馬在勇，仇子鋮，王 美，田文喜，蘇光輝，秋穗正

（西安交通大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，陜西 西安 710049）

核能發(fā)展到今天，快堆由于眾多的優(yōu)良特性越來越受到人們的重視。在第4代反應(yīng)堆的6種候選堆型中，有3種是快堆，而這3種快堆中，又有2種使用液態(tài)金屬作為冷卻劑。研究液態(tài)金屬的傳熱對于快堆的設(shè)計(jì)、運(yùn)行和安全均具有十分重要的意義。液態(tài)金屬具有很高的導(dǎo)熱性和低的普朗特?cái)?shù)，這使得其傳熱特性與普通流體很不相同，已有的普通流體的傳熱關(guān)系式不再適用，必須研究新的換熱關(guān)系式?，F(xiàn)有文獻(xiàn)可查的液態(tài)金屬棒束傳熱關(guān)系式很多，這些關(guān)系式主要由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合而得，應(yīng)用時(shí)具有一定的局限性。也有研究者通過建立模型和程序計(jì)算給出，但與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差頗大。

本工作通過建立模型和引入適當(dāng)修正，研究新的液態(tài)金屬棒束傳熱關(guān)系，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。

1 模型建立

圖1示出了三角形布置棒束的幾何特征。填充區(qū)域即為本工作設(shè)定的基本傳熱單元，由6個(gè)通常定義的傳熱單元所組成。該傳熱單元外側(cè)邊界是等邊六邊形，與圓形非常相近，為方便處理，可將其近似為一同心環(huán)管，內(nèi)徑為r1，外徑為r2。按面積相等的原則，可得到等效環(huán)管外徑req的計(jì)算式。

圖1 棒束傳熱模型Fig.1 Schematic of heat transfer model for tube bundles

圖1中，六邊形邊長a＝P，其面積Aeq為：

解得：

等效環(huán)管的徑比yeq與節(jié)徑比x的關(guān)系為：

至此，完成將棒束傳熱向同心環(huán)管傳熱轉(zhuǎn)變的第1步，類似的處理方式可參見文獻(xiàn)［1－2］。在進(jìn)行下一步工作前，首先分析該等效環(huán)管的流動傳熱特點(diǎn)，其特點(diǎn)如下。

1）該等效環(huán)管的充分發(fā)展流體速度分布與通常獨(dú)立同心環(huán)管流體速度分布不同，其內(nèi)徑處是常規(guī)的無滑移條件，外徑處則對應(yīng)速度的最大值，同時(shí)，由于棒束之間的互相影響，其速度分布沿周向的變化也較大。

2）該等效環(huán)管內(nèi)側(cè)是等熱流邊界條件，外側(cè)則可類似為絕熱條件（對稱性），同樣由于棒束之間的相互影響，其溫度分布沿徑向和周向均有較大變化。

從上述分析可見，棒束之間的相互影響使等效環(huán)管的流動和傳熱特性變得相當(dāng)復(fù)雜，難以分析。若不考慮棒束之間的相互影響，該等效環(huán)管的流動和傳熱特性則大為簡化。在此，作出如下假設(shè)。

1）棒束之間的相互影響可簡單地視為一幾何效應(yīng)，其對流動傳熱的整體影響可引入幾何相關(guān)的修正項(xiàng)修正。引入該項(xiàng)修正后，可認(rèn)為等效環(huán)管的截面速度、溫度分布僅是徑向的函數(shù)，與周向無關(guān)。

2）在不考慮棒束之間相互影響的條件下，等效環(huán)管的速度分布可使用內(nèi)徑為r1、外徑為r2的同心環(huán)管在相應(yīng)位置處的速度分布近似。這里忽略壁面潤濕對速度分布的影響［3］，可認(rèn)為速度最大處的位置僅與r1、r2相關(guān)。

