趙雄飛，劉永葆，賀 星，劉建華

（海軍工程大學(xué) 船舶與動力學(xué)院，武漢 430033）

0 引言

在燃?xì)廨啓C(jī)氣路故障診斷過程中，針對所給出的燃?xì)廨啓C(jī)各部件特性曲線以及實(shí)際工作曲線，建立其部件特性方程，確定研究對象的精確數(shù)學(xué)模型，是實(shí)施正確診斷的必要前提。在一般情況下，采用曲線擬合的方法來建立部件特性方程。周密[1]在研究燃?xì)廨啓C(jī)氣路故障診斷中，采用最小二乘法對壓氣機(jī)與渦輪部件特性曲線進(jìn)行擬合，取得了較好的擬合結(jié)果；Taik-Min Lee等[2]將精確的雙弧線擬合算法應(yīng)用到非球面加工，擬合結(jié)果與球面實(shí)際情況吻合，為進(jìn)一步分析奠定了基礎(chǔ)；賀星[3]針對燃?xì)廨啓C(jī)性能退化，在建模過程中采用了改進(jìn)的麥夸爾特算法擬合部件特性曲線；袁萃等[4]在飛行器飛行仿真研究中，應(yīng)用曲線擬合方法替代插值方法，減少了輸入?yún)?shù)數(shù)量，從而提高了仿真精度；方前[5]對風(fēng)扇特性曲線進(jìn)行擬合，考慮了邊界約束條件，提高了擬合精度；Verboven.P等[6]對多幅值相應(yīng)曲線進(jìn)行擬合，并將擬合結(jié)果用于模型的參數(shù)估計(jì)中，取得了較好的效果；曾嶸[7]將SVM算法中的回歸機(jī)應(yīng)用于曲線擬合過程中，從而對機(jī)械故障進(jìn)行診斷，但在實(shí)際擬合過程中，如何選擇合適的擬合函數(shù)與擬合次數(shù)，對其精確度有著至關(guān)重要的影響；劉喜超等[8]采用偏最小二乘法對壓氣機(jī)特性曲線進(jìn)行了擬合，并用相對誤差和相關(guān)系數(shù)平方指標(biāo)評價了擬合結(jié)果；Bo-Suk Yang[9]采用均方差、標(biāo)準(zhǔn)差線性關(guān)系度來評定擬合精度，均取得了較好的效果。趙世榮[10]提出了以訓(xùn)練樣本、測試樣本誤差平方和的平方根作為建模的評價標(biāo)準(zhǔn)來評定所建模型的準(zhǔn)確性。

本文以5種擬合檢驗(yàn)指標(biāo)，結(jié)合所選算法優(yōu)選出最佳的特性方程擬合次數(shù)，使得到的擬合方程在最大程度上反映實(shí)際曲線運(yùn)行規(guī)律，從而降低了建模誤差。

1 統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)指標(biāo)的引入

本文引入5個統(tǒng)計(jì)學(xué)擬合檢驗(yàn)指標(biāo)，以檢驗(yàn)特性方程擬合次數(shù)是否恰當(dāng)，并計(jì)算得出最佳的擬合次數(shù)。

1.1 相關(guān)系數(shù)平方指標(biāo)R2

式中：yi為測量值為擬合值為樣本均值。

相關(guān)系數(shù)平方越接近1，擬合效果越好。

1.2 均方差指標(biāo)RMSE

式中：N為實(shí)際測量樣本總數(shù)。

均方差越接近0，擬合效果越好。

1.3 相對誤差平方和SRES

相對誤差平方和越小，擬合效果越好。

1.4 檢驗(yàn)指標(biāo)Q1

在式（4）中，假設(shè)yi服從正態(tài)分布，卡方系數(shù)χ2以自由度（N-n-1）為期望值。當(dāng) χ2-（N-n-1）越小，則擬合精度越高；在（N-n-1）附近時，擬合是合理的。反之，當(dāng)＞＞（N-n-1），則可能是由選擇的擬合函數(shù)形式不合適、方差估計(jì)太小、樣本誤差等原因造成。其中n+1是多項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)目。由于本文數(shù)據(jù)是通過部件特性曲線離散化后得到的結(jié)果，所以忽略后2種因素，檢驗(yàn)指標(biāo)Q1主要檢驗(yàn)擬合函數(shù)是否符合樣本本身的內(nèi)在規(guī)律。

1.5 檢驗(yàn)指標(biāo)Q2

該檢驗(yàn)指標(biāo)Q2與0.5接近，則表示多項(xiàng)式擬合次數(shù)適當(dāng)。

2 擬合模型的選擇

對于一般的特性曲線，通常采用多項(xiàng)式模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行描述，對于擬合目標(biāo)形如 y（x）=f（a,x）=a1xn+a2xn-1+L+anx+an+1的n階多項(xiàng)式模型，通常要求取參數(shù) a1、a2、L、an、an+1使下面的相對誤差 ψ2量最小。

