楊明明，劉大明，連麗婷，張朝陽

（海軍工程大學電氣與信息工程學院電磁系，湖北 武漢 430033）

0 引言

艦船定位是實施艦船磁場檢測、進而評估艦船磁性狀態(tài)的首要步驟［1］。目前主要的定位方式可以分為以下兩類：1）間接定位——在預知傳感器與某固定參考點的相對位置后，再借助其他輔助設備（如DGPS［2］等）確定艦船與該參考點的相對位置，由此可以推算傳感器與艦船的相對位置；2）磁定位——將艦船磁場用若干個磁源來等效，由測量數據反演磁源的磁矩和運動軌跡，從而確定各采樣時刻傳感器與目標的相對位置［3－8］。從上面的分析不難發(fā)現，無論采用何種定位方式，都需要預知傳感器位置的先驗知識：磁定位為傳感器之間的相對位置，而間接定位為傳感器與某參考點的相對位置。

文獻［9］將艦船磁場等效為單個磁極子產生的磁場，在磁矩和傳感器離水面的垂直距離已知的基礎上，由磁場測量值和水深值來確定傳感器與偶極子的相對位置的水平分量，即實現了傳感器定位。然而，若無法準確獲取磁矩，則該方法的定位效果急劇變差，而對磁矩實施精準測量是非常困難的。因此，本文提出采用位于海面的圓形載流線圈作為磁偶極子源來確定海底矢量磁傳感器位置的方法。

1 傳感器定位原理和優(yōu)化算法

如圖1所示，I為位于海面的圓形載流線圈，線圈半徑為R，線圈匝數為N，電流為I，矢量傳感器P位于海底。對傳感器P進行定位的任務就是由傳感器的磁場測量值來確定傳感器自身相對于線圈中心的相對位置（xP，yP，zP）。在實際使用中，為了監(jiān)測艦船磁場檢測過程中水深的變化，一般在磁傳感器上加裝水深傳感器，所以傳感器離水面的垂直距離zP是可以利用的已知條件，因此定位的任務只需要確定傳感器與磁偶極子相對位置的水平分量（xP，yP）。

圖1 海底矢量磁傳感器的定位原理圖Fig.1 Localization schematic of the undersea vector magnetic sensor

以線圈圓心為原點O′，x′和y′軸沿半徑分別指向地磁北和地磁東，建立的右手坐標系稱磁源坐標系O′-x′y′z′，見圖2。磁源坐標系下，線圈所圍范圍外的任意場點r（xPyP，zP）處的磁感應強度為［10］：

式（1）中，rs為源點矢徑，n為面S與線圈電流成右手螺旋關系的法線方向，B為磁感應強度，μ為介質的磁導率。

圖2 磁偶極子源模型Fig.2 magnetic dipole source model

采用海面磁偶極子源定位海底矢量傳感器的基本原理為：在場點r處測量得到線圈通電后產生的磁場，由式（1）計算傳感器與磁源的相對坐標，實現傳感器定位。

由傳感器定位的原理，不難看出傳感器定位本質就是從R2空間中尋找一個合適的位置矢量（xP，yP），使得從該矢量由式（1）正向推演的磁感強度（B）有效擬合測量值（Bc），屬于無約束非線性規(guī)劃問題。適用求解該問題的方法有步長加速法、Powell法［3，8］、Gauss-Newton法和 Levenberg-Marquardt（L-M）算法［11－12］等。L-M 算法能克服雅可比矩陣非滿秩時，其他算法不穩(wěn)定的困難，適合本問題的求解。因此本文選用L-M算法來求解位置矢量。

2 傳感器定位方法

由上節(jié)的分析，可以發(fā)現：傳感器定位方法的難點在于：如何計算線圈磁感應強度以及采用何種優(yōu)化算法來求解位置參數，下面對其進行分別闡述。

2.1 磁感應強度的計算

由積分中值定理，式（1）可以化為：

式（2）中，re為面S內的矢徑，me＝IS ne為等效磁矩，ne為該點處的法線，S為線圈所圍面積。分析式（2）可以知道，當線圈尺寸遠遠小于源點到場點的距離時（至少15倍），則re的影響可以忽略，此時載流線圈的磁效應可以用位于線圈中心的單個磁偶極子來等效。如直接采用式（2）來定位傳感器，則要求線圈半徑R較小，考慮到實際使用時盡量增大電流和增加線圈匝數，磁源等效磁矩仍太小，造成傳感器接收到的磁感應強度是一個非常弱的信號（幾十納特，甚至幾納特），這對傳感器的探測能力（分辨率、精度和穩(wěn)定度）和環(huán)境噪聲都提出了較高的要求。