3）在不考慮棒束之間相互影響的條件下，等效環(huán)管的溫度分布可使用內(nèi)徑為r1、外徑為r2、內(nèi)側(cè)等熱流密度、外側(cè)絕熱的同心環(huán)管在相應(yīng)位置處的溫度分布近似。在同心環(huán)管最大速度處的溫度梯度小于零，不是絕熱條件，因?yàn)檫@個(gè)假設(shè)中包含了如下考慮：實(shí)際的棒束系統(tǒng)一般中心的溫度高于邊緣溫度，使絕熱條件被破壞；同時(shí)內(nèi)側(cè)加熱、外側(cè)絕熱的同心環(huán)管的研究較深入，這樣也可更好地利用已有成果使模型簡化。

根據(jù)假設(shè)2，無論對于層流還是紊流，其截面最大速度在環(huán)管內(nèi)的位置一般認(rèn)為不變。故可用層流狀態(tài)下的速度分布與半徑的關(guān)系得到速度最大處的半徑：

式中，y′為徑比，y′＝r2／r1。

y′是隱式的，不能直接求解?？汕蟪鲆幌盗心骋粂′對應(yīng)的yeq，作圖擬合出y′與yeq的關(guān)系（圖2）。數(shù)據(jù)擬合結(jié)果為：

圖2 y′與yeq的關(guān)系Fig.2 Relationship between y′and yeq

yeq按式（3）計(jì)算。式（4）擬合的R2＝1。

經(jīng)以上分析和假設(shè)，棒束的傳熱問題轉(zhuǎn)化為一徑比為y′、內(nèi)側(cè)加熱、外側(cè)絕熱的同心環(huán)管的傳熱問題。但棒束傳熱單元所等效的環(huán)管僅是徑比為y′的同心環(huán)管在r＝r1和r＝req之間的部分。

牛頓冷卻公式為：

由式（6）可知，由于熱流密度q是相同的，在計(jì)算傳熱系數(shù)h時(shí)重要的區(qū)別是溫差Δt。完整同心環(huán)管的溫差大于傳熱單元的溫差，同時(shí)，還需考慮環(huán)管對棒束傳熱近似所帶來的影響（假設(shè)1），因而，必須對溫差進(jìn)行修正。

Nu的計(jì)算公式為：

式中：Dh為等效水力直徑；κ為流體導(dǎo)熱系數(shù)。

由式（7）可知，Dh應(yīng)使用棒束傳熱單元的水力直徑。由水力直徑計(jì)算公式可得到水力直徑修正：

考慮了上述因素后，等邊三角形布置的棒束傳熱關(guān)系式為：

其中：Nu（y′）為徑比為y′時(shí)對應(yīng)內(nèi)側(cè)加熱、外側(cè)絕熱的同心環(huán)管的Nu的計(jì)算式；Ch為水力修正項(xiàng)；Ct為溫度修正項(xiàng)。

2 溫度修正項(xiàng)

如前所述，欲得到棒束傳熱關(guān)系式，須對水力直徑和溫度進(jìn)行修正。水力直徑修正可直接給出準(zhǔn)確的表達(dá)式，溫度修正則包含了諸多因素，較難給出準(zhǔn)確表達(dá)式。從前面的分析看，溫度修正主要包含兩個(gè)方面：1）完整同心環(huán)管的傳熱溫差大于傳熱單元所等效的部分環(huán)管的傳熱溫差；2）棒束速度場和溫度場向環(huán)管近似過程方面的修正。

2.1 溫度修正的第1項(xiàng)

溫度修正第1項(xiàng)與內(nèi)側(cè)加熱、外側(cè)絕熱的同心環(huán)管的截面溫度分布和速度分布有關(guān)，按截面平均溫度的定義，忽略密度、定壓比熱容隨溫度的變化，得到兩種情況下的平均溫差近似表達(dá)式：

