，如果系統(tǒng)輸入信號(hào)頻率f0超過(guò)極限值rklim的一半，那么單獨(dú)調(diào)節(jié)參數(shù)a或b，系統(tǒng)響應(yīng)是很難產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象的.現(xiàn)在同時(shí)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)a和b進(jìn)行調(diào)節(jié)，調(diào)節(jié)規(guī)則是同時(shí)使 a和 b增大(或縮小)，例如按照變換式(7)同時(shí)調(diào)節(jié)a和b，那么會(huì)得到圖7的 Kramers逃逸速率與噪聲關(guān)系的 rk—D曲線.

圖7 Kramers逃逸速率rk隨噪聲強(qiáng)度D的變化

從圖7知，在一定噪聲強(qiáng)度范圍內(nèi)，如D<1，單參數(shù)a或b調(diào)節(jié)的Kramers逃逸速率存在極限值，如a=1和b=1時(shí)該極限值比0.1稍大一些，見(jiàn)圖中的水平虛線.但當(dāng)同時(shí)對(duì)a和b調(diào)節(jié)時(shí)，隨著a和b的同時(shí)增大(或縮小)，rk—D曲線可以整體一直上移(或下移)，不存在Kramers逃逸速率極限值的限制.這意味著，如果信號(hào)頻率f0很大，那么可以不斷同時(shí)增大a和b來(lái)提高逃逸速率rk值向2f0逼近，直到Kramers逃逸速率與信號(hào)頻率達(dá)到匹配，即在高頻或大頻率處實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振.

比較二次采樣頻率變換與雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)同時(shí)調(diào)節(jié)兩種實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振的方法，前者是調(diào)節(jié)信號(hào)頻率f0趨于逼近 Kramers逃逸速率的一半即 rk/2，且rk/2通常屬于小頻率參數(shù)范圍;而后者則是同時(shí)調(diào)節(jié)a和b使rk/2去逼近符合信號(hào)頻率f0.

因此，如果把某一條Kramers逃逸速率曲線看作隨機(jī)共振頻率曲線，那么無(wú)論信號(hào)頻率 f0多大(或多小)，二次采樣頻率尺度不改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可以把該信號(hào)頻率映射變換到隨機(jī)共振頻率曲線上來(lái)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振，而雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)的同時(shí)調(diào)節(jié)則通過(guò)改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)驅(qū)使隨機(jī)共振頻率曲線穿越信號(hào)頻率點(diǎn)來(lái)達(dá)到隨機(jī)共振.

4.結(jié) 論

本文研究了雙穩(wěn)系統(tǒng)調(diào)參的高頻或大頻率共振機(jī)理，參數(shù)調(diào)節(jié)包括二次采樣頻率變換和雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)，前者是不改變雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)直接在原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上在與高頻映射對(duì)應(yīng)的低頻處實(shí)現(xiàn)共振，而后者是調(diào)參改變雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)直接在高頻處實(shí)現(xiàn)共振.二次采樣頻率變換和雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)的變換方程均可統(tǒng)一成為一個(gè)共性變換方程，此共性變換方程也是通過(guò)一個(gè)尺度系數(shù)的變換調(diào)整就可實(shí)現(xiàn)高頻或大頻率的雙穩(wěn)確定共振或隨機(jī)共振.當(dāng)同時(shí)調(diào)節(jié)雙穩(wěn)系統(tǒng)兩參數(shù)時(shí)，Kramers逃逸速率將不存在極限值.這也就是說(shuō)，隨機(jī)共振信號(hào)的頻率不再因?yàn)镵ramers逃逸速率而被限制在小頻率參數(shù)范圍內(nèi).因此，高頻或大頻率的隨機(jī)共振既可通過(guò)二次采樣頻率尺度把任意信號(hào)頻率映射變換到隨機(jī)共振的頻率尺度上實(shí)現(xiàn)，也可通過(guò)同時(shí)調(diào)節(jié)雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)使Kramers逃逸速率的一半達(dá)到實(shí)際信號(hào)的大頻率來(lái)實(shí)現(xiàn).

［1］Benzi R，Sutera A，Vulpiana A 1981 Phys.A 14 L453

［2］Benzi R，Parisi G，Sutera A，Vulpiana A 1982 Tellus 34 11

［3］Jung P 1995 Phys.Lett.A 220 219

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［5］Mason J，Lindner J F，Neff J，Ditto W L，Bulsara A R，Spano M L 2000 Pyhs.Lett.A 277 13

［6］Li J L 2009 Chin.Phys.B 18 5196

［7］Lin M，Huang YM，F(xiàn)ang L M 2008 Acta Phys.Sin.57 2041 (in Chinese)［林 敏、黃詠梅、方利民 2008物理學(xué)報(bào) 57 2041］

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PACS:05.45.-a，05.40.-a，02.60.Cb

Mechanism of high frequency resonance of parameter-adjusted bistable system*

Leng Yong-Gang

(School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)
(Received 15 March 2010;revised manuscript received 19 May 2010)

For clarifying the response of a bistable system to a high-frequency signal，the mechanism of high-frequency resonance with parameter-adjusted bistable system is investigated.It was shown that the method of twice sampling frequency transformation does not change the bistable system structure to realize resonance at the low frequency corresponding to the high frequency，and that the method of tuning bistable system parameters can directly realize resonance at the high frequency through adjusting the system parameters to change the system structure.The reason for the realization of high-frequency stochastic resonance of tuning system parameters is that adjusting the two parameters of the bistable system simultaneously leads to no limiting value for Kramers rate，and hence the limitation of stochastic resonance frequency within small frequency range is broken through.

bistable system，high frequency resonance，twice sampling frequency transformation，tuning of system parameters

*國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):50975202)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.50975202).