閆國棟 戴 寧* 張長東 廖文和 孫玉春 王 勇 呂培軍（南京航空航天大學(xué)，南京 006）

2（北京大學(xué)口腔醫(yī)學(xué)院，北京 100081）

引言

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，CAD/CAM系統(tǒng)開始應(yīng)用到口腔修復(fù)領(lǐng)域［1］，取得了良好效果。目前，市場上已經(jīng)推出了很多口腔CAD/CAM系統(tǒng)，著名的有德國Sirona公司的CEREC 3D系統(tǒng)、丹麥3Shape A/S公司的3SHAPE系統(tǒng)、德國Kavo公司的Everest系統(tǒng)等。在這些系統(tǒng)中，牙齒修復(fù)體曲面局部變形是關(guān)鍵技術(shù)之一，決定了修復(fù)體表面形態(tài)能否滿足患者口內(nèi)特定的約束條件，恢復(fù)正常的咀嚼功能。修復(fù)體CAD的局部變形應(yīng)遵循以下幾個基本要求：一是能夠?qū)ρ兰?、脊、窩等特征進(jìn)行修改；二是操作靈活，且具有良好的實時性；三是修改后的修復(fù)體表面自然、光順，避免出現(xiàn)皺褶或裂痕。

目前，國外商業(yè)口腔CADCAM軟件中修復(fù)體曲面局部變形算法比較成熟。比如在CEREC 3D中，醫(yī)生能動態(tài)編輯修復(fù)體的特征曲線，實時改變修復(fù)體牙溝區(qū)域或者邊緣輪廓的形態(tài)；當(dāng)變形范圍較小且近似圓形時，可通過滴蠟技術(shù)，根據(jù)變形半徑在局部區(qū)域產(chǎn)生微小的凸起或者凹下。3SHAPE系統(tǒng)使用的變形技術(shù)和CEREC 3D類似，也是通過特征曲線或中心控制點驅(qū)動修復(fù)體的曲面局部變形。國內(nèi)關(guān)于口腔修復(fù)體數(shù)字化設(shè)計的研究起步較晚［2-4］，在修復(fù)體曲面局部變形設(shè)計方面，戴寧等提出了一種基于細(xì)分變形空間的局部變形算法。首先，構(gòu)造修復(fù)體模型的細(xì)分變形空間，并將數(shù)據(jù)映射到空間中；然后，通過改變細(xì)分空間，間接改變修復(fù)體的局部形態(tài)［5］。這種算法變形不直觀，而且變形范圍難以確定。張翔等和李曉燕分別用B樣條曲線插值修復(fù)體模型，然后通過改變B樣條曲線的控制點實現(xiàn)局部變形。［6-7］。這種算法計算量大，難以實現(xiàn)實時變形。針對這一問題，本研究提出了基于特征曲線驅(qū)動的修復(fù)體曲面局部變形技術(shù)，直接在修復(fù)體曲面上選擇控制點來構(gòu)造特征曲線，通過編輯特征曲線來實現(xiàn)局部變形。實驗證明，這種算法操作簡便，計算效率高，可以實時進(jìn)行。

1 特征曲線驅(qū)動修復(fù)體曲面局部變形

通過曲線驅(qū)動曲面變形，是由Singh等在Wires變形技術(shù)中提出的［8］。變形過程被分解為縮放、平移、旋轉(zhuǎn)3個步驟，同時結(jié)合變形半徑定位技術(shù)，可以實現(xiàn)精準(zhǔn)的局部變形。但是，建立模型頂點和曲線映射的計算比較復(fù)雜，導(dǎo)致在數(shù)據(jù)較多時無法達(dá)到實時變形。在Wires變形技術(shù)的基礎(chǔ)上，本研究優(yōu)化了該算法，使之適應(yīng)牙齒修復(fù)體曲面局部變形，并提出了“離散投影點算法”，可以快速地建立模型上點和曲線的映射關(guān)系。為達(dá)到更好的局部變形效果，用B樣條曲線代替了Wires變形技術(shù)中使用的Bezier曲線。

1.1 曲線驅(qū)動變形原理

通過特征曲線驅(qū)動曲面局部變形，首先要在曲面上選擇控制點構(gòu)建特征曲線；接著是定義變形半徑R，確定變形區(qū)域并建立曲線和曲面的映射關(guān)系，這一步主要是通過計算曲面頂點到曲線對應(yīng)的最近點完成的。映射關(guān)系建立后，移動特征曲線的控制點修改特征曲線，即可驅(qū)動曲面頂點根據(jù)定義的密度函數(shù)F（x）移動到新的位置，從而實現(xiàn)曲面變形。密度函數(shù)F（x）表示變形時頂點隨最近點移動的比例因子，參數(shù)x表示頂點與最近點之間的距離L和變形半徑R之間的比值，定義為距離半徑比，有

