安哲成，于廣瀛

(1.大連理工大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，遼寧大連116024;2.大連理工大學(xué)能源與動力學(xué)院，遼寧大連116024)

企業(yè)是從事生產(chǎn)、流通、服務(wù)等經(jīng)濟(jì)活動，以生產(chǎn)或服務(wù)滿足社會需要，實(shí)行自主經(jīng)營、獨(dú)立核算、依法設(shè)立的一種盈利性的經(jīng)濟(jì)組織。作為社會活動的重要參與者，企業(yè)承擔(dān)生產(chǎn)產(chǎn)品并將其推向市場、進(jìn)行銷售的社會責(zé)任。企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品主要通過營銷部進(jìn)行銷售［1］。

對于生產(chǎn)方案，在滿足已簽約的銷售合同量的基礎(chǔ)上，對意向簽約量有選擇地安排生產(chǎn)。對于銷售方案，企業(yè)的產(chǎn)品銷售共有三種途徑:第一，企業(yè)組織安排生產(chǎn)，完成已簽約的銷售合同;第二，企業(yè)希望營銷部門與意向簽約的客戶簽訂正式銷售合同;第三，企業(yè)希望營銷部門銷售更多產(chǎn)品(計劃外)。

關(guān)于利潤計算，對于所簽約的銷售合同和意向簽約量(計劃內(nèi))，企業(yè)根據(jù)銷售量向營銷部發(fā)放經(jīng)費(fèi)(包括工資以及宣傳費(fèi)用等);對于計劃外銷售的產(chǎn)品，實(shí)行承包制，營銷部向企業(yè)繳納利潤。產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用由企業(yè)承擔(dān)，與銷售有關(guān)的費(fèi)用(如產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用等)由營銷部承擔(dān)。

在上述問題背景下，企業(yè)產(chǎn)品生產(chǎn)銷售方案的制定直接決定著企業(yè)及其營銷部的利潤收益。因此，優(yōu)化企業(yè)的產(chǎn)品生產(chǎn)銷售方案，使企業(yè)及營銷部獲得最大收益期望，具有重大的現(xiàn)實(shí)意義。

1 問題分析

在企業(yè)運(yùn)營過程中，企業(yè)決策部門根據(jù)自身生產(chǎn)能力、已簽約訂單數(shù)量、意向簽約訂單數(shù)量和計劃外銷售量的可能情況制定生產(chǎn)方案。在這個問題中，意向簽約訂單數(shù)量和計劃外銷售量為滿足一定分布的隨機(jī)變量，在單次試驗(yàn)中其具體取值不可預(yù)知，并且產(chǎn)品的生產(chǎn)先于意向訂單及計劃外訂單的簽約和這部分產(chǎn)品的銷售過程，也就是說，產(chǎn)品的生產(chǎn)方案不能夠根據(jù)這些隨機(jī)變量的具體取值而調(diào)整。

對于確定的生產(chǎn)和銷售方案，利潤等指標(biāo)是關(guān)于意向訂單簽約量和計劃外訂單簽約量等隨機(jī)變量的函數(shù)，即利潤等指標(biāo)也是隨機(jī)變量。為使確定的生產(chǎn)方案應(yīng)對不確定的意向簽約訂單和計劃外訂單的實(shí)際簽約情況，使用各種指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望作為目標(biāo)函數(shù)并對其進(jìn)行優(yōu)化［2－3］。數(shù)學(xué)期望本身是隨機(jī)變量的取值以其出現(xiàn)概率為權(quán)重的加權(quán)平均數(shù)，在指標(biāo)函數(shù)的各隨機(jī)自變量的已知分布函數(shù)的情況下，數(shù)學(xué)期望能夠精確全面地反映各種可能發(fā)生的實(shí)際情況，為生產(chǎn)方案的制定提供依據(jù)。

