陳子燊

（中山大學(xué)水資源與環(huán)境系，廣東 廣州 510275）

波高與風(fēng)速聯(lián)合概率分布研究

陳子燊

（中山大學(xué)水資源與環(huán)境系，廣東 廣州 510275）

基于copula函數(shù)論述了兩變量的聯(lián)合概率分布方法。此方法的主要優(yōu)點(diǎn)是邊緣分布可由不同的分布函數(shù)構(gòu)成，變量間可具相關(guān)性。以粵東汕尾海域極值波高與相應(yīng)風(fēng)速為研究實(shí)例，經(jīng)分析獲得以下結(jié)果：(1) 優(yōu)選的極值波高和風(fēng)速可分別由P-III型和GEV分布表示； (2) 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)指標(biāo)表明二者的最優(yōu)連接函數(shù)為Archimedean copula類的Gumbel-Hougaard copula；(3) 與聯(lián)合分布比較，重現(xiàn)期介于5—200年之間的波高邊緣分布設(shè)計(jì)值的相對差值大約介于3.1% ～ 8.1%之間，風(fēng)速設(shè)計(jì)值相對差值大約介于2.8% ～6.4%之間；(4) 特定風(fēng)速設(shè)計(jì)頻率條件下，波高與風(fēng)速的遭遇概率隨波高設(shè)計(jì)頻率的減小而減小，特定波高設(shè)計(jì)頻率隨風(fēng)速條件頻率的減小，二者的遭遇概率隨之增大。

極值波高和風(fēng)速；邊緣分布；聯(lián)合概率分布；Copula函數(shù)；條件分布

Abstract：This article introduced the method of bivariate joint probability distribution based on the copula function.A major advantage of this method is that marginal distributions of individual variables can be of any form and the variables can be correlated.Some of conclusions were reached by using extreme wave height and wind speed as an example collected in Shanwei sea area as the following: (1) Optimized marginal distributions of wave height and wind velocity can be represented by the Pearson pattern three and generalized extreme value distribution, respectively; (2) Gumbel–Hougaard Copula that belongs to Archimedean copula family was the optimal copula selected by the goodness-of-fit test; (3) The relative differences of the special frequency design values between the marginal distribution of wave height and the joint distribution fall in between 3.1% and 8.1% for the return periods between 5 and 200 years, and the relative differences of wind velocity fall in between 2.8%～6.4%; (4) The encountering probabilities of wave height given wind velocity decrease along with decreasing the frequency of wave height; whereas the encountering probabilitiy increase while the specific wave height frequency is along with decrease of wind velocity frequency.

Keywords：extreme wave height and wind velocity; marginal probability distribution; joint probability distribution; copula function; conditional probability distribution

全球暖化可能導(dǎo)致出現(xiàn)極端氣象事件的頻率和強(qiáng)度加大，甚則常態(tài)化，此對于海岸和海洋工程安全構(gòu)成極大威脅。眾知，風(fēng)浪的形成與發(fā)展主要是由風(fēng)直接作用下的海洋動力過程。大浪與極端風(fēng)速密切相關(guān)，也都是造成海岸工程損毀和海岸侵蝕的重要動力因子。深入分析極值波高和風(fēng)速的聯(lián)合概率分布對海岸工程與海岸防護(hù)的規(guī)劃設(shè)計(jì)和風(fēng)險(xiǎn)控制十分重要。

