陳明建，羅景青

（解放軍電子工程學(xué)院電子對抗信息處理實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230037）

0 引言

自適應(yīng)波束形成能增強(qiáng)期望信號并抑制干擾和噪聲，已被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、語音處理和通信系統(tǒng)等領(lǐng)域［1－3］。當(dāng)期望信號來波方向無誤差時(shí)，傳統(tǒng)自適應(yīng)波束形成算法可以根據(jù)信號環(huán)境的變化，來自適應(yīng)調(diào)整各陣元的加權(quán)因子，達(dá)到增強(qiáng)信號同時(shí)抑制干擾的目的［4－5］。但在期望信號來波方向存在偏差時(shí)，算法的性能會急劇下降，尤其在高信噪比時(shí)，有用信號會被當(dāng)作干擾而受到抑制。如何提高自適應(yīng)波束形成算法對波束指向偏差的穩(wěn)健性一直是人們研究的熱點(diǎn)問題。

目前存在多種有效的方法用來克服信號觀察方向失配問題，最具有代表性的方法如：線性約束最小方差（LCMV）波束形成算法通過增加多個(gè)方向約束［6］和導(dǎo)數(shù)約束［7－8］，可減小算法對信號方向失配的敏感度，但同時(shí)要損失陣列的自由度。特征向量法采用信號子空間的信息估計(jì)權(quán)重向量，但是在低信噪比（SNR）條件下以及信號加干擾子空間的維數(shù)比較高時(shí)將會受到嚴(yán)重的制約和限制［9－10］?；趯羌虞d的波束形成算法是一種簡單有效的方法［11－12］，但是加載量的確定一直是一個(gè)比較困難的問題。基于二次型不等式約束的穩(wěn)健算法在本質(zhì)上是屬于可變對角加載的范疇，通過對權(quán)重向量所形成的空間指向性函數(shù)在陣列指向角附近小區(qū)域內(nèi)的加權(quán)平方誤差進(jìn)行約束來提高陣列的穩(wěn)健性［13－15］。

最近幾年提出了基于模約束和不確定集約束的最差情況性能最優(yōu)穩(wěn)健算法［16－17］，該類算法的權(quán)矢量具有擴(kuò)展對角加載的形式，根據(jù)導(dǎo)向矢量不確定集合可以確定最優(yōu)加載量?；诓ㄊ憫?yīng)幅度約束穩(wěn)健算法在窄帶情況下是一種簡單有效方法［18］，對于寬帶信號，該算法將增加許多的約束條件，不僅占用了系統(tǒng)的自由度，還增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性。

針對以上問題，本文提出了一種基于幅度響應(yīng)約束的穩(wěn)健自適應(yīng)寬帶波束形成算法。

1 陣列模型與LCMV波束形成器

1.1 陣列模型

考慮D個(gè)寬帶遠(yuǎn)場平面波入射到M元各向同性的均勻線陣上，陣元間距d為信號最高頻率對于半波長，其中期望信號的波達(dá)方向?yàn)棣?，其余D－1個(gè)寬帶以陣列的第0號陣元為參考陣元，每個(gè)陣元后有一個(gè)J階FIR濾波器，每個(gè)節(jié)拍后的時(shí)延為Ts，Ts為時(shí)間采樣周期。陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示。

第m號陣元接收到的信號為：

式（1）中，s0（t），s1（t），…，sD－1（t）為期望信號與干擾信號在參考陣元上的實(shí)包絡(luò)信號波形；τm（θ0），τm（θ1），…，τm（θD－1）為對應(yīng)信源傳播到第m號陣元相對于參考陣元的傳播時(shí)延；nm（t）為第m號陣元上零均值高斯白噪聲。若第m號陣元的樣本數(shù)據(jù)記為xm（n）＝xm（t）t＝nTs，則該陣元其他各節(jié)拍數(shù)據(jù)為xm（n－ （k－1）） ＝ xm（t－ （k－1）Ts）t＝nTs，k ＝1，2，…J。假設(shè)wm，k是對應(yīng)于第m號陣元第k個(gè)節(jié)拍的實(shí)權(quán)值，則波束輸出信號時(shí)間序列可表示為：

1.2 LCMV波束形成器

線性約束最小方差（LCMV）算法是通過約束期望方向或干擾方向的響應(yīng)并最小化陣列輸出功率，以獲得良好的干擾抑制性能，其等價(jià)為如下約束優(yōu)化問題：

式（3）中，Rx為協(xié)方差矩陣，C為約束矩陣，可約束單個(gè)或多個(gè)方向，即由期望或干擾方向的導(dǎo)向矢量組成，g為相應(yīng)的約束值矢量。其最優(yōu)解為：

