郭 丁,顧行發(fā),余 濤,趙 輝,馬紅濤

(1.電子科技大學自動化工程學院,成都 610054;2.中國科學院遙感應用研究所遙感科學國家重點實驗室,北京 100101;3.國家航天局航天遙感論證中心,北京 100101)

基于分數(shù)階濾波器的遙感圖像處理

郭 丁1,2,3,顧行發(fā)1,2,3,余 濤2,3,趙 輝1,馬紅濤2,3

(1.電子科技大學自動化工程學院,成都 610054;2.中國科學院遙感應用研究所遙感科學國家重點實驗室,北京 100101;3.國家航天局航天遙感論證中心,北京 100101)

在研究分數(shù)階微積分的基礎上,提出了一種基于WLS誤差準則的濾波方法,該濾波器的系數(shù)可通過調節(jié)其階次來改變;給出了該濾波器的原理,分析了其幅頻特性。通過用 Riemann-Liouville定義驗證,并將此濾波器運用于遙感圖像處理,結果表明,該方法在抗干擾和提取更多細節(jié)方面取得了很好的平衡,具有較好的濾波效果。

分數(shù)階微積分;FIR;數(shù)字濾波器;WLS誤差準則;遙感

0 引言

分數(shù)階微積分 (Fractional Order Calculus,FOC)概念的提出可以上溯 300 a,早在整數(shù)階微積分(IOC)產(chǎn)生時,FOC就產(chǎn)生了;在 19世紀,其理論體系就已基本完善[1]。FOC作為一個純數(shù)學分支已逐漸發(fā)展成體系,但其物理意義不明確。近年來,多種信息提取與處理領域的應用研究[2-4]表明,作為一種新穎而有效的工具,FOC擁有 IOC所不能替代的作用。

很多數(shù)學家從不同角度給 FOC作出了多種不同的定義[5,6],主要有 Grumivald-Letinikov(G-L)、Caputo(C)及 Riemann-Liouville(R-L)等 ,其中R-L定義最具有普適性[7]。然而,所有 FOC定義的表達式都是復雜的,實現(xiàn)其計算比實現(xiàn) IOC復雜得多[8]?？梢哉f,探索 FOC有效的計算方法是深化和拓展其應用的關鍵。

離散化的時間序列是表達諸多處理對象信息的重要形式。由于有限沖激響應濾波器 (Finite Impulse Response,FIR)的實現(xiàn)便利及穩(wěn)定性,借助其實現(xiàn)時間序列的 FOC運算是優(yōu)先考慮的途徑之一。有人使用了基于泰勒級數(shù)展開設計分數(shù)階微分(Fractional Order Derivative,FOD)濾波器的方法[9],這種濾波器可以實現(xiàn)時間序列 FOD的近似計算。然而,由于沒有直接將頻率響應作為濾波器的設計目標,該方法不能有效地控制濾波器的頻率響應誤差,而且這種基于泰勒級數(shù)展開的方法不能推廣至解決計算分數(shù)階積分(Fractional Order Integral,FO I)問題[10]。

現(xiàn)實中的時間序列在頻域上通常是帶限的?？梢栽O計出這樣的 FIR濾波器,使其在時間序列的有效頻帶內能很好地逼近 FOC算子,那么通過該濾波器的輸入、輸出處理,就可以在保證有限精度的前提下實現(xiàn)時間序列的 FOC運算。

與泰勒展開法的出發(fā)點不同,本文充分考慮了時間序列的頻域帶限性質,它能夠有效地控制濾波器頻率響應帶來的計算誤差,而且無論對于 FOD還是 FO I都具有普適性。

1 濾波器原理與設計實現(xiàn)

1.1 時間序列 FOC運算的 FIR濾波器實現(xiàn)原理

對于實數(shù)功率時間序列 x(n),其 IOC記為I(p)x(n),p為整數(shù),當 p>0時表示微分,p<0時表示積分。根據(jù)傅立葉分析理論,I(p)x(n)的傅立葉變換為

自然地想到,將 p的取值范圍推廣至實數(shù)域,可以得到 FOC數(shù)字濾波器的頻率響應定義,它同樣取式 (2)的形式,為便于區(qū)別,式中的 p用 q代替。本文用 F(q)x(n)表示所對應的時間序列的 FOC,q為實數(shù),q>0為微分,q<0為積分。顯然,I(p)x(n)是F(q)x(n)當 q取整數(shù)時的特例。由式 (2)可得 FOC濾波器的單位沖激響應,即

