馬愛清，張周勝

(上海電力學(xué)院電力與自動(dòng)化工程學(xué)院，上海 200090)

電器裝置自動(dòng)設(shè)計(jì)中，形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)在改進(jìn)電磁設(shè)備性能方面非常重要.根據(jù)尋優(yōu)過程的不同，優(yōu)化方法可以分為隨機(jī)性優(yōu)化和確定性優(yōu)化兩種.隨機(jī)性優(yōu)化方法包括基因算法、TABU算法和模擬退火法等，由于能給出全局優(yōu)化解，在過去的十幾年內(nèi)，已被廣泛應(yīng)用于各種電磁工程設(shè)計(jì)［1-3］.確定性優(yōu)化方法，比如結(jié)合設(shè)計(jì)靈敏度分析的梯度法，盡管有時(shí)會(huì)陷入局部極小，但由于可以大幅度地降低尋優(yōu)過程中目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算次數(shù)，最大限度地降低尋優(yōu)過程中的計(jì)算代價(jià)，從提高計(jì)算量的角度，結(jié)合設(shè)計(jì)靈敏度分析的確定性方法更優(yōu)于非確定性方法［4-6］.本文將靈敏度分析(Design Sensitivity Analysis，DSA)、有 限 元 法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)以及優(yōu)化算法相結(jié)合，對(duì)2D電器裝置的形狀進(jìn)行優(yōu)化，給出了設(shè)計(jì)靈敏度分析公式及伴隨變量方程的推導(dǎo)，并將該方法成功用于110 kV GIS光纖電流互感器的絕緣結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中.

1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

將結(jié)構(gòu)模型、設(shè)計(jì)靈敏度分析和優(yōu)化算法結(jié)合成為一個(gè)通用的系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)各種優(yōu)化自動(dòng)設(shè)計(jì)是非常必要的.圖1所示的結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型表示了形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的3個(gè)組成部分.

圖1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型示意

結(jié)構(gòu)模型提供在靜態(tài)或動(dòng)態(tài)邊界條件下結(jié)構(gòu)的性能特性.結(jié)構(gòu)參數(shù)是在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)及設(shè)計(jì)約束時(shí)用到的設(shè)計(jì)變量.在實(shí)際工程應(yīng)用中，需要建立詳細(xì)的有限元模型.優(yōu)化模型將結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化算法相聯(lián)系，目標(biāo)函數(shù)值與性能約束值通過結(jié)構(gòu)模型的有限元分析得到.而優(yōu)化模型中所定義的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解可通過優(yōu)化算法求得.

2 2D靜電場(chǎng)問題設(shè)計(jì)靈敏度分析

2D靜電場(chǎng)的系統(tǒng)控制方程為:

式中:ε——介電常數(shù);

φ——電勢(shì).

靜電場(chǎng)的有限元分析可以最終歸結(jié)為求解如下有限元方程:

式中:A——系統(tǒng)矩陣;

X——電位矩陣;

b——載荷向量矩陣.

靜電場(chǎng)的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)都可以表示為:

式中:F——目標(biāo)函數(shù);

p——由表面節(jié)點(diǎn)組成的設(shè)計(jì)參數(shù)向量;

X——狀態(tài)變量;

pmax，pmin——設(shè)計(jì)參數(shù)的上下限值.

關(guān)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度可以推導(dǎo)如下:

對(duì)式(2)兩邊的設(shè)計(jì)變量p求導(dǎo)，并乘以伴隨變量 λT［7，8］，可以得到:

通過選擇伴隨變量，使得式(4)和式(5)中的dX/dp系數(shù)相等，因此可以得出伴隨方程和靈敏度公式為:

式中的X就是式(2)的解.

根據(jù)最速下降法，利用已計(jì)算得到的靈敏度來(lái)更新設(shè)計(jì)變量:

式中:α——松弛因子.

3 有限元網(wǎng)格更新方法

形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)的一個(gè)重要部分是隨著設(shè)計(jì)變量的改變來(lái)更新有限元網(wǎng)格，并且應(yīng)盡量使有限元網(wǎng)格均勻分布，它是保證計(jì)算結(jié)果精度的重要因素［9］.

