馮 強(qiáng), 陳 舟

(1.中國礦業(yè)大學(xué) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院,江蘇 徐州 221008;2.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院,廣州 510640)

深部巷道圍巖散熱Laplace解析計(jì)算

馮 強(qiáng)1, 陳 舟2

(1.中國礦業(yè)大學(xué) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院,江蘇 徐州 221008;2.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院,廣州 510640)

目前礦井建設(shè)越來越深,熱害給煤礦日常生產(chǎn)帶來了嚴(yán)重的影響。針對深埋巷道的特點(diǎn),將計(jì)算模型簡化為二維平面圓模型,采用 Laplace變換與逆變換的方法對深埋巷道圍巖溫度場及散熱量進(jìn)行分析,將時間域上的問題轉(zhuǎn)化為 Laplace域上的問題,得到 Laplace域上的解,再將Laplace域上的解反變換到時間域上;用 Laplace積分逆變換的形式解析表示計(jì)算結(jié)果。由于計(jì)算時間域上的解較困難,需將 Laplace域上的解采用 Stehfest反演方法進(jìn)行數(shù)值逆變換,得到時間域上的數(shù)值解答。誤差驗(yàn)算表明,當(dāng)循環(huán)級數(shù) N=18時,誤差為 10-5～10-7。工程實(shí)例也說明此方法的正確性。

圍巖溫度場;圍巖散熱量;Laplace變換及逆變換;Stehfest算法;MATLAB

Abstract:This paper is aimed at studying the serious effect of increasingly deeperm ine-induced heat harm on m ining operation.The study consists of simplifying the analyticalmodel into circularity,drawing on the characteristic of deeply buried roadways,analyzing the temperature field and heat radiation by the Laplace transform and the inverse Laplace transform,transform ing the problem from time domain into Laplace domain,developing the Laplace domain solution which is inversely transformed to that in time domain,and finally expressing the computed result by the form of the inverse Laplace transform.The more difficult calculation of the time domain solution necessitates Stehfest inverse transformation ofLaplace domain solution,thus giving the numerical solution in time domain.The error check shows thatwhen the cycle seriesN=18,the error is about 10-5～10-7.The method proves correct.

Key words:temperature field of surrounding rock;surrounding rock heat radiation;Laplace transform and inverse Laplace transform;arithmetic of Stehfest;MATLAB

隨著煤炭資源的大量消耗,礦井建設(shè)越來越深,井下巷道圍巖的溫度也越來越高,熱害問題日益嚴(yán)重。熱害嚴(yán)重影響井下工人的身體健康和礦井的正常生產(chǎn),已與瓦斯、頂板、粉塵、水、火一同被列為礦井六大災(zāi)害。圍巖散熱是熱害最主要的來源[1],了解巷道圍巖的溫度場分布及圍巖散熱量有助于采取合理的降溫措施。

目前,很多學(xué)者對圍巖散熱現(xiàn)象進(jìn)行了大量研究,其方法包括有限差分[2]、邊界元[3]、有限元[4]、無因次分析。這些研究是基于數(shù)值計(jì)算而進(jìn)行的。筆者采用 Laplace解析的方法對圍巖散熱問題求解[5],得出了較理想的結(jié)果。

1 圍巖散熱問題描述

據(jù)深井巷道圍巖散熱的復(fù)雜性,作如下簡化:

(1)巷道周圍巖體為均質(zhì);

(2)巷道截面為圓形;

(3)同一界面上風(fēng)流溫度不隨時間變化。

考慮巷道較長、深埋和圍巖沿軸線溫度梯度較小,該圍巖散熱計(jì)算模型為平面二維模型,見圖 1。假設(shè)在初始時刻巷道圍巖具有相同的溫度,即深部地溫[6](若初始溫度是不均勻的,可類似進(jìn)行計(jì)算)。