為保證變形邊界處C1階連續(xù)，密度函數(shù)定義為

函數(shù)如圖1所示。圖2表示特征曲線驅(qū)動曲面局部變形的原理：設(shè)原始曲面為S1，在上面構(gòu)造特征曲線C1（見圖2（a））；定義變形半徑R=10并計算變形區(qū)域，pt1是S1上的一個頂點，在C1上對應(yīng)的最近點為vtnear，兩者距離L=6小于變形半徑，則pt1在C1的變形區(qū)域內(nèi)且與之對應(yīng)的映射點是vtnear（見圖2（b）），距離半徑比是0.6；當(dāng)編輯C1的控制點變形到C2，vtnear也隨之移動到vt’near，驅(qū)動pt1變形到新的位置pt2。通過這種方式驅(qū)動變形區(qū)域內(nèi)的所有頂點變形，從而使曲面S1變形到曲面S2（見圖2（c）），具體的算法將在后面詳細(xì)描述。

圖1 密度函數(shù)曲線Fig.1 Density function curve

1.2 構(gòu)造特征曲線

特征曲線可以有多種形式，比如Bezier曲線、均勻B樣條曲線和NURBS曲線等。采用通過控制點的3次準(zhǔn)均勻B樣條曲線作為特征曲線，因為它具備良好的端點性質(zhì)和局部性質(zhì)，支持曲線局部編輯，便于實現(xiàn)修復(fù)體曲面的局部變形。生成通過控制點的3次準(zhǔn)均勻B樣條曲線，一般有兩個步驟。

步驟1：先由選取的控制點求特征曲線的控制頂點［9］，有

式中，P=（p1，p2，…，pn）T為選擇的控制點組成的列向量，V=（v2，v3，…，vn+1）T為待求的控制頂點列向量，M為計算矩陣（詳見文獻(xiàn)［9］）。根據(jù)準(zhǔn)均勻B樣條曲線的端點性質(zhì)，有v1=p1，vn+2=pn，從而求得曲線所有的控制頂點。

步驟2：求出控制頂點后，生成B樣條特征曲線，有

圖2 曲線驅(qū)動變形。（a）曲面S1和特征曲線C1；（b）變形區(qū)域；（c）變形曲面S2Fig.2 The deformation illustration driven by curves.（a）surfaceS1and feature lineC1；（b）deformed region；（c）deformed surfaceS2

式中，u∈［0，1］，mi為每段B樣條曲線對應(yīng)的矩陣，vi為式（3）中求得的控制頂點。如果對特征曲線不滿意，可通過重新拾取、添加、刪除控制點的方式，重新構(gòu)造特征曲線。在后續(xù)“離散投影點算法”中，使用的是特征曲線上的離散點，因此要將特征曲線均勻離散化；為提高算法精度，特征曲線離散化的采樣密度一般小于0.005。

1.3 建立曲線-曲面映射關(guān)系

通過曲線驅(qū)動曲面局部變形的關(guān)鍵是建立兩者之間的映射關(guān)系，可歸納為如下形式［10］，即

G：R3→U→R3

變形過程G由參數(shù)映射U和變形操作D兩部分組成。將模型頂點pt先映射到變形空間U，完成變形后再映射回三維空間得到新的頂點pt’。也就是說，建立曲線和曲面映射，實質(zhì)是建立模型頂點和曲線的映射。將上述映射關(guān)系具體化，可寫為

1.3.1 生成投影曲線

因為牙齒修復(fù)體表面形態(tài)比較復(fù)雜，拾取的控制點構(gòu)建的特征曲線和修復(fù)體表面并不完全貼合，會出現(xiàn)“穿越”或“漂浮”的現(xiàn)象（見圖3）。如果直接建立特征曲線和模型頂點的映射，會導(dǎo)致變形區(qū)域不均勻，影響變形效果。因此，在建立映射之前，將特征曲線投影到修復(fù)體曲面上，生成和修復(fù)體曲面完全貼合的投影曲線（見圖4）。為提高計算速度，使用基于KD樹的光線追蹤技術(shù)，將特征曲線上采樣得到的離散點沿該點的法矢方向投影到修復(fù)體曲面上，得到投影節(jié)點，把這些節(jié)點按順序連接起來就是投影曲線。在實際操作中，不需要將其顯示出來。