2 模型建立

2.1 利潤計算

設(shè)企業(yè)共生產(chǎn) n種產(chǎn)品，用 xi(i=1，2，...，n)表示第i種產(chǎn)品的生產(chǎn)量;用yi表示第i種產(chǎn)品的訂購量;用zi表示第i種產(chǎn)品的銷售量，z1i表示計劃內(nèi)訂單的銷售量，z2i表示意向簽約訂單的銷售量，z3i表示計劃外的銷售量。設(shè)pi(z3i)為營銷部向企業(yè)繳納的關(guān)于第i種產(chǎn)品的計劃外銷售量z3i的利潤函數(shù);ci(xi)為第 i種產(chǎn)品的生產(chǎn)成本關(guān)于第i種產(chǎn)品產(chǎn)量xi的函數(shù);si(zi)為第i種產(chǎn)品的銷售額關(guān)于其銷售量zi的函數(shù);di(z1i+z2i)為企業(yè)下放營銷部的針對計劃內(nèi)產(chǎn)品的運(yùn)營經(jīng)費(fèi)關(guān)于第i種產(chǎn)品中計劃內(nèi)銷售量z1i+z2i的函數(shù);ui(zi)為第i種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用關(guān)于i種產(chǎn)品銷售量zi的函數(shù)。

公司的利潤為公司的總收益和支出之差。公司的總收益為計劃內(nèi)銷售額和營銷部計劃外營業(yè)額上繳的金額之和，支出為生產(chǎn)總成本和根據(jù)計劃內(nèi)銷售量向營銷部發(fā)放的經(jīng)費(fèi)。營銷部的利潤等于營銷部的收益減去營銷部的支出，其中:營銷部的總收益為計劃外訂單的銷售額與公司派發(fā)的計劃內(nèi)經(jīng)費(fèi)之和;營銷部的支出包括計劃外訂單的宣傳經(jīng)費(fèi)和上繳利潤。

對于不同的訂單，用z1ij表示第i種商品第j份計劃內(nèi)訂單的銷售量，N1i表示第i種商品的計劃內(nèi)訂單總數(shù);用z2ij表示第i種商品第j份實(shí)際簽約的意向訂單的銷售量，N2i表示第i種商品的實(shí)際簽約意向訂單總數(shù)，則全部的n種商品的計劃內(nèi)銷售額Sc等于各種商品的已簽約訂單銷售額與意向簽約訂單的實(shí)際銷售額之和:

設(shè)計劃外商品的銷售量為z3i，營銷部銷售計劃外產(chǎn)品后上交公司的利潤為P，則有

設(shè)所有產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為C，則有

設(shè)計劃內(nèi)產(chǎn)品下放營銷部的運(yùn)營經(jīng)費(fèi)為D，則有

式中:z1i表示第i種產(chǎn)品的已簽約訂單實(shí)際銷售總量;z2i表示該產(chǎn)品的意向簽約訂單的實(shí)際銷售總量，即

所以，公司的總利潤可用下式表示

同理，營銷部的總利潤為

其中，Ss為營銷部獲得的計劃外訂單銷售額，假設(shè)所有的計劃外銷量均來自于同一個訂單，故有

設(shè)所有產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用為U，有

2.2 約束條件

設(shè)y1i為各種產(chǎn)品的簽約合同量，各種產(chǎn)品的意向簽約量為y2i，計劃外訂購量為y3i。各種產(chǎn)品的簽約合同銷售量z1i、意向合同銷售量z2i、計劃外銷售量z3i的取值需要滿足銷售量不超過訂購量的約束條件

各種產(chǎn)品的產(chǎn)量和各種產(chǎn)品銷售量的關(guān)系應(yīng)該滿足如下關(guān)系

并且各種產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)符合公司的生產(chǎn)能力，設(shè)公司生產(chǎn)能力的約束條件為

將滿足式(9)、(10)、(11)、(12)的(x1，x2，...，xn)的取值集合設(shè)為X，則集合X為優(yōu)化問題的約束條件。

2.3 優(yōu)化模型

2.3.1 公司利潤極大化值

在設(shè)計產(chǎn)品銷售分配方案時，銷售策略只針對超出已訂購訂單生產(chǎn)的產(chǎn)品，給出銷售給意向訂單和計劃外訂單的分配方案。制定銷售方案需要考慮訂貨量相同的訂單、銷售給意向訂單及計劃外訂單時公司和營銷部所獲得的利潤。