則時間序列 x(n)經(jīng)過該濾波器的輸出為

式 (3)、(4)從傅立葉變換角度給出了時間序列的 FOC定義。另一方面,本文還通過對運算結果的驗證,從應用角度說明了它的合理性。

由于 h(q)(n)是無限長的,直接計算式 (3)、(4)實際上沒有應用價值。本文使用的方法是,在保證有限誤差的前提下求解 FOC的近似值。由式(1)得

式中,sgn(·)為符號函數(shù)。分析上式虛、實部的奇偶特性,并考慮到時間序列在頻域上通常是帶限的,可以找到長度為 2M+1的 FIR濾波器,其頻率響應函數(shù)表示為

容易推導出時間序列 x(n)經(jīng)過該濾波器的輸出為

若H(ejω)在X(ejω)的有效頻帶內逼近Hq(ejω),則可證明 y(n)就是 Fqx(n)的一個逼近。

需要說明的是,式 (7)表達的濾波器是非因果的,但將其延遲M即可成為因果可實現(xiàn)的。

1.2 基于WLS誤差準則的 FOC FIR濾波器設計

本文用WLS誤差準則解決H(ejω)逼近H(q)(ejω)這一FOC FIR濾波器的設計問題。給定加權函數(shù) W(ω)≥0,規(guī)定 W(0)≡0,根據(jù)式 (5)、(6)定義WLS誤差函數(shù)為

容易知道,e2達到極小的條件是它對所有 a(·)及 b(·)的偏微分皆為 0,即

式 (10)、(11)中,m=1,2,…,M。

2 濾波器實例及驗證

2.1 設計實例與比較

2.1.1 FOD FIR濾波器

為比較設計性能,取 L=1 000;濾波器長度與文獻[10]示例一致 (即 M=5);微分階取 q=0.8,1.0,1.5,2.0。加權函數(shù)選擇為

所得 4個濾波器的幅頻響應如圖 1(a)所示。對照圖中虛線所示理想的幅頻響應 |ω|q可知,它們在非高頻段內具有很好的頻率響應。與前人[9]示例結果比較,在采用同樣濾波器參數(shù)的條件下,本文設計的頻率響應誤差較小,而且具有更寬的有效頻帶。

圖 1 FOC FIR濾波器的幅頻響應Fig.1 Amplitude-frequency response character is tics of the FOC FIR filter

2.1.2 FO IFIR濾波器

參數(shù)取M=15;q=-0.8,-1.0,-1.2。加權函數(shù)選擇為

所設計的 3個濾波器的幅頻響應如圖 1(b)所示,它們在中頻段[0.1π,0.85π]很好地逼近理想的幅頻響應 |ω|q。

2.2 實現(xiàn) FOC運算的驗證

選擇中心頻率為的窄帶時間序列 x(n)=e-0.02n·cos(1.5n)(n=0,1,…)作為試驗樣本,用上節(jié)中設計的 FOC FIR濾波器分別對它進行 0.8次微分和0.8次積分運算,結果如圖 2中的圓點所示。

圖 2 FIR濾波器實現(xiàn)序列 FOC計算的驗證Fig.2 The validation of the FOC series realization using FIR filter

圖 2中同時用實線繪出了由 R-L定義[1]得到的數(shù)值計算結果,其表達式為

由圖 2可知,采用所設計的 FIR濾波器實現(xiàn)序列 x(n)的 0.8次微分和 0.8次積分計算,其結果與R-L定義結果之間只存在少量的誤差。相對而言,積分結果比微分的更好,幾乎完全逼近 R-L定義。容易解釋上述現(xiàn)象產(chǎn)生的原因:FO I濾波器的長度為 2M+1=31,而 FOD濾波器的只有 2M+1=11。

圖 3 原始圖像與不同階次濾波結果Fig.3 The original image and filtered results by different orders

根據(jù)圖 1,微分運算可以有效地提高信號高頻部分,并伴隨頻率與分數(shù)階數(shù)的增長呈現(xiàn)急劇變化。分析圖 1(a)中濾波器的幅頻特征曲線,2階微分對信號高頻成分的提升遠大于其他階次。對于 FOD,當階數(shù) q位于 1～2之間時,信號高頻部分的幅度得到明顯增強,雖遠小于 2階時的增強程度,但也獲得了足夠的提升;當 q位于 0～1時,信號中頻部分的

3 實驗及結果分析

圖 4 圖 3的局部放大Fig.4 Local images filtered by different orders

為了檢驗分數(shù)階 FIR濾波器的檢測效果,本文截取 HJ-1圖像的一部分進行實驗。圖 3為原始圖像與其 0.4、0.8及 1階導數(shù)結果。圖 4為圖 3中圓形框內區(qū)域的局部放大圖像。幅度也有所加強。觀察 FOD在中低頻段的情況可以看出,相對 1階、2階增加幅度較小,信號低頻幅度隨頻率的降低呈非線性衰減,衰減幅度明顯小于 1階、2階微分?？梢?FOD在加強信號高、中頻成分的同時,也對信號的甚低頻成分進行了非線性保留。