圖3 漂浮和穿越現(xiàn)象Fig.3 Floating and passing phenomenon

圖4 投影曲線Fig.4 Projective lines

1.3.2 建立映射關(guān)系

建立曲線和曲面頂點的映射，常用的方法是最近投影點法［11］，即求頂點pt到特征曲線C（u）的最短距離Dis，有

式中，u*為pt在曲線上對應(yīng)的最近點參數(shù)。

如果這個問題轉(zhuǎn)化為多項式根的問題進(jìn)行求解，計算效率很低，數(shù)據(jù)量較大時無法在工程上達(dá)到實時應(yīng)用。為突破計算瓶頸，提出“離散投影點算法”，先定義變形半徑R，然后構(gòu)造投影節(jié)點的KD樹結(jié)構(gòu)，通過KD樹查找和模型頂點距離最近的投影節(jié)點，計算兩者之間的距離L。若L≤R，那么模型頂點就是變形點，這樣修復(fù)體模型被分成兩部分，即

因為投影節(jié)點和特征曲線的離散點是一一對應(yīng)的，在建立投影節(jié)點和模型頂點映射關(guān)系的同時，也建立了特征曲線離散點和模型頂點的映射關(guān)系。如果特征曲線離散點的密度足夠大，則與最近投影點算法相比，“離散投影點算法”的精度損失很小，顯著提高了計算效率。

1.4 局部變形

建立映射關(guān)系之后，移動控制點編輯修改特征曲線，會使特征曲線上的采樣離散點發(fā)生變化，從而驅(qū)動修復(fù)體曲面局部變形。為便于表述，定義變形之前的特征曲線為Cold，記錄下它的均勻離散點組Cold（vt）；定義移動控制點后新生成的特征曲線為Cnew，同時記錄下它的均勻離散點組Cnew（vt）。在控制點移動后，特征曲線的均勻離散點移動向量為

變形后新的頂點坐標(biāo)為

式中，ptik是曲線離散點vti對應(yīng)的變形頂點，F(xiàn)（x）是密度函數(shù)，xik是ptik對應(yīng)的距離半徑比。

2 結(jié)果與分析

開發(fā)實現(xiàn)平臺：Windows XP系統(tǒng)，Visual C++.net，Hoops圖形顯示包。先通過前牙牙尖的局部變形說明文算法的應(yīng)用及變形結(jié)果，然后在鄰牙約束條件下對前牙的側(cè)面干涉區(qū)域進(jìn)行變形設(shè)計，實驗結(jié)果如圖5和圖6所示。

2.1 前牙牙尖局部變形設(shè)計結(jié)果及分析

圖5顯示了前牙牙尖的局部變形設(shè)計實例。圖5（a）為前牙修復(fù)體和構(gòu)造的特征曲線；圖5（b）、5（c）分別抬高特征曲線左邊和右邊的兩個控制點，改變特征曲線驅(qū)動牙尖部位發(fā)生變形；圖5（d）是在中間部位增加兩個控制點；圖5（e）將中間3個控制點向下平移，降低牙模曲面的中間區(qū)域；圖5（f）在圖5（e）的基礎(chǔ)上，將中間3個控制點上移，抬高牙模曲面的中間區(qū)域。從圖5中的實驗結(jié)果可以看出，應(yīng)用本文提出的算法，只需在牙模曲面上拾取控制點，就可以方便快捷地在修復(fù)體模型上構(gòu)造特征曲線，并能在特征曲線上根據(jù)需要添加或刪除控制點；通過移動特征曲線的控制點，即可驅(qū)動修復(fù)體曲面局部變形，而且修改后的曲面光順自然，符合變形設(shè)計的要求。

圖5 前牙牙尖變形設(shè)計結(jié)果。（a）初始牙模；（b）抬高左牙尖；（c）抬高右牙尖；（d）增加控制點；（e）降低中間部位；（f）抬高中間部位Fig.5 The cusp designed result of anterior tooth.（a）initial tooth model；（b）raise left cusp；（c）raise right cusp；（d）add control points；（e）descend middle region；（f）raise middle region