式中：tw1為內(nèi)側(cè)壁溫；t（r）、v（r）為半徑r處流體溫度及速度。

從而，溫度修正的第1項(xiàng)為：

在計(jì)算式（12）時(shí)，同心環(huán)管的溫度分布可用冪級數(shù)表示，利用文獻(xiàn)［4］中的數(shù)據(jù)（流體為液鈉、汞，Pe為322、700、2 140、3 110），擬合得到如下關(guān)系式：

上式擬合的R2＝0.991 4。

速度場按簡單的1／7次冪速度分布律估計(jì)：

其中：C為常數(shù)；Y按式（15）計(jì)算［5］。

在不同的y′下計(jì)算得到Ct1，結(jié)果如圖3所示。Ct1由圖3可擬合為：

該式擬合的R2＝0.997 4。

圖3 Ct1與y′的關(guān)系Fig.3 Relationship between Ct1and y′

需說明的是，以上計(jì)算包含了一定估計(jì)的因素。雖然速度場按冪律分布這種處理方式在湍流區(qū)被廣泛應(yīng)用，但其在層流底層和最大速度處并不符合實(shí)際，且在Pe較低時(shí)，冪次也不是1／7。另外，環(huán)管溫度場隨著Pe、Pr不同也有所變化，因此，本工作的擬合式與實(shí)際有一定偏離，但從擬合的R2來看，引起的偏差不大。

2.2 溫度修正的第2項(xiàng)

溫度修正的第2項(xiàng)是由環(huán)管對棒束布置的近似引起的。棒束的幾何條件與簡單的環(huán)管不同，各棒之間相互影響，其溫度場和速度場遠(yuǎn)比環(huán)管復(fù)雜，特別是在P／D較小的情況下，各棒之間相對距離小，這種差別更加明顯。文獻(xiàn)［6］給出不同P／D下局部Nu的變化規(guī)律。P／D較小時(shí)，Nu隨角度的改變很大，而在P／D較高時(shí)，Nu在不同角度的值幾乎相同。這表明，P／D越小，棒束間的相互影響越明顯，幾何布置沿周向的非均勻性越突出，速度場和溫度場的復(fù)雜程度越高；但隨著P／D的增大，這種非均勻性迅速減弱，最后逐漸趨于穩(wěn)定。這體現(xiàn)了棒束間相互影響大小的一般規(guī)律。欲得到溫度修正的第2項(xiàng)，就必須對這一規(guī)律進(jìn)行較準(zhǔn)確的描述。本工作采用的方法是，比較2根圓棒形成的通道與環(huán)管最外側(cè)到中心圓棒壁面距離的相對大小，因?yàn)檫@2個(gè)值均關(guān)系到速度場的發(fā)展，進(jìn)而影響溫度場。若該值距1較遠(yuǎn)，則棒束與環(huán)管的溫度場與速度場的相似度小，反之，則相似度大。具體表達(dá)式為：

Ct2隨P／D的變化規(guī)律示于圖4。從圖4看出，在P／D＜1.3時(shí)，隨著P／D的增大，Ct2迅速增大；而當(dāng)P／D＞1.3時(shí)，Ct2緩慢上升。

圖4 棒束之間的相互影響Fig.4 Interaction among tube bundles

式（17）的計(jì)算結(jié)果與采用子通道方法計(jì)算棒束傳熱程序中使用的修正因子有效混合長度Lij的計(jì)算結(jié)果（僅在P／D較小時(shí)適用）非常接近［7－8］，圖5示出這兩種計(jì)算結(jié)果的比較。

圖5 式（17）與有效混合長度的關(guān)系Fig.5 Relationship between Eq.（17）and effective mixing length

3 分析討論

3.1 模型驗(yàn)證

通過將三角形布置的棒束傳熱問題過渡到同心環(huán)管傳熱問題，經(jīng)水力直徑修正和溫度修正，得到三角形布置液態(tài)金屬棒束傳熱的計(jì)算公式（式（9））。為驗(yàn)證該式的應(yīng)用價(jià)值，與已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較［9－11］。