當(dāng)期望信號的波達(dá)方向精確已知時(shí)，信號導(dǎo)向矢量無偏差，LCMV波束形成器能夠提供無畸變的期望信號輸出，同時(shí)能夠最大程度地抑制干擾和噪聲。但在期望信號波達(dá)方向估計(jì)不準(zhǔn)確時(shí)，導(dǎo)向矢量將出現(xiàn)偏差，波束輸出的性能會急劇下降。尤其在高信噪比時(shí)，有用信號會被當(dāng)作干擾而受到抑制，造成信號相消問題，導(dǎo)致輸出SINR值下降。

2 幅度響應(yīng)約束和SRV約束的穩(wěn)健寬帶波束形成方法

該算法首先通過對陣列波束指向附近范圍內(nèi)的寬頻段陣列響應(yīng)與參考頻率對應(yīng)方位的陣列響應(yīng)誤差模值進(jìn)行約束，使陣列波束圖在主瓣區(qū)域內(nèi)的信號畸變最小，其波束圖近似保持頻率不變特性，然后利用窄帶波束響應(yīng)幅度約束的穩(wěn)健算法，在參考頻率上對陣列波束指向附近范圍內(nèi)的波束響應(yīng)幅度施加約束，同時(shí)增加對權(quán)矢量的范數(shù)約束，來克服信號方向失配的影響，提高自適應(yīng)算法的穩(wěn)健性，并以損失較少陣列自由度來改善波束輸出性能。

2.1 幅度響應(yīng)約束的穩(wěn)健方法

首先考慮窄帶情況，考慮陣列與目標(biāo)源位于同一平面的情況，基陣對信號方向?yàn)棣鹊牟ㄊ憫?yīng)為P（）θ＝wTa（）θ，波束的幅度響應(yīng)約束可以表示為：

式（5）中，［σL，σH］為穩(wěn)健方位區(qū)域 ［θl，θu］上波束的幅度響應(yīng)抖動范圍，a（θ）為窄帶陣列的導(dǎo)向矢量。幅度響應(yīng)約束的權(quán)矢量優(yōu)化的準(zhǔn)則是在滿足一定方位區(qū)域的幅度響應(yīng)約束條件下，同時(shí)使陣列輸出功率最小，即w為下面優(yōu)化問題的解：

式（6）可以通過凸優(yōu)化法求解權(quán)矢量。圖2為窄帶基于幅度響應(yīng)約束的穩(wěn)健波束形成的波束圖。

圖2 窄帶幅度響應(yīng)約束的波束圖Fig.2 Narrowband beam-pattern withamplitude response constraints

基于上述討論，可將窄帶幅度響應(yīng)約束思想推廣到寬帶情況，假定寬帶信源的頻段范圍為Ω＝］，則波束響應(yīng)幅度約束寬帶穩(wěn)健方法可表示為式（7）的約束優(yōu)化問題：

假設(shè)把寬帶信源頻段分為K個(gè)子帶，并用fk表示為第k個(gè)子帶的中心頻率，即用K離散化的頻率fk∈Ω，k＝1，2，…K來近似表示頻率集合Ω。若直接運(yùn)用窄帶穩(wěn)健算法，分別使K個(gè)子帶的波束響應(yīng)幅度約束，即滿足式（7）的約束條件可實(shí)現(xiàn)寬帶穩(wěn)健算法。但上述基于子帶劃分的優(yōu)化問題有2 K個(gè)約束條件，當(dāng)信號帶寬較寬，即子帶劃分個(gè)數(shù)K較大時(shí)，過多的約束將損失陣列的自由度，降低陣列輸出SINR性能，且還會增加算法的復(fù)雜性和計(jì)算量。

2.2 本文方法

為了解決上述問題，本文提出了通過約束空間響應(yīng)偏差，并利用頻率不變技術(shù)結(jié)合窄帶波束響應(yīng)幅度約束的穩(wěn)健算法，解決傳統(tǒng)子帶劃分的寬帶穩(wěn)健算法中，過多約束條件而損失陣列自由度，導(dǎo)致波束輸出的SINR性能下降的問題，同時(shí)減少了信號失真和優(yōu)化算法的計(jì)算量和復(fù)雜度。

定義陣列空間響應(yīng)偏差（Spatial Response Variation）SRV為在主瓣區(qū)域內(nèi)（可設(shè)置為期望信號的波達(dá)方向偏差范圍），頻率范圍Ω上的陣列響應(yīng)與在某參考頻率fr的陣列響應(yīng)的誤差模平方，即：

