趙月靜，秦志英，彭 偉

(河北科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，石家莊 050018)

礦物的破碎磨碎作業(yè)能耗極高，因此破碎磨碎領(lǐng)域節(jié)能意義重大［1]。振動圓錐破碎機(jī)是實(shí)現(xiàn)超細(xì)破碎的節(jié)能型設(shè)備，可破碎高強(qiáng)度物料，磨損小。和振動顎式破碎機(jī)相比，不僅有沖擊破碎還有碾壓破碎，沒有空行程，生產(chǎn)效率高。振動圓錐破碎機(jī)工作時(shí)，被破碎物料層始終存在于動錐和定錐形成的破碎腔中。被破碎物料既有能量積累又有能量耗散，在動錐和定錐之間起到傳遞能量的作用，因此有必要把被破碎物料層視為振動破碎機(jī)系統(tǒng)的一個(gè)組成部分［2]。振動圓錐破碎機(jī)系統(tǒng)不僅有剛體對物料的沖擊擠壓破碎作用，而且待破碎的物料層對剛體也有反作用，因此振動圓錐破碎機(jī)的動力學(xué)特性十分復(fù)雜［3]。為了更好地利用振動的能量，如何利用定錐和動錐這兩剛體運(yùn)動以及它們與物料層之間的剛散耦合沖擊效應(yīng)，提高破碎效果，是振動圓錐破碎機(jī)動力學(xué)設(shè)計(jì)理論研究的核心問題。

本文正是考慮物料層散體的作用，對振動圓錐破碎機(jī)進(jìn)行建模和動力學(xué)分析。首先，給出振動圓錐破碎機(jī)工作原理圖和在水平面內(nèi)的物理模型圖。其次，應(yīng)用Lagrange方程推導(dǎo)建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，其中物料層的作用采用一個(gè)分段線性的廣義力模型來代替。然后，對該方程用MATLAB進(jìn)行數(shù)值仿真分析討論。最后，探討物料層對振動圓錐破碎機(jī)運(yùn)動的影響。

1 考慮物料層的振動圓錐破碎機(jī)的物理建模

振動圓錐破碎機(jī)由動錐5和定錐4形成破碎腔，動錐5通過彈性元件6與定錐4相連，定錐4通過外殼3與底架1相連，如圖1所示。電機(jī)軸旋轉(zhuǎn)，通過撓性聯(lián)軸器帶動主軸運(yùn)動，主軸上裝有偏心塊2，主軸運(yùn)動帶動偏心塊2旋轉(zhuǎn)，偏心塊2旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生激振力，帶動動錐5運(yùn)動，通過彈性元件2和物料傳遞把運(yùn)動傳遞給定錐4，定錐4和動錐5兩個(gè)剛體均做空間自由運(yùn)動。動錐和定錐的質(zhì)心靜止時(shí)重合，把動坐標(biāo)系的原點(diǎn)(基點(diǎn))選在質(zhì)心，兩剛體的自由運(yùn)動分解為隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，每個(gè)剛體有6自由度:質(zhì)心的坐標(biāo)x，y，z和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的三個(gè)歐拉角ψ，θ，φ。

圖1 振動圓錐破碎機(jī)的構(gòu)造與工作原理簡圖Fig.1 The map of structure and working principle of vibrating cone crusher

文獻(xiàn)［3] 中建立了不考慮物料層作用的振動圓錐破碎機(jī)系統(tǒng)的空間12個(gè)自由度的模型，得到振動微分方程組。文獻(xiàn)［4] 中對文獻(xiàn)［3] 中得到振動微分方程組進(jìn)行仿真分析，得到在不考慮料層作用的影響時(shí)，定錐與動錐的運(yùn)動幅度相比相差較多，振動圓錐破碎機(jī)的主要運(yùn)動可以簡化為定錐靜止不動，動錐剛體做空間運(yùn)動［3]。但是由于要破碎的物料一定存在于定錐和動錐之間，形成物料層，所以必須考慮其影響。為了更加符合實(shí)際的破碎系統(tǒng)，反映系統(tǒng)的動力學(xué)性能，簡化系統(tǒng)，故本文設(shè)定錐靜止不動，只考慮動錐的運(yùn)動，考慮料層的影響，取動錐的質(zhì)心所在水平截面，建立振動圓錐破碎機(jī)系統(tǒng)水平面內(nèi)運(yùn)動3個(gè)自由度的模型。如圖2所示。

圖2 振動圓錐破碎機(jī)的工作狀態(tài)動力學(xué)模型圖Fig.2 The mechanics model of vibrating cone crusher in working state