圖 1 分析模型Fig.1 Analyticalmodel

采用極坐標(biāo),巷道圍巖熱傳導(dǎo)問題的控制方程為

T——徑向 r處及 t時刻巷道圍巖的溫度,℃;

t——時間 (t>0),d;

r——以巷道中心為原點(diǎn)的圓柱坐標(biāo),m;

a——熱擴(kuò)散率 ,a=λ/ρc,m2/s;

λ——導(dǎo)熱系數(shù),W/(m·K);

ρ——密度,kg/m3;

c——比熱容,J/(kg·K)。

問題的邊界和初始條件分別為:

式中:Tw——t時刻巷道表面的氣溫,℃;T0——圍巖的初始溫度,℃。

2 Laplace積分變換

圍巖溫度場的確定采用 Laplace積分變換方法[1]。時間函數(shù) f(t)的 Laplace積分變換 ˉf定義為

3 熱傳導(dǎo)問題的求解

為了便于圍巖溫度場解析計(jì)算,將熱傳導(dǎo)問題作變量替換。取

將變量替換式 (6)分別代入式 (1)、(2)和 (3),熱傳導(dǎo)問題[7-8]可重新表示為:

由式 (4)并利用初始條件式 (9),對熱傳導(dǎo)控制方程式 (7)進(jìn)行 Laplace積分變換,有

方程式 (10)的解式可表示為

式中:K0(·)——零階第二類變型 Bessel函數(shù);

A——積分參數(shù),由問題的邊界條件確定。

對邊界條件 (8)的第一式進(jìn)行 Laplace變換,并代入式 (11),以確定待定參數(shù) A,再代回,可得

將式 (12)代入 Laplace逆變換式 (5),并代入變量替換式 (6),有

式(13)為圍巖溫度場的解析算式。將式 (13)對 r進(jìn)行求導(dǎo)再乘以導(dǎo)熱系數(shù)λ可得熱流密度q,有

單位長度巷道圍巖散熱量為

4 Laplace逆變換的數(shù)值計(jì)算

4.1 誤差驗(yàn)算

將式 (14)Laplace域上的解進(jìn)行逆變換得到時間域上的解較困難,故采用 Stehfest方法[9]對 Laplace逆變換進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。該算法計(jì)算式為

式中 :t——自變量;

N、i、k——正整數(shù);

Vi——中間函數(shù) ,

原則上,算法中反演公式項(xiàng)數(shù) N取值越大,計(jì)算越精確。下面對該公式的誤差進(jìn)行驗(yàn)算。

誤差公式:

誤差驗(yàn)算結(jié)果如表 1～4所示。

表 1-1(s)=1/s2? f(t)=t誤差統(tǒng)計(jì)Table 1 Error statistics of-1(s)=1/s2?f(t)=t

表 1-1(s)=1/s2? f(t)=t誤差統(tǒng)計(jì)Table 1 Error statistics of-1(s)=1/s2?f(t)=t

?

表 2-1(s)=1/(s2+1) ? f(t)=sint誤差統(tǒng)計(jì)Table 2 Error statistics of-1(s)=1/(s2+1)?f(t)=sint

表 2-1(s)=1/(s2+1) ? f(t)=sint誤差統(tǒng)計(jì)Table 2 Error statistics of-1(s)=1/(s2+1)?f(t)=sint

?

表 3 當(dāng) N=18,t>1時-1(s)=1/(s2+1)?f(t)=sint誤差統(tǒng)計(jì)Table 3 W henN=18,t>1,error statistics of-1(s)=1/(s2+1) ? f(t)=sint

表 3 當(dāng) N=18,t>1時-1(s)=1/(s2+1)?f(t)=sint誤差統(tǒng)計(jì)Table 3 W henN=18,t>1,error statistics of-1(s)=1/(s2+1) ? f(t)=sint

?