式中，B＝fu－fl，表示寬帶信源的帶寬，ΘML＝［θl，θu］為期望信號的波達(dá)方向偏差范圍，Q為Hermite對稱矩陣，

Re（）·表示取實(shí)部操作。

通過對式（8）分析可知，當(dāng)SRV為零時(shí)，該波束器即滿足頻率不變特性，信號能夠無失真輸出，因此為了解決傳統(tǒng)基于子帶劃分寬帶穩(wěn)健算法中，過多約束條件而導(dǎo)致波束輸出SINR性能下降的問題，并盡可能的減少信號失真，可以通過控制主瓣區(qū)域的SRV值，使陣列波束圖在寬頻段內(nèi)有近似恒定的主瓣響應(yīng)，然后對參考頻率fr處的波束幅度響應(yīng)施加約束，并對權(quán)向量的范數(shù)進(jìn)行約束，式（7）可以改寫為如下約束優(yōu)化問題：

式中，ε為非負(fù)實(shí)數(shù)，表示空間響應(yīng)偏差的上限，δ為正實(shí)數(shù)，為加權(quán)矢量范數(shù)的上限。

由于式（10）中第三個(gè)約束條件的左邊不等式為半無窮非凸問題，難以求解，因此可以將非凸問題近似轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，即：

對矩陣Rx進(jìn)行Cholesky分解，即Rx＝UT0U0，則得到

同理 可 得wTQw ＝ ‖U1w‖2。注 意 到 使‖U0w‖2最小化等價(jià)于使‖U0w‖最小化，引入一個(gè)非負(fù)標(biāo)量β，并對方位區(qū)域離散化，式（10）可轉(zhuǎn)化為如下凸優(yōu)化問題：

3 計(jì)算機(jī)仿真

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，分別采用以陣列輸出信干噪比SINR、歸一化信號失真NSD，以及歸一化均方誤差NMSE來衡量波束形成器的性能。

以下仿真實(shí)驗(yàn)若無特殊說明，均在各向同性的8元均勻線陣模型下完成，陣元間距為信號最高頻率對應(yīng)的半波長。空間存在一個(gè)期望目標(biāo)信號和兩個(gè)不相關(guān)的干擾信號，假設(shè)期望目標(biāo)信號的入射方向?yàn)?°，而實(shí)際波達(dá)方向?yàn)?°，即存在3°的波束指向誤差；干擾信號方位角分別為－40°和30°，功率均為30 d B。假定寬帶信號的歸一化工作頻帶考頻率fr＝0.45，每個(gè)陣元后節(jié)拍階數(shù)J＝18。此外，各通道噪聲為不相關(guān)高斯白噪聲，功率0 d B。其他參數(shù)設(shè)置如下：權(quán)矢量范數(shù)的上限δ＝0.6，主瓣區(qū)域的空間響應(yīng)偏差上限分別為ε＝10－5，幅度響應(yīng)約束的上限、下限值分別為σH＝10rdB／20、σL＝10－rdB／20，rdB為幅度響應(yīng)抖動值，單位為d B。所有統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果均由100次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)平均得到。

為方便討論，將文獻(xiàn)［18］中最壞情況下性能優(yōu)化穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成方法記為RB-WC算法，而本文所提基于幅度響應(yīng)約束的穩(wěn)健波束形成方法記為RB-CMR算法。

3.1 實(shí)驗(yàn)1

考察3種算法陣列方向圖情況。

設(shè)輸入信噪比SNR＝0 d B，干噪比JNR＝30 d B，rdB＝0.3 d B。圖3（a）、圖3（b）和圖3（c）分別給出了信號方向存在偏差時(shí)3種算法的陣列方向圖。

圖3 三種算法陣列方向圖Fig.3 Array patter ns of t hree algorith m

從圖3中可以看出，LCMV算法在真實(shí)期望信號波達(dá)方向處波束指向出現(xiàn)偏差，且最大零陷位置偏離了干擾目標(biāo)方向，其性能最差；RB-WC算法對系統(tǒng)的穩(wěn)健性能有所改善，但無法控制穩(wěn)健的方位區(qū)域?qū)挾龋腋蓴_零陷位置也有所偏移；而本文所提的算法在信號方向存在偏差的情況下，波束增益最大方向與信號真實(shí)方向的偏差較小，且有一定的穩(wěn)健的方位區(qū)域?qū)挾?，零陷位置?zhǔn)確對準(zhǔn)干擾方向，有助于提高陣列的SINR性能。