在Δyi=Δy不變的假設(shè)下得到式（6）的最小解為

通過對特性曲線進(jìn)行多項(xiàng)式擬合得到特性方程。其實(shí)質(zhì)是多元回歸問題，一般采用結(jié)合法[8]或2步法[11]，本文采用2步法對部件特性曲線進(jìn)行擬合。

3 算例分析

3.1 擬合次數(shù)的選擇

以某型3軸燃?xì)廨啓C(jī)的高壓壓氣機(jī)為例，其結(jié)構(gòu)如圖1所示[12]，壓氣機(jī)通用特性曲線如圖2所示。從圖2中可見，高壓壓氣機(jī)折合流量與高壓壓氣機(jī)壓比和折合轉(zhuǎn)速存在一定的函數(shù)關(guān)系。將壓氣機(jī)壓比與折合轉(zhuǎn)速作為自變量，而將折合流量作為因變量，4個參數(shù)之間存在如下關(guān)系

用多項(xiàng)式進(jìn)行曲線擬合，當(dāng)最高次數(shù)n≥7時，經(jīng)過大量計(jì)算及理論分析均表明其方程的系數(shù)矩陣是嚴(yán)重病態(tài)的。所以考慮最高次數(shù)n≤6時對高壓壓氣機(jī)的1.0工況等轉(zhuǎn)速線上的“折合流量-壓比”關(guān)系曲線進(jìn)行研究，并按照擬合檢驗(yàn)指標(biāo)尋找并確定“折合流量-壓比”之間的最佳函數(shù)關(guān)系，其結(jié)果見表1。

表1 不同最高擬合次數(shù)檢驗(yàn)指標(biāo)值

從表1中可見，隨著擬合次數(shù)n的增加，R2、RMSE、SRES呈越來越好的趨勢。由此表明，在特性曲線多項(xiàng)式擬合中，隨著擬合次數(shù)的增加，精度提高。但是，從Q1、Q2可知，在n≥4時的擬合過程中出現(xiàn)過擬合，擬合曲線納入了噪聲，所以，在保證擬合精度的前提下有避免納入噪聲的原則，這里選擇n=3作為該曲線的最佳擬合次數(shù)。

3.2 擬合誤差分析

選擇n=3作為部件特性方程的擬合次數(shù)，可以得到該測量值與擬合值的相對誤差，如圖3所示。

從圖3中可見，當(dāng)選擇n=3時，對應(yīng)的各工況下的最大誤差為0.2%，其結(jié)果滿足擬合精度。根據(jù)上述分析，繪出在擬合曲線中原數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合點(diǎn)的對比曲線，并給出其殘差分布情況，其結(jié)果如圖4所示。

從圖4中可見，通過正確地選擇擬合次數(shù)，其所得到的擬合曲線殘差為±5×10-13，擬合效果較好。

3.3 擬合結(jié)果

上述分析可知壓氣機(jī)折合流量是關(guān)于壓比與折合轉(zhuǎn)速的函數(shù)，所以首先通過1次擬合分別得到各工

況下關(guān)于“折合流量-壓比”之間的函數(shù)關(guān)系

然后對式中的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行2次擬合，得到關(guān)于“壓比-折合轉(zhuǎn)速”之間的函數(shù)關(guān)系

經(jīng)過上述2步擬合之后，最終可以得到“折合流量-壓比-折合轉(zhuǎn)速”之間的函數(shù)關(guān)系式

4 結(jié)論

本文將5個統(tǒng)計(jì)學(xué)擬合檢驗(yàn)指標(biāo)引入燃?xì)廨啓C(jī)部件特性方程的擬合過程中，通過實(shí)際算例分析得出了最佳的擬合次數(shù)。分析表明：所選擇的擬合次數(shù)能夠較好的對曲線的實(shí)際情況進(jìn)行描述。得到擬合值與測量值的相對誤差為±0.2%，殘差范圍為±5×10-13，進(jìn)一步證明了擬合誤差小，與曲線吻合度高。綜合應(yīng)用上述檢驗(yàn)指標(biāo)所獲得的特性方程的最佳擬合次數(shù)具有可行性與可靠性。引入檢驗(yàn)指標(biāo)避免了在擬合過程中經(jīng)驗(yàn)化選擇擬合次數(shù)的問題，為特性曲線擬合次數(shù)從定性選擇過渡到定量計(jì)算提供了1條可行之路。

[1]周密.基于信息融合技術(shù)的燃?xì)廨啓C(jī)氣路故障診斷研究[D].武漢：海軍工程大學(xué)，2009.

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[3]賀星.基于熱力學(xué)功勢的燃?xì)廨啓C(jī)性能退化研究[D].武漢：海軍工程大學(xué),2010.

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