由于等效磁矩是隨線圈尺寸的二次方變化，因此適當增大線圈尺寸能夠較大幅度地增大等效磁矩?？紤]到此種情況，本文采用如下的計算方法：將線圈所圍區(qū)域S劃分為N個單元，且對每個單元保證場點距該單元中心的距離遠遠大于單元的線度（具體的劃分規(guī)則如圖2，其中ΔR ≤zP／15，RΔθ≤zP／15），則載流線圈的磁感應強度為N個磁偶極子的磁感應強度的矢量和：

式（3）中，mi＝ISini為第i個單元等效磁矩；rpi為第i個單元中心到場點的矢徑，其模為rpi。寫成矩陣的形式為：

式（4）中，M ＝ ［（m1）T，（m2）T，…，（mN）T］T為等效磁矩向量，Bc為地磁坐標系下的磁場測量值，E＝（Ep1，Ep2，…，EpN）為聯系等效磁矩與磁場測量值的觀測矩陣。

2.2 L-M算法求解位置參數

在選擇了合適的磁場計算方法后，實現傳感器定位的關鍵在于如何計算傳感器位置。從上面的分析，采用L-M算法求解位置參數具有較明顯的優(yōu)勢，因此本文選用L-M算法來求解位置矢量。而采用L-M算法求解位置的難點在于，確定合適的目標函數和迭代初始點，為此本文提出如下的確定方法。

2.2.1 目標函數

傳感器在觀測磁偶極子源磁感應強度的過程中，不可避免地會引入測量誤差，對于同一矢量傳感器的不同分量，誤差水平往往是不一樣的。如果直接求解式（4）的非線性最小二乘解（L MS），則沒有區(qū)分不同分量的測量誤差對擬合的影響。在某個分量測量誤差較大的情況下，可能出現對該分量的過度擬合，依此推算的位置也會出現偏差。因此本文采用加權最小二乘法（WL MS）來求解位置參數，對誤差較大的分量給予較小的權值，對誤差較小的分量給予較大的權值，目標函數為：

式（5）中，ΣB為測量系統的測量誤差協方差陣，可以在線圈通電前對地磁場進行觀測后計算得到。

2.2.2 迭代初始點

合適的初始迭代點不但能夠保證從初始點出發(fā)穩(wěn)定地收斂到全局最優(yōu)解，而且可以有效減少迭代次數，縮短運行時間。由于磁矩都沿z軸方向（實際情況下，可以近似認為磁矩都沿z軸方向），下面分幾種情況來確定迭代初始點（xp0，yp0）：

從式（6）和式（7）可以看出：如果磁矩沿z軸方向，測量誤差是乘性噪聲且各分量的信噪比一致，則迭代初始點與真解的距離不會超過線圈半徑。在確定了目標函數和迭代初始點后，我們就可以利用LM算法來求解傳感器位置，有關L-M算法的實現可以參考文獻［12］，這里不再贅述。

綜上所述，傳感器定位方法的主要步驟為：在線圈接通電源之前，首先多次采樣地磁背景，確定測量誤差協方差陣ΣB；其次由水深測量值將載流線圈劃分為N個單元，計算N個等效磁偶極子的位置，并根據線圈匝數和線圈電流確定各磁偶極子的等效磁矩；再次由傳感器輸出值（磁場測量值）確定迭代初始點；最后由該迭代初始點出發(fā)采用L-M算法計算傳感器位置，完成自身定位。

3 模型實驗驗證和定位影響因素仿真

3.1 模型實驗

如圖3，磁偶極子源參數：線圈共計50匝，線圈半徑R＝0.07 m，線圈電流I＝3 A。在磁偶極子源的下方共布設9個矢量磁傳感器，測量平面距磁源中心的高度為0.59 m；地磁坐標系下9個傳感器的坐 標 場 點 為：p1（0.4，0.4，0.59），p2（0，0.4，0.59），p3（－0.4，0.4，0.5 9），p4（0.4，0，0.5 9），p5（0，0，0.59），p6（－0.4，0，0.59），p7（0.4，－0.4，0.59），p8（0，－0.4，0.59），p9（－0.4，－0.4，0.59）。