文獻(xiàn)［9］采用由7根22mm圓管構(gòu)成等邊三角形布置的棒束，在不同P／D（1.1、1.2、1.3、1.4、1.5）下測量了傳熱數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)加熱段長800mm，溫度變化范圍為206～236℃，文獻(xiàn)中未給出具體工質(zhì)，但給出每組P／D實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所包含的Pr，分別為0.007、0.03、0.024。

文獻(xiàn)［10］中實(shí)驗(yàn)段采用12mm的31根圓管布置成等邊三角形，P／D為1.25、1.6、1.95，實(shí)驗(yàn)工質(zhì)為44%Na－56%K，溫度范圍為100～425℃，Pr變化范圍為0.011～0.024。文獻(xiàn)中給出了246組數(shù)據(jù)，本工作使用了Pe在110～4 300范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)。

文獻(xiàn)［11］采用了13根13mm的圓棒構(gòu)成P／D＝1.75的等邊三角形布置，對汞進(jìn)行了傳熱實(shí)驗(yàn)（Pr＝0.02），實(shí)驗(yàn)結(jié)果包含了146組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。本工作分析中，使用了Pe在150～4 000的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖6示出本工作計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較。溫度修正采用不同的關(guān)系式計(jì)算。圖中的溫度修正項(xiàng)擬合式按上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合而得：

圖6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與引用不同溫度修正的計(jì)算結(jié)果的比較Fig.6 Comparison between experimental data and calculated values with different temperature corrections a——式（16）、（17）；b——式（18）

圖6a的溫度修正按式（16）、（17）計(jì)算。整體看來，幾乎所有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都均勻地分布在y＝x這條直線兩側(cè)，Nu的計(jì)算結(jié)果對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)了很好的預(yù)測。在P／D≥1.2時(shí)，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對誤差均在30%以內(nèi)，但在P／D＝1.1時(shí)，很明顯地高估了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，約有一半數(shù)據(jù)的相對誤差均大于30%。在P／D很小時(shí)對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏離，應(yīng)是這個(gè)情形下棒間間距過小、從等邊六邊形向圓形的等效近似導(dǎo)致傳熱幾何的較大變化引起的。

圖6b的溫度修正項(xiàng)按實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到。整體看來，幾乎所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與計(jì)算結(jié)果的相對誤差均在±30%以內(nèi)，且無明顯高估或低估實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的趨勢，預(yù)測效果良好。在P／D較大時(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與預(yù)測結(jié)果的相對誤差幾乎均在±20%以內(nèi)，隨著P／D減小，預(yù)測效果降低。

3.2 討論

經(jīng)上述比較可見，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，本工作所建立的模型取得了良好效果。對于P／D≥1.2，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)的相對誤差基本可在30%以下，在高Pe區(qū)的預(yù)測精度則更高。這充分說明了本模型的合理性，但使用該模型還需注意以下問題。

1）本模型在P／D＜1.2的情況下，對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)測偏高。初步估計(jì)是在小P／D情況下，從等邊六邊形向圓形的簡化假設(shè)會引入較大誤差，因?yàn)檫@種情況下，傳熱單元的面積受邊界形狀的影響增大，簡化會引起傳熱幾何上的巨大變化。若要在較低P／D情況下使用該模型，應(yīng)引入對這一方面的修正。

2）本模型溫度修正的第1項(xiàng)雖有明顯的物理意義，但本工作給出的修正公式僅針對Pr很小的液態(tài)金屬，且Pe在一定范圍內(nèi)適用，若條件有所改變，應(yīng)相應(yīng)地改變修正公式。

3）本模型溫度修正的第2項(xiàng)雖導(dǎo)出過程的物理意義不十分明確，但從其與有效混合長度在計(jì)算結(jié)果上的一致性來看，其物理含義和準(zhǔn)確計(jì)算可參考有效混合長度的相應(yīng)結(jié)論。