從表 2、3中可知,當(dāng) 0≤t≤1且 14≤N≤22時,誤差很小;當(dāng) N一定,t繼續(xù)增大時,誤差則急劇增大。

表4-1(s)=1/p?f(t)=1/πt誤差統(tǒng)計(jì)Table 4 Error statistics of-1(s)=1/p?f(t)=1/π t

對比表 1～4可知,當(dāng)原函數(shù)不是周期函數(shù)時,此法的誤差很小;當(dāng) N=18時 Stehfest算法誤差最小,達(dá)到 10-5～10-7,能滿足工程需要?？梢?此方法在解答原函數(shù)為非周期函數(shù)時是正確的。

4.2 工程實(shí)例

工程實(shí)例[10]為山東新漢礦務(wù)局孫村礦。其中,巷道半徑為 2.0m,原始巖溫為 35.6℃,風(fēng)溫按工作面平均氣溫取 28.76℃,巖石的導(dǎo)熱系數(shù)λ為 1.073×10-2W/(m·K),熱擴(kuò)散率 a為 1.174×10-6m2/s。

利用MATLAB編程[11]進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果見表 5。

表 5 巷道圍巖散熱量Table 5 Surrounding rock heat rad iation of roadway

由計(jì)算結(jié)果可知:圍巖散熱量最大時是剛開挖后的兩個月內(nèi),隨著時間的推移逐漸趨于穩(wěn)定。該方法能夠更清晰地觀測圍巖散熱隨時間變化的趨勢。

5 結(jié) 論

(1)采用Laplace變換及其反變換的方法,建立了深埋巷道圍巖散熱計(jì)算的解析方法,為數(shù)值模擬和物理實(shí)驗(yàn)提供了理論依據(jù)。

(2)深埋巷道圍巖溫度場及散熱量可通過 Laplace逆變換表示。實(shí)例計(jì)算可知,深埋巷道圍巖在前兩個月內(nèi)的散熱量占總散熱量的絕大部分,隨著時間的延長散熱量逐漸減小,最終趨于穩(wěn)定。

(3)誤差驗(yàn)算表明,Stehfest方法用于 Laplace的數(shù)值反演,可以滿足工程需要。

[1] 時 嵐,張學(xué)博.潮濕巷道圍巖散熱影響因素的數(shù)值分析[J].煤炭科學(xué)技術(shù),2009,37(9):51-53.

[2] 高建良,張學(xué)博.圍巖散熱計(jì)算及壁面水分蒸發(fā)的處理[J].中國安全科學(xué)學(xué)報(bào),2006,16(9):23-28.

[3] 秦躍平,黨海政,劉愛明.用邊界單元法求解巷道圍巖的散熱量[J].中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2000,29(4):63-66.

[4] 吳 強(qiáng),秦躍平,郭 亮,等.巷道圍巖非穩(wěn)態(tài)溫度場有限元分析[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào),2002,21(5):604-607.

[5] 王照亮,張克舫,李華玉,等.一種求解復(fù)合圓筒壁非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的新方法[J].石油大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,29(2):89-92.

[6] 蔣斌松,王金鴿,周國慶.單管凍結(jié)溫度場解析計(jì)算[J].中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2009,38(4):463-466.

[7] 謝鴻政,楊楓林.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[8] 于 濤.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[9] 劉利強(qiáng).拉普拉斯反變換的一種數(shù)值算法[J].內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2002,21(1):47-49.

[10] 秦躍平,秦鳳華,于明學(xué).用有限單元法研究回采工作面圍巖散熱[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1999,8(4):342-346.

[11] 劉衛(wèi)國.MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,2006.

(編輯 晁曉筠)

Analytical calculation of surrounding rock heat radiation of deeply buried roadway

FENG Q iang1, CHEN Zhou2
(1.Shool ofMechanics&Civil Engineering,China University ofMining&Technology,Xuzhou 221008,China;2.School of Civil Engineering&Transportation,South China University of Technology,Guangzhou 510640,China)

TD727

A

1671-0118(2011)01-0044-04

2010-11-23

馮 強(qiáng) (1985-),男,山東省威海人,碩士,研究方向:巖石力學(xué)理論及其應(yīng)用,E-mail:fengqiang889966@126.com。