王洪剛， 卜建清， 付曉瑞

(1.石家莊鐵道大學(xué)土木工程學(xué)院，河北石家莊050043;2.石家莊農(nóng)業(yè)學(xué)校，河北石家莊050041)

0 引言

PRC彎梁橋以其線形適應(yīng)性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)布局更加合理及美觀等優(yōu)點(diǎn)而備受設(shè)計(jì)及建造者的青睞。彎梁橋的受力特點(diǎn)決定了其設(shè)計(jì)與計(jì)算理論的復(fù)雜性，故對彎梁橋設(shè)計(jì)與計(jì)算理論的研究受到國內(nèi)外研究者的長期關(guān)注。Lee等［1］推導(dǎo)了彎梁橋平面外的固有振動微分方程，并利用數(shù)值方法求得模態(tài)頻率。Wu等［2］利用力和位移的關(guān)系及動力學(xué)能量方程，推得極坐標(biāo)系下的曲梁單元質(zhì)量矩陣與單元剛度矩陣;卜建清等［3］研究了汽車橋梁系統(tǒng)的參數(shù)如橋上路面不平順、橋梁損傷、汽車參數(shù)和汽車速度對沖擊系數(shù)的影響。劉華、葉見曙［4］分析了公路混凝土連續(xù)彎箱梁橋在車輛動荷載通過粗糙橋面時的動反應(yīng)。現(xiàn)基于有限元思想和Rayleigh-Ritz變分法，推導(dǎo)考慮預(yù)應(yīng)力效應(yīng)的彎梁橋單元剛度矩陣，建立考慮預(yù)應(yīng)力效應(yīng)的PRC連續(xù)箱形彎梁橋模型，分析預(yù)應(yīng)力、曲率半徑、彎扭剛度比、約束情況、截面翹曲及車速等參數(shù)變化對PRC連續(xù)箱型彎梁橋自振特性的影響;并利用MATLAB編制了有限元程序，計(jì)算分析了各種參數(shù)變化對PRC連續(xù)箱型彎梁橋動力響應(yīng)的影響。

1 PRC彎梁橋有限元單元剛度的推導(dǎo)

1.1 彎梁橋有限元單元剛度的推導(dǎo)

選取了8個單元節(jié)點(diǎn)位移參數(shù):vi、vi'、φi、φi'、vj、vj'、φj、φj'。其中，vi、vj為梁段單元兩端點(diǎn)i、j的撓度;vi'、vj'是梁段單元在兩端繞徑向坐標(biāo)軸x的轉(zhuǎn)角;φi、φj為梁段兩端截面的扭轉(zhuǎn)角;φi'、φj'為梁段單元兩端處的扭率，詳見圖1所示。其中，曲率半徑為R，曲梁單元夾角為dθ。

將局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)取在曲梁單元的中點(diǎn)，假設(shè)單元的長度為2λ，將曲梁兩端點(diǎn)坐標(biāo)z=－λ、z=λ代入位移函數(shù)v和φ以及其一階導(dǎo)數(shù)中，并令其等于梁段單元上對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移，整理得單元位移模式

該曲梁單元的彈性剛度矩陣［5］

式中，［K1］～［K4］的展開式詳見文獻(xiàn)［5］。

1.2 考慮預(yù)應(yīng)力效應(yīng)對單剛修正

根據(jù)文獻(xiàn)［6］得知，利用離散化的位移變分原理來近似求解連續(xù)系統(tǒng)動力問題的Rayleifh-Ritz方法，對預(yù)應(yīng)力的處理方式是可行的?，F(xiàn)利用該方法對PRC彎梁橋的單元剛度進(jìn)行修正。

在預(yù)應(yīng)力的作用下，結(jié)構(gòu)將承受一個預(yù)應(yīng)力場σ0

ij，它增加了整個系統(tǒng)的應(yīng)變能，增加量為Vg

um為單元的位移，由于假定的單元采用一維三次兩節(jié)點(diǎn)Hermite位移插值函數(shù)，其中單元的位移um表示為{δ}，變量為z，利用形函數(shù)表示為:{δ}={δe}，其中{δe}為單元的節(jié)點(diǎn)位移，因z=則式(4)改寫為

將式(5)代入式(3)得

已知利用剛度表示的應(yīng)變能形式為

可知，由預(yù)應(yīng)力效應(yīng)引起的幾何剛度矩陣Kg表示為

由于采用的是一維單元，只含有坐標(biāo)z，且z∈(-λ，λ)，同時假定預(yù)應(yīng)力為恒定不變的Nz，則幾何剛度矩陣可表示為

豎向位移v的矩陣表達(dá)式如下

則式(10)可改寫為

由式(11)即可求得考慮撓度v和其一階導(dǎo)數(shù)對幾何剛度矩陣的修正結(jié)果

根據(jù)文獻(xiàn)［7］可知，由于此時預(yù)應(yīng)力對于曲梁梁段而言相當(dāng)于軸向壓力(假設(shè)所取曲梁單元足夠小，可視為直梁單元)，有增大豎向撓度的趨勢，即對于聯(lián)合(組合)剛度有減小的趨勢，所以聯(lián)合剛度應(yīng)為原彈性剛度矩陣與幾何剛度矩陣的差值。即:考慮預(yù)應(yīng)力作用下的圓弧曲梁撓曲扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合單元剛度矩陣［Ke］為