在定錐質(zhì)心位置O點(diǎn)建立絕對坐標(biāo)系XOY，在動錐質(zhì)心位置O1點(diǎn)建立相對坐標(biāo)系X1O1Y1，系統(tǒng)靜止時(shí)，絕對坐標(biāo)系X1O1Y1和相對坐標(biāo)系XOY重合。動錐剛體做平面運(yùn)動，有3個(gè)自由度x，y，θ。動錐質(zhì)量為m1，動錐繞其質(zhì)心O1的轉(zhuǎn)動慣量為I0。偏心塊可簡化為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m0，其質(zhì)心距離O1點(diǎn)的距離(偏心距)為e。偏心塊除了隨動錐剛體做平面運(yùn)動(牽連運(yùn)動)外，還繞動錐質(zhì)心O做轉(zhuǎn)動角速度為ω的相對運(yùn)動。動錐和定錐之間共有6個(gè)主振彈簧(橡膠彈簧)沿圓周方向均勻分布，彈簧與動錐連接點(diǎn)Ai(i=1～6)，彈簧的剛度為k，在x，y方向上的剛度分別用kx，ky表示;破碎腔中填充有物料層，設(shè)δ為物料可壓縮(從初始裝入松散到壓實(shí))的距離，R1為動錐的內(nèi)徑，R2為動錐的外徑。

2 振動圓錐破碎機(jī)系統(tǒng)的動力學(xué)方程的建立

根據(jù)如下拉格朗日方程:

建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，選取動錐的自由度作為廣義坐標(biāo)，動錐有3個(gè)自由度x，y，θ。計(jì)算系統(tǒng)的動能T、勢能U和廣義力Qi。

2.1 系統(tǒng)的動能

系統(tǒng)的動能是由動錐的動能和偏心塊的動能組成。偏心塊動能計(jì)算很麻煩，一種方法是按照絕對速度等于相對速度加牽連速度的方法求取，分析比較麻煩;另一種是按照坐標(biāo)變換求其位置，然后求導(dǎo)求其速度，此方法充分利用數(shù)學(xué)軟件的推導(dǎo)優(yōu)勢，采用坐標(biāo)變化的方法來求取。求出運(yùn)動后某時(shí)刻此質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，然后求導(dǎo)數(shù)得其速度。偏心塊m0安裝在動錐m1上，其在 X1O1Y1坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(e cosωt，e sin ωt)，隨動錐m1運(yùn)動后的絕對坐標(biāo)為:

求導(dǎo)可得偏心塊的速度，故偏心塊的動能為:

動錐的動能可表示為:

系統(tǒng)的動能可表示為:

2.2 系統(tǒng)的勢能

系統(tǒng)的勢能由主振彈簧的勢能組成，不包括重力勢能和彈簧靜變形的勢能。系統(tǒng)中采用的彈簧是壓縮彈簧，彈簧的連接采用導(dǎo)柱式的彈簧座，采用分別考慮x，y方向變形來計(jì)算彈性勢能［5]。彈簧一端固定在定錐上，另一端固定在動錐上，隨著動錐運(yùn)動。根據(jù)坐標(biāo)變化，利用式2)求出彈簧和動錐相連點(diǎn)Ai在絕對坐標(biāo)系下的坐標(biāo)Ai'，

其中Ai的相對坐標(biāo)為:，φ為A1與x軸的夾角。

求出其在x，y方向的變形量:

則每個(gè)彈簧的勢能可表示為:

圓錐破碎機(jī)的模型共有6個(gè)主振彈簧，則系統(tǒng)的總勢能為:

2.3 廣義力

系統(tǒng)在空載時(shí)，系統(tǒng)的廣義力為系統(tǒng)中非理想約束的反力;系統(tǒng)在工作時(shí)，系統(tǒng)的廣義力為系統(tǒng)中非理想約束的反力和物料的作用力。非理想約束的反力為阻尼力;物料層對系統(tǒng)的作用可以簡化為一個(gè)分段線性的接觸力模型［6－8]，如圖3所示。動錐剛體在 x，y方向都有位移，故接觸力的方程如下:

開始工作前，待破碎的物料松散地堆積在定錐和動錐形成的破碎腔中;開始工作后，物料在破碎腔內(nèi)動錐壓緊破碎，物料間的間隙被壓縮?？紤]物料的可壓縮性，本文中假設(shè):

σ1=1/4δ，σm=2/3δ，σ2=1/2δ。(δ為物料最大可壓縮距離。)

圖3 物料層的分段線性接觸力模型Fig.3 The model of piecewise linear contact force for materials layer

2.4 系統(tǒng)振動動力學(xué)方程組

系統(tǒng)在工作狀態(tài)下考慮物料的非線性力后，根據(jù)Lagrange方程，利用MAPLE數(shù)學(xué)軟件推導(dǎo)，建立系統(tǒng)的3自由度振動微分方程組，如下所示:

式中:cx，cy分別為x，y方向阻尼系數(shù);Cθ為圓周方向的阻尼系數(shù);μ為物料和動錐表面的摩擦系數(shù)。

fxyθ為 x，y，θ自由度之間的耦合項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)太多，對系統(tǒng)影響不大，在此不再列出。