3.2 實(shí)驗(yàn)2

考察本文算法在不同穩(wěn)健參數(shù)情況下的波束圖。

仿真條件不變，本文算法在不同穩(wěn)健參數(shù)情況下的波束圖如圖4所示，該法可靈活控制穩(wěn)健的方位區(qū)域?qū)挾群拖鄬?yīng)方位范圍的波束幅度響應(yīng)的抖動值。

圖4 不同穩(wěn)健參數(shù)時(shí)的波束圖Fig.4 Beam-patter n with different robust parameters

3.3 實(shí)驗(yàn)3

考察不同采樣快拍數(shù)與輸入SNR情況下的波束輸出SINR性能。

3種算法波束輸出SINR與采樣快拍數(shù)N的關(guān)系如圖5所示，其中SNR＝0 d B。圖中3條曲線均隨著快怕數(shù)N的增加迅速收斂并趨于平穩(wěn)，其中常規(guī)的LCMV算法由于不具有穩(wěn)健性能，收斂后的SINR值最小，而兩種穩(wěn)健算法的SINR性能較前者有較大改善，且本文算法優(yōu)勢更明顯。這是由于通過增加空間響應(yīng)偏差約束，減少約束優(yōu)化模型的約束不等式個(gè)數(shù)，因此本文方法將有更多的陣列自由度用于改善SINR性能。

圖5 輸出SINR與采樣快拍數(shù)的關(guān)系Fig.5 The relationship bet ween output SINR and the number of sample snapshots

圖6 為3種算法波束輸出SINR與輸入SNR的關(guān)系曲線。由圖6可知，本文算法波束輸出的SINR性能要優(yōu)于常規(guī)LCMV算法和RB-WC算法，尤其在高SNR時(shí)，這種優(yōu)勢更加明顯。這是因?yàn)楸疚乃惴ㄔ谔岣哧嚵蟹€(wěn)健性的同時(shí)，減少了優(yōu)化模型的約束條件個(gè)數(shù)，從而有更多陣列自由度用于改善波束輸出的SINR性能。

圖6 輸出SINR與輸入SNR的關(guān)系Fig.6 The relationship bet ween output SINR and input SNR

3.4 實(shí)驗(yàn)4

考察在不同輸入SNR情況下，波束輸出期望信號失真NSD與歸一化均方誤差NMSE性能。

圖7是陣列波束輸出的歸一化信號失真NSD隨信噪比SNR的變化曲線。由圖7可知，在信號方向存在偏差時(shí)，常規(guī)的LCMV波束輸出信號有較大信號失真，隨著輸入SNR的增加，波束輸出信號失真更嚴(yán)重，而兩種穩(wěn)健算法的NSD值對輸入SNR不敏感，具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性，但由于本文算法增加了頻率不變約束，其NSD值更小，降低波束形成對信號失真的影響。

圖7 歸一化信號失真NSD與輸入SNR的關(guān)系Fig.7 The relationship bet ween NSD and input SNR

圖8 為波束輸出歸一化均方誤差NMSE隨信噪比SNR變化曲線。由圖8可知，與常規(guī)LCMV算法和RB-WC算法相比，本文算法的NMSE性能均優(yōu)于上述兩種算法，在輸入SNR＞15 d B時(shí)，其NMSE幾乎為零，由此可見，本文算法對信號方向誤差有更強(qiáng)的穩(wěn)健性，波束輸出的總體性能最佳。

圖8 歸一化均方誤差NMSE與輸入SNR的關(guān)系Fig.8 The relationship bet ween NMSE and input SNR

4 結(jié)論

本文考慮期望信號方向存在偏差時(shí)，常規(guī)自適應(yīng)波束形成算法的性能將會急劇下降的問題，提出了一種基于幅度響應(yīng)約束的穩(wěn)健自適應(yīng)寬帶波束形成方法。該方法通過對陣列波束指向附近范圍內(nèi)的波束幅度響應(yīng)施加約束來提高陣列的穩(wěn)健性，并增加陣列空間響應(yīng)偏差約束與權(quán)重向量的范數(shù)約束，減少了約束優(yōu)化不等式的個(gè)數(shù)，進(jìn)一步提高該方法的波束輸出SINR性能和穩(wěn)健性，降低算法的計(jì)算量。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明：與穩(wěn)健的RB-WC方法相比，本文方法對信號方向存在偏差有更強(qiáng)的穩(wěn)健性，且能有效控制波束穩(wěn)健區(qū)域?qū)挾群头软憫?yīng)的抖動值，更加有效地抑制干擾信號，使陣列波束輸出性能均優(yōu)于穩(wěn)健的RB-WC方法。

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