分析聯(lián)合剛度矩陣可以看出:該剛度矩陣包含預(yù)應(yīng)力Nz、彎扭剛度比EIx/GId、體現(xiàn)截面翹曲效應(yīng)的扇形慣性矩(翹曲常數(shù))Iw、曲率半徑R和彎梁橋跨度及圓心角θ(因?yàn)閺澚旱膯卧L度等于曲率半徑與曲梁單元所夾圓心角的乘積)。由此可知，利用該修正后的剛度矩陣建立的彎梁橋有限元模型，將能夠充分地反映以上各參數(shù)對PRC彎梁橋動力行為的影響，為下文的分析討論奠定了基礎(chǔ)。

2 PRC彎梁橋有限元模型的建立

2.1 考慮預(yù)應(yīng)力效應(yīng)的PRC連續(xù)箱形彎梁橋模型

彎橋梁在移動荷載作用下的控制微分方程

2.1.1 總體剛度矩陣的組集

利用推導(dǎo)的考慮預(yù)應(yīng)力效應(yīng)的單元剛度矩陣作為PRC彎梁橋動力分析中的單元剛度矩陣。利用直接剛度法進(jìn)行總體剛度矩陣［K］的組集。

2.1.2 總體質(zhì)量矩陣的求解及組集

對于單元質(zhì)量矩陣，采用與單剛相同的位移插值函數(shù)的一致型質(zhì)量矩陣

式中，［N］為與單剛相同的形函數(shù)矩陣;m(z)為質(zhì)量分布函數(shù)，通常取為常數(shù)。

利用與剛度矩陣相同的直接剛度法即可組集結(jié)構(gòu)的總體質(zhì)量矩陣［M］。

2.1.3 阻尼矩陣的求解及組集

對于結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣［C］，采用Rayleigh阻尼，即假定

式中，α、β為瑞利阻尼常數(shù)，可根據(jù)鄰近的兩階阻尼比和固有頻率確定［8］。

2.2 有限元程序的編制

利用MATLAB編制有限元計(jì)算程序，該程序主要實(shí)現(xiàn)以下功能:

(1)完成對考慮預(yù)應(yīng)力效應(yīng)的單元剛度矩陣修正;

(2)組集總體剛度矩陣和總體質(zhì)量矩陣;

(3)建立不考慮阻尼作用下的動力方程，計(jì)算PRC連續(xù)彎梁橋的自振特性，并通過改變結(jié)構(gòu)參數(shù)，對比分析參數(shù)變化對PRC彎梁橋自振特性的影響;

(4)根據(jù)結(jié)構(gòu)前兩階的模態(tài)頻率及阻尼比計(jì)算結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，利用Newmark法求解移動荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，并通過改變結(jié)構(gòu)參數(shù)，對比分析參數(shù)變化對PRC彎梁橋動力響應(yīng)的影響。

3 仿真分析

利用建立的PRC彎梁橋有限元模型，對某三跨一聯(lián)的等高度PRC箱形彎梁橋的動力行為(包括自振特性和動力響應(yīng))進(jìn)行分析計(jì)算;并系統(tǒng)地分析了PRC箱形彎梁橋的各參數(shù)對橋梁動力性能的影響。該橋跨徑組合為20 m×3=60 m，支座采用兩端抗扭、中間點(diǎn)鉸支撐形式。箱梁截面形式如圖2所示。采用C50混凝土;預(yù)應(yīng)力鋼筋采用1860號鋼絞線，該預(yù)應(yīng)力混凝土彎梁橋的有效預(yù)應(yīng)力大小為Tr=8×104k N。

在后面的有效元數(shù)值模擬分析中，采用上述曲梁單元，C50混凝土，彈性模量為3.45×104MPa，容重為2.5 kg/m3。如果沒有特別說明，則梁軸線的曲率半徑為200 m。

3.1 參數(shù)變化對自振特性的影響分析

圖2 箱梁截面(單位:dm)

3.1.1 預(yù)應(yīng)力對自振特性的影響

僅改變彎梁橋預(yù)應(yīng)力大小，保持其他所有設(shè)計(jì)參數(shù)不變的方法。分別模擬施加了六級預(yù)應(yīng)力值，將設(shè)計(jì)預(yù)應(yīng)力Tr分成六級:0Tr、0.2Tr、0.4Tr、0.6Tr、0.8Tr、Tr，對每種情況均計(jì)算了PRC彎梁橋的前5階模態(tài)頻率。