4）本模型僅對等邊三角形布置的棒束進(jìn)行討論，對于正方形布置的棒束傳熱，應(yīng)引入一項(xiàng)幾何上的修正。

4 結(jié)論

棒束傳熱問題可轉(zhuǎn)化成內(nèi)側(cè)加熱的同心環(huán)管的傳熱問題，本工作研究了這一過程，同時(shí)得到棒束傳熱的新關(guān)系式，通過與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比討論，取得較好的預(yù)測效果。本工作的結(jié)論如下。

1）液態(tài)金屬三角形布置順流傳熱關(guān)系式為：

擬合公式為：

以上兩式中：

Nu（y′）表示徑比為y′時(shí)對應(yīng)內(nèi)側(cè)加熱、外側(cè)絕熱的同心環(huán)管的Nu的計(jì)算式，可按Dwyer等［12］給出的關(guān)系式計(jì)算。式（19）可在1.2≤P／D＜2范 圍 內(nèi) 使 用；式 （20）可 在1.1≤P／D＜2范圍內(nèi)使用。根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和參數(shù)擬合范圍，以上兩式適用于Pr≤0.03的液態(tài)金屬，其中100＜Pe＜4 300。

2）進(jìn)行溫度修正第2項(xiàng)計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)，本工作提出的溫度修正第2項(xiàng)關(guān)系式（式（17）），與已有的有效混合長度關(guān)系式符合較好，可作為有效混合長度的新關(guān)系式使用。

［1］DWYER O E，TU P S.Analytical study of heat transfer rates for parallel flow of liquid metals through tube bundles［J］.Chemical Engineering Progress Symposium Series，1960，56（30）：183－193.

［2］FRIEDLAND A J，BONILLA C F.Analytical study of heat transfer rates for parallel flow of liquid metals through tube bundles［J］.AIChE Journal，1961，7（1）：107－112.

［3］HLAVAC P J，NIMMO B G，DWYER O E.Experimental study of effect of wetting on turbulent flow of mercury in annuli［J］.Int J Heat Transfer，1972，15（12）：2 611－2 631.

［4］GüNTHER G.Numerical simulation of turbulent temperature fluctuations in liquid metals［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，1981，24（3）：475－490.

［5］HENRY B.Fluid flow and heat transfer in an annulus with heated core tube［J］.ImechE，1955，169（1）：1 113－1 124.

［6］CHENG X，TAK N I.CFD analysis of thermalhydraulic behavior of heavy liquid metals in subchannels［J］.Nuclear Engineering and Design，2006，236（18）：1 874－1 885.

［7］JEONG Hae－yong，HA Kwi－seok.Evaluation of the conduction shape factor with a CFD code for a liquid metal heat transfer in heated triangular rod bundles［J］.Nuclear Engineering and Design，2007，237（6）：648－654.

［8］CHENG S K，TODREAS N F.Constitutive correlations for wire－wrapped subchannel analysis under forced and mixed convection conditions，DOE／ET／37240－108TR［R］.USA：Massachusetts Institute of Technology，1984.

［9］BORISHANSKI V M，GOTOVSKI M A，F(xiàn)IRSOVA E V.Heat transfer to liquid metals in long itudinally wetted bundles of rods［J］.Atomnaya Energiya，1969，27（6）：549－552.

［10］GR?BER V H，RIEGER M.Experimentelle untersuchung des w?rmeübergangs an flüssigmetalle（NaK）in parallel durchstr?mten rohrbündeln bei konstante und exponentieller w?rmeflussdichteverteilung［J］.Atomkernenergie （ATKE）Bd，1972，19（1）：23－40.

［11］MARESKA M V，DWYER O E.Heat transfer in a mercury flow along bundles of cylindrical rods［J］.Journal of Heat Transfer，Transactions ASME，1964，64：180－186.

［12］DWYER O E，TU P S.Bilateral heat transfer to liquid metals flowing turbulently through annuli［J］.Nucl Sci Eng，1965，21（1）：90－105.