通過分析兩個部門的利潤和不同訂單的資金分配關(guān)系，發(fā)現(xiàn)當(dāng)產(chǎn)品出售給意向客戶時，企業(yè)拿到該訂單的銷售額，同時拿出一部分資金分給營銷部當(dāng)做經(jīng)費(fèi);當(dāng)產(chǎn)品出售給計劃外客戶時，營銷部獲得該訂單的銷售額，同時銷售部拿出一部分資金作為上繳利潤交給企業(yè)。可將兩個部門的收入關(guān)系簡化為:當(dāng)產(chǎn)品出售給意向訂單時，銷售額中取出一部分作為經(jīng)費(fèi)分給營銷部，其余資金均歸企業(yè)所有;在銷售給計劃外客戶時，銷售額的一部分作為上繳利潤分給企業(yè)，剩下的資金歸營銷部所有。根據(jù)這種銷售額分配政策，得到了企業(yè)出售某一批商品給意向訂單和計劃外訂單時的利潤情況，如圖1所示。

圖1 產(chǎn)品銷售給不同類型訂單時公司獲得的利潤

從圖1中可看出，使公司自身獲得最大利潤，應(yīng)在滿足簽約訂單的基礎(chǔ)上，優(yōu)先考慮計劃內(nèi)的最大訂單。即:

1)簽約訂單為題目已知條件，即z1、S1已知;

2)滿足簽約訂單后，將剩下的x－y1件產(chǎn)品優(yōu)先售予意向訂單;若仍有剩余則考慮計劃外訂單，可得到z2，進(jìn)而可得S2;

3)由2)可求得 z3，z3=x－ z1－ z2，于是求得P;

4)同樣，在已知 x、z后，可求 C、D;

5)具體求解公司利潤的公式如下:以企業(yè)利潤最大為條件的營銷方案為

式(13)即為在確定生產(chǎn)方案的情況下，根據(jù)xi和y1i、y2i、y3i制定的銷售方案。其中，z2i有可能不滿足所有的實(shí)際意向訂單。假設(shè)只提供某份訂單的一部分需求，不能滿足全部實(shí)際意向訂單的意向簽約產(chǎn)品銷售量z2i將被用來優(yōu)先隨機(jī)滿足一些訂單，零余部分用來滿足部分隨機(jī)的某份訂單的需求。這里將每份訂單大小造成的銷售額的偏差忽略不計。對于計劃外銷售量z3i，也使用此方法進(jìn)行處理。

將式(13)帶入式(5)可得公司最大利潤Qc。

由2.2 的分析可知，Qc是關(guān)于 x1，x2，...，xn的函數(shù)，同時也是關(guān)于隨機(jī)變量x2ij、y3i的隨機(jī)變量函數(shù)，取Qc的數(shù)學(xué)期望E(Qc)作為目標(biāo)函數(shù)，故此時的生產(chǎn)方案優(yōu)化模型為

2.3.2 營銷部利潤極大化值收益的分析和簡化，可得到相同數(shù)量產(chǎn)品出售給意向訂單和計劃外訂單時營銷部的收益。

圖2 產(chǎn)品銷售給不同類型訂單時營銷部獲得的利潤

由圖2可知，營銷部爭取更多的計劃外訂單才能獲得更多的利潤。即將滿足已簽約訂單剩余的x－z1個產(chǎn)品優(yōu)先供給計劃外訂單，仍有剩余產(chǎn)品時再供給意向訂單。

按照x－z1與y3i的大小關(guān)系，可得表達(dá)式如下:

根據(jù)2.2的銷售方案中對公司和營銷部獲得

將式(15)代入式(6)可得營銷部最大化利潤Qs。

與上一模型相似，此模型中待優(yōu)化變量Qs與產(chǎn)品的生產(chǎn)量xi有關(guān)。通過優(yōu)化可求得營銷部的最大受益及此時的生產(chǎn)量方案。