從方程(5)可以看出，該系統(tǒng)的動力學(xué)方程是一個(gè)非線性方程組。除了物料層的非線性力F(r)以外，還含有激振力與x，y，θ之間的耦合非線性項(xiàng)，以及x，y，θ之間的耦合非線性項(xiàng)。為了重點(diǎn)研究物料層的非線性影響，可對方程(5)進(jìn)行初步的線性化處理。若剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動角度θ很小時(shí)，令sinθ≈0，cosθ≈1;同時(shí)忽略x，y，θ之間的耦合非線性，以下動力學(xué)分析是基于此種線性化后的方程組。

3 剛散耦合振動圓錐破碎機(jī)動力學(xué)響應(yīng)及分析

利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件，采用Runge-Kutta法求解微分方程，進(jìn)行數(shù)值仿真。表1給出振動圓錐破碎機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和幾何參數(shù)的值。

表1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和幾何參數(shù)Tab.1 Parameters of structure and size in system

3.1 系統(tǒng)的響應(yīng)

考慮物料層的影響，即微分方程組(5)F(r)用式(4)表示。系統(tǒng)在不同激振頻率ω作用下的時(shí)間歷程、頻譜圖、相圖和Poincare截面［9]如圖4～圖6所示。ω0為系統(tǒng)固有頻率。

當(dāng)ω=50，系統(tǒng)的振動為看似雜亂無章的運(yùn)動，而且振動幅度很大。許多低頻信號被激發(fā)，x，y方向振動主要集中在0.5ω0分量附近，θ方向振動為0.01ω0的低頻分量。但系統(tǒng)的運(yùn)動還是有界的。

當(dāng)ω=100，系統(tǒng)的振動變?yōu)楦胖芷谶\(yùn)動，x，y由兩個(gè)頻率ω0和0.2ω0的分量疊加而成，θ方向的振動是兩個(gè)頻率0.4ω0和 1.2ω0分量疊加而成。

當(dāng)ω=150，系統(tǒng)的振動仍為概周期運(yùn)動，x，y由兩個(gè)頻率ω0和0.15ω0的分量疊加而成，θ方向的振動是兩個(gè)頻率0.25ω0和1.15ω0的分量疊加而成，而且幅值很低。

圖4 考慮物料層時(shí)激振頻率ω=50時(shí)的時(shí)間歷程、頻譜圖、相圖和Poincare截面Fig.4 The figure of time-processing、the phase and Poincare section and amplitude-frequency with material layer，ω =50

從圖4～圖6中可以看出，考慮物料層作用時(shí)，由于物料層的非線性接觸力的影響，x，y方向出現(xiàn)兩個(gè)頻率0.15ω0～0.25ω0和 ω0的分量，θ方向兩個(gè)頻率 0.25ω0和1.15ω0。隨著激振頻率ω的增大，低頻率的分量減少，只出現(xiàn)一種低頻率的分量，而且該頻率越來越低。

4 結(jié)論

用力和激振力相比處于同一數(shù)量級，物料的非線性力對系統(tǒng)的作用顯著，系統(tǒng)運(yùn)動是看似雜亂無章的運(yùn)動。隨著激振頻率增加，激振力逐漸增大，物料散體的作用力相對于剛體的激振力逐漸較小，因而激勵(lì)出的低頻分量減少，對剛體的影響也逐漸變小。

(3)把料層的作用簡化為分段線性接觸力，類比單自由度線性系統(tǒng)，相當(dāng)于增大系統(tǒng)的剛度，因此系統(tǒng)固有頻率增大。當(dāng)激振頻率較小時(shí)，處于共振區(qū)域，振幅較大，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定工作區(qū);當(dāng)激振頻率增大后，系統(tǒng)區(qū)域穩(wěn)定工作，振幅也處于合理范圍。因此在選

(1)把料層的作用簡化為分段線性接觸力，物料層的作用使系統(tǒng)做復(fù)雜的概周期運(yùn)動。

(2)當(dāng)激振頻率較低時(shí)，激振力較小，物料層的作擇樣機(jī)參數(shù)時(shí)，電機(jī)的轉(zhuǎn)速應(yīng)取大些較好，使其工作在穩(wěn)定工作區(qū)域。

(4)本文把物料層作用簡化為一個(gè)接觸力的形式，對破碎機(jī)的動力學(xué)性能進(jìn)行了初步分析。實(shí)際上物料層動力學(xué)性能非常復(fù)雜，需要從微觀的角度，利用離散單元法把物料簡化為顆粒群，利用群動力學(xué)的方法對其行為做進(jìn)一步分析［10]。

(5)后續(xù)需要通過樣機(jī)大量的破碎實(shí)驗(yàn)，對破碎出的物料篩分進(jìn)行粒度分析，來確定各參數(shù)對破碎性能及節(jié)能的影響。

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