至今已有一些多變量聯(lián)合概率分布應(yīng)用于海洋水文氣象要素的研究。如，周道成應(yīng)用耿貝爾邏輯模型描述了年極值風(fēng)速和有效波高兩隨機(jī)變量的聯(lián)合分布[1]；董勝采用邊緣分布為皮爾遜Ⅲ型的聯(lián)合分布估計(jì)了年極值有效波高與風(fēng)速的聯(lián)合出現(xiàn)概率[2]；潘錦娥使用對數(shù)正態(tài)分布探討了波高與周期的聯(lián)合分布[3]。然而，采用傳統(tǒng)的多變量聯(lián)合概率分布時存在一定的約束條件，其要求各個邊緣分布函數(shù)類型與多變量分布函數(shù)類型一樣，而且各個邊緣分布必須完全相同。而且，不同的水文氣象要素或不同空間位置的同一水文氣象要素通常并不服從同一分布，水文氣象要素的正態(tài)分布也難以滿足。這使得傳統(tǒng)的多變量分布函數(shù)的概率分析受到較大限制。近十年來，解決多變量聯(lián)合概率分布的一個強(qiáng)有力工具的Copula 函數(shù)已被廣泛應(yīng)用于金融工程領(lǐng)域，國內(nèi)外在陸地水文氣象領(lǐng)域也得以較多應(yīng)用[4-12]，但國內(nèi)在海洋水文氣象領(lǐng)域的研究還僅見于參考文獻(xiàn)[13]。本文將在論述Copula函數(shù)主要理論與方法基礎(chǔ)上，應(yīng)用實(shí)例構(gòu)造二變量水文氣象要素的聯(lián)合概率分布模式，深入分析水文氣象變量間的概率分布主要特征。

1 基于 Copula函數(shù)的聯(lián)合概率分布模型

1.1 Copula函數(shù)、參數(shù)估計(jì)和擬合優(yōu)度評價(jià)

Copula的數(shù)學(xué)涵義是指把多個變量的聯(lián)合分布與它們的邊緣分布連接在一起的函數(shù)。根據(jù)奠定Copula函數(shù)理論基礎(chǔ)的Sklar定理，令F是具有單變量邊緣分布函數(shù)的n維分布函數(shù)，若邊緣分布函數(shù)連續(xù)，則存在一個唯一滿足關(guān)系的連接函數(shù)。相反，如果C是一個n 維Copula函數(shù)，n維分布函數(shù)。作為一新的概率分布和統(tǒng)計(jì)推斷方法，Copula函數(shù)為描述多變量隨機(jī)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)提供了一個新技術(shù)手段而得到了廣泛應(yīng)用，曾系統(tǒng)地總結(jié)了Copula函數(shù)的性質(zhì)和這個領(lǐng)域的主要研究成果。

根據(jù)Copula函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)建兩變量的聯(lián)合概率分布模型可分兩步進(jìn)行：首先分別確定邊緣分布然后選擇一個能夠恰當(dāng)?shù)胤从匙兞块g相關(guān)結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)式中，在三大類Copula函數(shù)——橢圓型、阿基米德型(Archimedean)和二次型中，阿基米德(Archimedean) Copula是由其生成元唯一確定的單參數(shù)函數(shù)，是當(dāng)前應(yīng)用于水文氣象領(lǐng)域的一類非常重要的Copula函數(shù)。幾種常用的二維Archimedean Copula函數(shù)及其適用性如下：

與AMH Copula函數(shù)類似，但對相關(guān)性程度沒有限制。Frank Copula結(jié)構(gòu)具有對稱性，即在其分布的上尾和下尾，變量間的相關(guān)性呈對稱增長。

Copula參數(shù)θ的估計(jì)方法大致可分為3種：①相關(guān)性指標(biāo)法：根據(jù)Kendall秩相關(guān)系數(shù)與θ的關(guān)系間接求得；②適線法：在一定適線準(zhǔn)則下, 求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線的統(tǒng)計(jì)參數(shù)；③極大似然法。由于不同的Copula 函數(shù)代表不同的相關(guān)結(jié)構(gòu)，對Copula 函數(shù)的選擇將直接影響到一些分析和統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)果[15]，因此選擇合適的Copula函數(shù)顯得十分重要。擇優(yōu)選用Copula函數(shù)的主要檢驗(yàn)方法有由圖示直觀選擇Copula 函數(shù)的Genest–Rivest方法[16]、均方根誤差(RMSE)準(zhǔn)則法和AIC信息準(zhǔn)則法等。

1.2 聯(lián)合概率分布及其重現(xiàn)期

使用“或”符號“∨”，以及“和”符號“∧”，兩個單變量事件理論上可以組合成八種兩變量事件。

對于極端水文氣象事件，關(guān)注的主要是以下兩種兩變量事件：

同理，還可定義給定隨機(jī)變量X≥x和X≤x條件下的隨機(jī)變量Y的4個條件概率。

2 實(shí)例研究

2.1 基本數(shù)據(jù)