2.3.3 兼顧公司和營銷部的利益

從2.3.1和2.3.2的分析可知，優(yōu)先接收意向訂單，公司可以獲得很多利潤，而營銷部獲得的收益較少;優(yōu)先接收計劃外訂單，則公司收入少，營銷部獲得利潤較多。所以如何分配兩類訂單的產(chǎn)品銷售數(shù)量直接影響企業(yè)與營銷部的收益平衡問題。在此引入分配比重的調(diào)整系數(shù)k，k∈(0，+∞)。當(dāng)?shù)趇種商品的生產(chǎn)量為xi，已簽約訂購量為y1i，意向訂購量為y2i，計劃外訂購量為y3i時，就有xi－y1i的產(chǎn)品可售給意向訂單和計劃外訂單，調(diào)整系數(shù)k則有的產(chǎn)品銷售給意向訂單，剩下)的產(chǎn)品銷售給計劃外訂單。k越大供給意向訂單的產(chǎn)品越多。通過建立評價指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)對生產(chǎn)量和分配比重進(jìn)行優(yōu)化。評價體系既要使企業(yè)和營銷部的利潤盡可能大還要兼顧雙方的利潤分配，所以評價指標(biāo)包含公司和營銷部總利潤評價指標(biāo)及公平性評價指標(biāo)。

要求企業(yè)和營銷部的收益和盡可能大，二者利潤加和后進(jìn)行歸一化得到利潤評價指標(biāo)為

式中:Qc為公司的利潤;Qs為營銷部的利潤;Qm為企業(yè)和營銷部的理論總收益的最大值。Qm用于對實(shí)際的Qc和Qs之和進(jìn)行歸一化處理，實(shí)際計算中Qc和Qs之和不一定能真正達(dá)到Qm。這里的Qm為前兩問中優(yōu)化得到的企業(yè)和營銷部的最大利潤之和。

在考慮公平性時，需要權(quán)衡企業(yè)與營銷部的利潤比例。設(shè)企業(yè)與營銷部的利潤比為1∶δ時為最佳的利潤分配方案，歸一化后得到利潤分配公平性的評價指標(biāo)。

綜合考慮總最大收益和公平性指標(biāo)，將兩者的權(quán)重設(shè)為ω1和ω2，得到最終的評價指標(biāo)函數(shù)G。

同樣對指標(biāo)函數(shù)G求關(guān)于各隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，得到E(G)。G以產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量xi和調(diào)整系數(shù)ki為自變量的函數(shù)，優(yōu)化后可得最優(yōu)產(chǎn)品生產(chǎn)和銷售方案。

3 模型求解

3.1 蒙特卡洛方法求數(shù)學(xué)期望的近似解

以上模型均以含有隨機(jī)變量的指標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望作為目標(biāo)函數(shù)。由于大多數(shù)優(yōu)化算法需要反復(fù)計算目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值，因而如何高效地求解這些指標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望成為解決此問題的關(guān)鍵。假設(shè)每個客戶訂購每種商品的數(shù)量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，故各指標(biāo)函數(shù)均包含大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。

為了優(yōu)化指標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)期望計算的時間復(fù)雜度，使用蒙特卡洛算法來近似計算指標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望［4］。利用計算機(jī)隨機(jī)生成相互獨(dú)立的滿足各隨機(jī)變量分布的隨機(jī)數(shù)，最為各隨機(jī)變量的取值來模擬訂單情況，計算出此時的指標(biāo)函數(shù)值。反復(fù)多次按此方法計算指標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值，最后計算平均結(jié)果，作為指標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的近似結(jié)果。

經(jīng)檢驗(yàn)，計算1000次指標(biāo)函數(shù)的值取平均數(shù)得到的近似數(shù)學(xué)期望具有較好的穩(wěn)定性，并且在普通PC機(jī)上程序運(yùn)行的時間小于20毫秒，可滿足計算需求。