2.2 前牙干涉區(qū)域變形設(shè)計結(jié)果及分析

圖6是前牙修復(fù)體和鄰牙發(fā)生碰撞干涉時修復(fù)體曲面在鄰牙約束下變形的實例。圖6（a）中箭頭所指部位即是前牙修復(fù)體和鄰牙的碰撞干涉區(qū)域，需要對此區(qū)域進(jìn)行變形才能得到正確的修復(fù)體形態(tài)，所以要在干涉區(qū)域構(gòu)造特征曲線，如圖6（b）所示；為突出變形效果，將視圖調(diào)整到正方向（見圖6（c）），并將干涉部位局部放大，得到圖6（d）的結(jié)果。圖6（d）和圖6（e）顯示了移動特征曲線的中間控制點驅(qū)動修復(fù)體曲面變形的過程，圖6（f）是最后的變形結(jié)果。從變形結(jié)果可以看出，修復(fù)體曲面在曲線驅(qū)動下形狀發(fā)生改變，圖6（d）中標(biāo)注的干涉區(qū)域已經(jīng)消失，修復(fù)體和鄰牙之間的接觸符合約束要求。在修復(fù)體形態(tài)設(shè)計過程中，當(dāng)修復(fù)體和鄰牙或?qū)︻M牙出現(xiàn)干涉時，都可以通過這種方法驅(qū)動修復(fù)體曲面局部變形，從而消除干涉部位。

圖6 前牙干涉區(qū)域變形設(shè)計結(jié)果。（a）鄰牙干涉區(qū)域；（b）構(gòu)造特征曲線；（c）正面視圖；（d）干涉區(qū)域局部放大；（e）移動中間控制點；（f）變形結(jié)果Fig.6 The deformation result of anterior tooth under the constraint.（a）the collision between the tooth；（b）construct the feature line；（c）front view；（d）local magnified image；（e）translate middle control point；（f）the deformed result

3 討論和結(jié)論

在牙齒缺損或缺失之后，牙齒表面形態(tài)特征也會不可避免地丟失。現(xiàn)在，利用口腔CAD/CAM軟件進(jìn)行缺損牙齒修復(fù)，一般是從標(biāo)準(zhǔn)牙冠數(shù)據(jù)庫中調(diào)用匹配的標(biāo)準(zhǔn)牙冠作為修復(fù)體。標(biāo)準(zhǔn)牙冠是統(tǒng)計模型數(shù)據(jù)，在各個患者的牙齒形態(tài)特征之間存在差異。要恢復(fù)患者牙齒的表面形態(tài)特征，需要用到局部變形技術(shù)。提出基于特征曲線驅(qū)動的局部變形技術(shù)，可以讓用戶通過計算機輔助設(shè)計，簡便高效地對修復(fù)體曲面進(jìn)行設(shè)計。

1）達(dá)到了牙齒修復(fù)體曲面局部變形所要遵循的基本要求，設(shè)計方法簡便靈活，變形曲面光順自然，不會出現(xiàn)褶皺或裂痕。

2）與文獻(xiàn)［6-7］中曲線驅(qū)動的局部變形算法相比，不需要用B樣條曲線插值擬合整個修復(fù)體曲面，只需在干涉區(qū)域構(gòu)造特征曲線，避免了大量冗余計算，而且通過“離散投影點算法”快速建立特征曲線和修復(fù)體曲面的映射關(guān)系，顯著提高了計算效率。

3）與商用口腔CAD/CAM軟件CEREC 3D和3SHAPE相比，用戶直接在修復(fù)體上選擇控制點生成特征曲線的方式，以及控制點可隨意增加、刪除、清空的功能，提高了操作的交互性。這種方式的不利因素在于增加了用戶的操作，不如CEREC 3D和3SHAPE中特征曲線內(nèi)置的方式簡便直接。

牙齒修復(fù)體表面形態(tài)設(shè)計是口腔CAD/CAM修復(fù)工藝中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，直接決定了牙齒修復(fù)的質(zhì)量。只有具備強大的變形設(shè)計功能，才能設(shè)計出滿足患者需求的牙齒，達(dá)到實用、高效、美觀的目的。為此，提出基于特征曲線驅(qū)動的修復(fù)體局部變形方法，通過編輯特征曲線，即可實現(xiàn)修復(fù)體曲面的局部變形，而且變形曲面光順自然，符合變形設(shè)計要求，這為國產(chǎn)口腔CAD/CAM軟件核心技術(shù)的研發(fā)打下了堅實的基礎(chǔ)。但是，還有一些問題需要解決，比如在用戶自定義特征曲線的基礎(chǔ)上，像CEREC 3D和3SHAPE一樣也提供特征曲線內(nèi)置的方式，這將是下一步研究的目標(biāo)。

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