基本數(shù)據(jù)采用位于粵東汕尾海域的汕尾海洋觀測站 1972—1992年觀測的歷年熱帶氣旋影響期間E向浪的最大波高與相應(yīng)的極端風(fēng)速。樣本的基本統(tǒng)計(jì)特征值表明，最大風(fēng)速為45 m/s，達(dá)到強(qiáng)臺風(fēng)等級，最大波高為9.50 m。極值波高及其相應(yīng)的極值風(fēng)速的偏態(tài)系數(shù)分別為1.21和1.10，都屬于正偏分布。

2.2 聯(lián)合分布計(jì)算與分析

2.2.1 邊緣分布函數(shù) 對兩樣本的邊緣分布，都使用了以下兩個三參數(shù)的概率分布函數(shù)擇優(yōu)：

a、廣義極值分布(GEV)：

表1 邊緣分布參數(shù)與優(yōu)度檢驗(yàn)值Tab.1 Parameters of the marginal distribution and the values of goodness of fit test

2.2.2 Copula 函數(shù)的參數(shù)估計(jì)及擬合優(yōu)度評價(jià)樣本波高與風(fēng)速的Kendall秩相關(guān)系數(shù) (τ) 計(jì)算值為 0.629，說明二者具有較高的相關(guān)性。采用相關(guān)性指標(biāo)法計(jì)算了樣本的聯(lián)合概率分布的copula參數(shù)θ，并利用AIC、RMSE檢驗(yàn)其擬合優(yōu)度，結(jié)果見表2。根據(jù)擬合優(yōu)度評價(jià)指標(biāo)，選擇樣本中AIC和 RMSE最小、KT-Ke關(guān)系圖中點(diǎn)據(jù)和理論直線最接近45°對角線的GH Copu1a函數(shù)作為聯(lián)合概率分布的連接函數(shù)（為節(jié)省篇幅，KT-Ke關(guān)系圖略），由此構(gòu)建的極值波高和極值風(fēng)速的GH Copula聯(lián)合分布函數(shù)如下：

圖1 兩變量邊緣分布圖：波高（左圖），風(fēng)速（右圖）Fig.1 Diagrams of marginal distribution of wave heights (left panel) and wind velocities (right panel) in the sample one.

表2樣本的Copula參數(shù)及擬合優(yōu)度評價(jià)指標(biāo)Tab.2 Parameters of Copula functions and the evaluation indices of goodness of fit for the sample

2.2.3 聯(lián)合概率分布與重現(xiàn)期 極值波高和極值風(fēng)速的聯(lián)合概率分布、聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期見圖2所示，不同重現(xiàn)期的設(shè)計(jì)波高和設(shè)計(jì)風(fēng)速見表3。顯然，波高風(fēng)速聯(lián)合重現(xiàn)期小于邊緣分布重現(xiàn)期，邊緣分布重現(xiàn)期則小于同現(xiàn)重現(xiàn)期。按照同頻率原理，即單變量推算的設(shè)計(jì)值小于波高風(fēng)速聯(lián)合重現(xiàn)期設(shè)計(jì)值，差值隨重現(xiàn)期減小而有所增大，重現(xiàn)期5-200年的波高設(shè)計(jì)值相對差值大約介于3.1% ～ 8.1%，風(fēng)速設(shè)計(jì)值相對差值大約介于2.8% ～ 6.4%。以100年一遇波高為例，波高、風(fēng)速邊緣分布設(shè)計(jì)值分別為12.05m和同頻率的聯(lián)合分布設(shè)計(jì)值分別為12.57m和單變量邊緣分布50年一遇和100年一遇的同現(xiàn)重現(xiàn)期分別為70年和141年。上述結(jié)果表明，如以波高風(fēng)速聯(lián)合概率分布為設(shè)計(jì)值，單變量無論是波高或風(fēng)速推算的設(shè)計(jì)值實(shí)際上沒有達(dá)到設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。