3.2 遺傳算法優(yōu)化模型

2.3 中各優(yōu)化模型的約束條件為線性的，目標(biāo)函數(shù)是以隨機(jī)變量為分界點(diǎn)的分段函數(shù)，需通過蒙特卡洛算法計算其近似結(jié)果。同時，計算目標(biāo)函數(shù)需要用到的銷售額、生產(chǎn)成本等函數(shù)是通過表格的形式給出，沒有解析表達(dá)式。綜上所述，優(yōu)化模型中的目標(biāo)函數(shù)具有高度非線性化、非連續(xù)等特點(diǎn)，難以使用求解線性優(yōu)化模型的單純型法或求解連續(xù)可微模型的牛頓法來進(jìn)行優(yōu)化求解［5］。本文利用遺傳算法來求解此優(yōu)化模型［6－7］。

將生產(chǎn)量作為個體，將目標(biāo)函數(shù)即指標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望作為適應(yīng)度指標(biāo)。首先隨機(jī)生成若干個個體作為初始種群，每個個體對應(yīng)的基因包含每種產(chǎn)品計劃生產(chǎn)量或者每種產(chǎn)品的分配比重調(diào)整系數(shù)，通過計算每個目標(biāo)基因的適應(yīng)度，使適應(yīng)度較高的個體更容易被保留下來，產(chǎn)生后代。親代所產(chǎn)生的子代由其親代的基因通過交叉組合和變異產(chǎn)生，新的個體組成下一代繼續(xù)進(jìn)行選擇。這樣經(jīng)過種群的演化和選擇可使整個種群向著適應(yīng)度最高的方向進(jìn)化，最終得出適應(yīng)度最大即獲得收益最高的個體種群［8］。此時種群中每個個體的基因基本相同，對應(yīng)著收益最大時的計劃生產(chǎn)量和分配比重調(diào)整系數(shù)。

使用MATLAB R2009a中的gatool工具箱實(shí)現(xiàn)此算法，設(shè)定初始種群數(shù)量為20個個體。通過多次迭代目標(biāo)函數(shù)，選擇最后的結(jié)果，最為最終的近似最優(yōu)解。

4 計算實(shí)例

將某家電生產(chǎn)企業(yè)的數(shù)據(jù)帶入模型，進(jìn)行求解，得到如圖3、4、5的結(jié)果。從圖中看到，公司的最大利潤收斂于1687.92萬元，營銷部的最大利潤收斂于472.41萬元，綜合評價指標(biāo)收斂于0.84(注:企業(yè)數(shù)據(jù)來源于2010年東北三省數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽A題附表)。

根據(jù)圖1、圖2、圖3得到最佳生產(chǎn)量方案，如表1、表2、表3所示。

表1 公司利潤最大時每種產(chǎn)品的最優(yōu)計劃產(chǎn)量 千件

表2 營銷部利潤最大時每種產(chǎn)品的最優(yōu)計劃產(chǎn)量 千件

表3 兼顧公司和營銷部收益時每種產(chǎn)品的最優(yōu)計劃產(chǎn)量及分配方案 千件

5 結(jié)論

本文針對企業(yè)生產(chǎn)銷售方案制定問題，分析了產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量、客戶訂單和產(chǎn)品銷售量三者之間的關(guān)系，給出了公司和營銷部的利潤計算公式。在平衡公司和營銷部二者利益時，引入了分配比重的調(diào)整系數(shù)。通過建立綜合評價指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)對生產(chǎn)量和分配比重兩個自變量進(jìn)行優(yōu)化，得到二者的最優(yōu)化方案并且在利潤最大的同時，兼顧公平。在模型求解的過程中，蒙特卡洛算法的應(yīng)用降低了求解多維隨機(jī)變量數(shù)學(xué)希望的時間復(fù)雜度。遺傳算法的應(yīng)用體現(xiàn)了其求解高度非線性化目標(biāo)函數(shù)及約束條件下的運(yùn)籌模型時的強(qiáng)大優(yōu)勢。計算實(shí)例表明模型求解的結(jié)果有較好的收斂性和近似性。

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