采用Delaunay三角剖分技術(shù)所形成的三角形網(wǎng)格，最小的內(nèi)角是所有三角剖分中最大的，而且Delaunay三角剖分所形成的三角形最接近于等邊三角形，因此該技術(shù)在實(shí)際應(yīng)用中具有很大優(yōu)勢(shì).其基本思想是:首先形成只有邊界節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的開端網(wǎng)格，在此基礎(chǔ)上，引進(jìn)一個(gè)新節(jié)點(diǎn)，根據(jù)原判據(jù)修改原來(lái)的網(wǎng)格，以形成新網(wǎng)格;在新網(wǎng)格的基礎(chǔ)上，再引進(jìn)一個(gè)新節(jié)點(diǎn)形成新網(wǎng)格，依此循環(huán)直至引進(jìn)全部節(jié)點(diǎn).但節(jié)點(diǎn)的分布直接影響網(wǎng)格的優(yōu)劣，在網(wǎng)格更新過程中，需要利用邊界節(jié)點(diǎn)分布來(lái)有效控制內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的分布，以實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格疏密連續(xù)過渡，避免出現(xiàn)太尖或太鈍的三角形單元.

因此，可以采用基于Delaunay三角剖分的置換算法(Swapping Algorithm)［10］.由于設(shè)計(jì)變量的改變，網(wǎng)格需要更新，如圖2所示，邊界單元較長(zhǎng)的邊上有可能產(chǎn)生新點(diǎn)P，而置換算法根據(jù)對(duì)角線的長(zhǎng)度來(lái)修正P點(diǎn)的位置，盡可能地減少三角形網(wǎng)格的變形.

圖2 網(wǎng)格更新中節(jié)點(diǎn)位置的修正

在設(shè)計(jì)變量改變后，需要對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行更新，在網(wǎng)格生成程序中采用Delaunay三角剖分算法和置換算法，所有的設(shè)計(jì)參數(shù)點(diǎn)可以被指定為單元邊界的初始點(diǎn)，在每次優(yōu)化迭代后，被改變的設(shè)計(jì)參數(shù)自動(dòng)輸入，作為邊界的初始點(diǎn)，以產(chǎn)生新的網(wǎng)格.

4 優(yōu)化算法流程

將有限元分析、最速下降法和網(wǎng)格更新方法相結(jié)合，形成新的2D形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)算法，見圖3.

圖3 優(yōu)化算法流程

顯然，該優(yōu)化設(shè)計(jì)算法僅需要進(jìn)行有限元網(wǎng)格一次剖分，就可以大大縮短計(jì)算周期，節(jié)約優(yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算量.

5 GIS光纖CT絕緣結(jié)構(gòu)自動(dòng)設(shè)計(jì)

在電磁裝置的自動(dòng)設(shè)計(jì)中，靈敏度分析及有限元技術(shù)已得到廣泛的應(yīng)用［11，12］.圖4為110 kV GIS光纖CT絕緣結(jié)構(gòu)中的一相高壓電極簡(jiǎn)化模型.設(shè)計(jì)中，B可以在30～60 mm之間調(diào)整，R可以在10～25 mm之間調(diào)整.

圖4 110 kV光纖CT絕緣結(jié)構(gòu)示意

在絕緣結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，靜電場(chǎng)絕緣外表面期望的最大電場(chǎng)強(qiáng)度值可以由設(shè)計(jì)人員提出.

該設(shè)計(jì)中，目標(biāo)函數(shù)定義為:

式中:E——絕緣外表面電場(chǎng)強(qiáng)度的最大值;

E0——所期望的電場(chǎng)強(qiáng)度設(shè)定值，當(dāng)在高壓電極和低壓電極施加275 kV的電壓時(shí)，希望得到 E0=9.0 kV/mm的設(shè)計(jì)值.

利用本文提到的靈敏度設(shè)計(jì)方法自動(dòng)設(shè)計(jì)，通過5次迭代，當(dāng)B=45 mm，R=20 mm時(shí)，得到了所期望的電場(chǎng)強(qiáng)度設(shè)計(jì)值E0=9.0 kV/mm.

為了檢驗(yàn)設(shè)計(jì)的正確性，又通過有限元法求解該靜電場(chǎng)，解得的結(jié)果為9.07 kV/mm.該結(jié)果與本文利用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法所得結(jié)果相比，二者的相對(duì)誤差為0.7%，表明上述自動(dòng)設(shè)計(jì)程序是有效的.

6 結(jié)語(yǔ)

在有限元方法的基礎(chǔ)上，本文給出了2D靜電場(chǎng)靈敏度分析設(shè)計(jì)的公式推導(dǎo)，以及整個(gè)優(yōu)化算法的流程框圖，通過計(jì)算目標(biāo)函數(shù)對(duì)幾何變量的靈敏度，來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)電器裝置的絕緣結(jié)構(gòu).通過實(shí)例表明，本文所用方法在快速優(yōu)化計(jì)算的同時(shí)，還可以保證計(jì)算結(jié)果的精度.

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