圖2 聯(lián)合概率分布三維圖（左圖）、聯(lián)合重現(xiàn)期(年)等值線圖（中圖）、同現(xiàn)重現(xiàn)期(年)等值線圖（右圖）Fig.2 Diagrams of joint probability distribution (left panel), joint return period (middle.panel) and occurrence period (right panel)

表3 不同重現(xiàn)期設(shè)計(jì)波高和設(shè)計(jì)風(fēng)速值Tab.3 Designed values of different return periods of wave height and wind velocity

2.2.4 條件概率分布與遭遇分析 分別考慮條件概率 1：和條件概率 2：兩種條件概率，其中，條件概率 1指的是，當(dāng)發(fā)生超過某一標(biāo)準(zhǔn)的風(fēng)速v時，出現(xiàn)超過某一標(biāo)準(zhǔn)波高h(yuǎn)的概率；而條件概率2的涵義則為發(fā)生不超過某一標(biāo)準(zhǔn)的風(fēng)速v時，出現(xiàn)大于某一標(biāo)準(zhǔn)波高h(yuǎn)的概率。二者的實(shí)質(zhì)都是反映極值波高與相應(yīng)風(fēng)速的遭遇概率。兩種不同條件概率的計(jì)算結(jié)果見表4。表4顯示，特定風(fēng)速設(shè)計(jì)頻率條件下，隨波高設(shè)計(jì)頻率的減小，二者的遭遇概率也隨之減??；反之，特定波高設(shè)計(jì)頻率隨風(fēng)速條件頻率的減小，二者的遭遇概率隨之增大。條件概率1表明，同頻率下的極端波況和相應(yīng)風(fēng)況的遭遇概率不小于70%。如：設(shè)計(jì)頻率超過20%的波高與設(shè)計(jì)頻率超過10%風(fēng)速的遭遇概率為91.6%，而設(shè)計(jì)頻率都為10%（重現(xiàn)期10年）時，二者的遭遇概率為72.6%。條件概率2則表明，當(dāng)設(shè)計(jì)風(fēng)速小于某一定值時，相對于條件概率 1，極端波況和相應(yīng)風(fēng)況的遭遇概率明顯減小，同頻率下極端波況和相應(yīng)風(fēng)況的遭遇概率都不大于7%。如：設(shè)計(jì)頻率超過20%的波高與設(shè)計(jì)頻率小于10%風(fēng)速的遭遇概率為12.0%，而設(shè)計(jì)頻率都為10%（重現(xiàn)期10年）時，二者的遭遇概率為3.0%。此對于如何在海岸工程選擇與設(shè)計(jì)波高相匹配的設(shè)計(jì)風(fēng)速，需要綜合考慮遭遇概率?。L(fēng)險(xiǎn)小安全率高）和工程規(guī)模投入資金之間的平衡關(guān)系。因此需要在安全、資金投入與產(chǎn)出效益之間尋求平衡點(diǎn)，此需經(jīng)過嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)分析與多方案綜合比較才能確定。

表4 兩種條件概率計(jì)算結(jié)果*Tab.4 Computed results of conditional probability of two types

3 結(jié) 語

本文以粵東汕尾海域的臺風(fēng)影響下的海況為實(shí)例，基于Copula理論與方法構(gòu)建了波高和相應(yīng)風(fēng)速的聯(lián)合概率分布模型。分析表明，兩變量聯(lián)合分布比單變量分布能更全面地反映極端海況條件下的重現(xiàn)水平，根據(jù)極端海況下的波高與風(fēng)速的遭遇概率的風(fēng)險(xiǎn)分析可更好地為海岸工程規(guī)模的規(guī)劃設(shè)計(jì)、資金投入和風(fēng)險(xiǎn)控制之間的均衡考慮提供科學(xué)依據(jù)。

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Study on joint probability distribution of wave height and wind velocity

CHEN Zi-shen

（Department of Water Resource and Environment，Zhongshan University，Guangzhou 510275，China）

P731.22

A

1001-6932(2011)02-0159-06

2010-08-30；收修改稿日期：2010-09-20

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目( 40576041)。

陳子燊, (1952―), 男, 福建福州人, 教授, 研究方向: 河口海岸環(huán)境。 電子郵箱: eesczs@mail.sysu.edu.cn。