圖3 模型實驗示意圖Fig.3 Schematic diagram of model experi ment

實驗的主要步驟為：1）線圈接通電源前，測量系統以采樣周期T＝1 s采集地球磁場，共獲得的地磁樣本為100×9組數據（傳感器數據點個數×傳感器個數）；2）對每個傳感器，以這100個數據點的均值作為該傳感器測量得到的地磁背景，并由此推算每個傳感器坐標與地磁坐標的轉換矩陣A1，估計每個傳感器在傳感器坐標下的協方差矩陣Σe，由此可以的磁場，減去地球磁場后再將其轉換到地磁坐標系記為Bc；4）利用上面介紹的方法定位每個傳感器的位置（zp為已知量）。

圖4給出了9個傳感器的實際位置、迭代初始點和定位結果。從圖中可以看出：迭代初始點靠近傳感器實際位置，說明迭代初始點的挑選方法是合適的；計算得到的位置與實際位置差別較小，驗證了定位方法的有效性。定義定位的相對誤差Re：

圖4 9個傳感器的定位結果Fig.4 Localization results of 9 sensors

表1給出了選用不同目標函數對應的定位誤差。從表中可以看出：在本次實驗中，不管采用最小二乘或是加權最小二乘法作為目標函數來求解傳感器位置都具有較高的精度（相對誤差不大于4%）；加權最小二乘的定位結果略好于最小二乘法的定位結果，但是誤差分布并沒有充分反映加權最小二乘法的優(yōu)勢，主要原因是模型實驗采用的測磁系統的精度較高，傳感器各分量的誤差水平相當（方差都在10 n T附近），有理由相信實際使用中加權最小二乘法可有效處理各分量誤差水平差別較大的情形。

表1 定位相對誤差表Tab.1 localization relative error %

3.2 定位影響因素仿真分析

將本文中的方法應用于實際，則應當考慮磁偶極子源的布置問題。圓形導航浮標在移動磁性檢測站的投放、維護、指引艦船正確通過和數據傳遞中發(fā)揮著廣泛的作用［1］。如果在浮標上安裝線圈和適當的電源，就可以構成磁偶極子源，也就可以將本文中的方法應用于實際。由于浮標錨泊在海上，容易受到風、浪、涌、流等海洋環(huán)境載荷的作用，會產生六個自由度的搖蕩運動，即橫搖、縱搖、平搖、縱漂、橫漂和升沉運動［13］。由于平搖、縱漂和橫漂不具有恢復力，多通過錨泊系統來對其約束；并且各個傳感器的采樣時刻是同步的，所以這三種運動對定位結果的影響影響可以不必考慮。而水深的變化可以由水深傳感器測量得到，則升沉運動的影響也可以忽略。對于圓形浮標而言，橫搖和縱搖可以視為同種形式的運動，它們作用的結果就是使得線圈平面偏離地磁坐標系的x Oy平面，即磁源坐標系與地磁坐標系不再重合，如圖5所示。

圖5 磁源坐標系與地磁坐標系的關系Fig.5 geo magnetic and magnetic source coor dinates

本文對不同的θ和β仿真結果見表2，其中仿真參數設置為：R＝2 m，I＝5 A，n＝50匝；選取三個場點p1（0，0，20），p2（10，10，20）和p3（－10，10，20）作為考核點；三個場點的磁場計算值疊加20 d B的隨機噪聲后作為磁場測量值；利用本文介紹的方法求解考核點的位置，按式（8）計算這三個場點的均方根誤差作為考核誤差。

表2 不同的θ和β對應的誤差分布Tab.2 Error distribution of differentθandβ

從表中可以看出，當θ和β小于5°時，定位的誤差可以控制在5%以內。同時本文還采用上節(jié)的模型對縱搖和橫搖的影響進行了實驗，當θ＝β＝7°時，9個傳感器的最大定位誤差為5.777 3%。

4 結論

本文提出了一種利用海面的磁偶極子源來定位海底傳感器的方法。在確定合適的磁源參數（線圈半徑、電流和線圈匝數）后，傳感器定位方法的主要步驟為：在線圈接通電源之前，首先多次采樣地磁背景，確定測量誤差協方差陣ΣB；其次由水深測量值將載流線圈劃分為N個單元，計算N個等效磁偶極子的位置，并根據磁源參數確定各磁偶極子的等效磁矩；再次由傳感器輸出值（磁場測量值）確定迭代初始點；最后由該迭代初始點出發(fā)采用L-M算法計算傳感器位置，完成自身定位。從模型實驗和仿真分析可以看出：采用L-M算法確定海底傳感器位置具有較高的精度，當風浪引起線圈平面與地磁坐標系的偏轉角小于5°時，該方法仍然可以用于對海底傳感器的定位。在實際中檢驗該方法，將θ和β視為參變量利用多個傳感器的數據同時實現傳感器定位和角度觀測是下一步要研究的重點。

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