分數(shù)階 FIR濾波器是整數(shù)階濾波器的一種延拓,與整數(shù)階微分相類似,它可以實現(xiàn)圖像的銳化;同時利用分數(shù)階的非線性特性,選擇適當?shù)奈⒎蛛A數(shù),可以大幅度增強圖像邊緣和突出紋理細節(jié)、非線性保留平滑區(qū)域和避免產(chǎn)生較多的噪聲。本文通過分數(shù)階 FIR微分算子運算使圖像細節(jié)明顯突出、清晰并使平滑區(qū)域信息得以相對保留,從而提高了圖像的視覺清晰度。

針對 FOD的階數(shù)可連續(xù)變化的優(yōu)勢,根據(jù)圖像采用不同的微分階次,可以達到較好的增強效果。對比圖 3和圖 4可以發(fā)現(xiàn),隨著階數(shù)的增加,圖像的銳化濾波效果明顯增強,圖像的邊緣信息和局部細節(jié)得到加強。針對本幅圖像,發(fā)現(xiàn)階數(shù)在 0.4和0.8時,原圖像在整數(shù)階濾波中被濾掉的像素,在 0.8階微分圖像中得到了很明確的展現(xiàn) (如圖 4左下圖中的箭頭所示:左下角的像素得到顯示,而右上的兩個點得到了增強)。可見,分數(shù)階濾波效果較之整數(shù)階有一定的優(yōu)勢。由于不同圖像的整體亮度不同,所對應的最佳微分階數(shù)也會有所不同。

4 結論

(1)可以從傅立葉變換角度定義序列的 FOC。

(2)對于頻帶有限的序列,可以通過 FIR濾波器實現(xiàn)其 FOC計算。

(3)基于WLS誤差準則的設計算法,可以有效設計 FOC FIR濾波器。

(4)由 FIR濾波器實現(xiàn)序列的 FOC計算,只需要極少的計算量,其結果逼近 R-L定義的誤差隨濾波器長度的增加而減小。

(5)分數(shù)階 FIR濾波器用于圖像的增強較傳統(tǒng)的整數(shù)階濾波器有明顯的優(yōu)勢?；诜謹?shù)階的圖像濾波方法效果良好,可以大幅度增強圖像邊緣和突出紋理細節(jié)、非線性保留平滑區(qū)域和避免產(chǎn)生較大的噪聲,表明分數(shù)階濾波器在遙感圖像處理領域有廣闊的應用前景。

(6)需要說明的是,對于頻帶有限的連續(xù)信號,其FOC運算可以通過對它進行采樣頻率大于奈奎斯特頻率的離散化處理、進而采用本文的方法得以實現(xiàn)。

(7)本文是 FOD在遙感圖像處理中進行的嘗試性應用,是一個剛剛起步的研究課題。從應用的角度提出了一種解決 FOC復雜計算問題的有效方法,它可以大大的推動 FOC這一新穎工具更深入、更廣泛的應用。

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(責任編輯:劉心季)

Remote Sen sing Image Filtering Method Using the Fractional Order FIR Based on the WLS Error Criterion

GUO Ding1,2,3,GU Xing-fa1,2,3,YU Tao2,3,ZHAO Hui1,MA Hong-tao2,3
(1.University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 610054,China;2.State Key Laboratory of Remote Sensing Science,Institute of Remote Sensing Applications,CAS,Beijing 100101,China;3.Demonstration Center of Spaceborne Remote Sensing National Space Administration,Beijing 100101,China)

In this paper,a new filtering method has been proposed on the basis of the WLS error criterion,and the fractional order calculus has been used in the method.The coefficient of the filter can be altered with the order.Validated by the Riemann-Liouvillerule,the method can be applied to remote sensing image processing.Studies show that the method can attain the balance between anti-interference and detail extraction.Thus the technique displays fairly good filtering effect.

Fractional calculus;FIR;Digital filter;WLS rule;Remote sensing

郭 丁 (1980-),男,博士研究生,主要從事檢測技術及自動化裝置方面研究。

TP 751.1

A

1001-070X(2011)01-0048-04

2010-06-09;

2010-07-13

中國科學院知識創(chuàng)新工程重要方向項目“航天遙感圖像仿真模擬關鍵技術研究”(編號:KZCX2-YW-303)和國防科技工業(yè)民用專項科研技術研究項目“HJ-1衛(wèi)星數(shù)據(jù)應用研究”(編號:07K00100KJ)共同資助。