以零預(yù)應(yīng)力作用下的彎梁橋各階模態(tài)頻率作為參考頻率值，以設(shè)計(jì)預(yù)應(yīng)力Tr作為參考預(yù)應(yīng)力值，分析不同預(yù)應(yīng)力水平作用下PRC彎梁橋的各階頻率，結(jié)果詳見表1。

表1 預(yù)應(yīng)力變化對PRC彎梁橋前5階頻率的影響Hz

由表1可以看出隨著預(yù)應(yīng)力值的增大，PRC彎梁橋的各階自振頻率值均逐步減小，說明預(yù)應(yīng)力對PRC彎梁橋梁產(chǎn)生了一種“壓縮軟化”的作用，相當(dāng)于降低了梁的剛度，從而使頻率減小;預(yù)應(yīng)力對PRC彎梁橋各階模態(tài)頻率的影響是有強(qiáng)弱之分的，對低階頻率的影響要強(qiáng)于對高階頻率的影響，對第一階頻率影響最大。

3.1.2 曲率半徑對自振特性的影響

僅改變該彎梁橋半徑的大小，保持其他所有設(shè)計(jì)參數(shù)不變。將彎梁橋設(shè)計(jì)曲率半徑取值范圍設(shè)定為30～500 m，對每種情況均計(jì)算了結(jié)構(gòu)的前6階模態(tài)頻率。圖3給出了第1、2和5、6階模態(tài)頻率隨半徑變化情況。

通過對比分析圖3可知，對于其他設(shè)計(jì)參數(shù)均未改變的PRC彎梁橋的模態(tài)頻率隨曲率半徑的變化趨勢分別為:隨半徑的增加而增大和隨半徑的增大而減小兩種情況;且通過分析可知，當(dāng)半徑大于200 m時，預(yù)應(yīng)力混凝土彎梁橋的模態(tài)頻率變化幅度減小，并趨同于直線梁橋的模態(tài)頻率。

圖3 曲率半徑變化對模態(tài)頻率頻率的影響

3.1.3 彎扭剛度比對自振特性的影響

僅改變該彎梁橋彎扭剛度比的大小，保持其他所有設(shè)計(jì)參數(shù)不變，來研究彎梁橋彎扭剛度比對結(jié)構(gòu)自振特性的影響，以求尋找出一定的規(guī)律性。將設(shè)計(jì)的彎扭剛度比分別設(shè)定為:0.5、1、5、10、100，對每種情況均利用PRC彎梁橋有限元模型計(jì)算了結(jié)構(gòu)的前10階模態(tài)頻率。模態(tài)頻率隨彎扭剛度比的變化情況詳見圖4所示。

圖4 不同彎扭剛度比下各階頻率變化情況

從圖4可以看出，對于不同彎扭剛度比下的結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率變化情況。即:采用不同的彎扭剛度比時，對結(jié)構(gòu)的低階頻率影響較小，對于高階頻率的影響較大，且隨著頻率階數(shù)的增加影響越明顯。主要原因?yàn)殡S著彎扭剛度比的增大，截面的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)相對變小，接近于直線梁橋;同時，當(dāng)抗彎剛度增大時，橋梁的彎曲效應(yīng)將會減小，一定程度上消減了彎扭耦合作用的影響。通常在曲率半徑較小時，要求截面的抗彎剛度和抗扭剛度比較接近為宜，即取值范圍在［0.5～1.5］;而文獻(xiàn)［9］從靜力學(xué)的角度分析得知，對于箱形彎梁橋的彎扭剛度比的合理取值范圍為［0.5～5］;綜合彎梁橋動力行為與靜力行為分析結(jié)論可得，PRC箱形彎梁橋的合理彎扭剛度比范圍宜取為［0.5～1.5］。

3.1.4 約束情況對自振特性的影響

僅改變該彎梁約束情況，保持其他所有設(shè)計(jì)參數(shù)不變，來研究彎梁橋約束情況對結(jié)構(gòu)自振特性的影響。約束情況分為圖5所示的兩種情況。不同約束情況下的前十階模態(tài)頻率計(jì)算結(jié)果詳見表2。

從表2可以看出，對于不同的約束情況，PRC彎梁橋的模態(tài)頻率發(fā)生了變化。即:采用抗扭支撐普遍增大了結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率，且主要增大的是結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)振動頻率，因?yàn)榕まD(zhuǎn)約束增加了結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度。從而可知，當(dāng)連續(xù)梁中間支座采用抗扭支撐形式時比點(diǎn)鉸支撐的抗扭剛度大，提高了結(jié)構(gòu)的彎扭剛度比，從而可使該類彎梁橋的彎扭剛度比處于了合理范圍，使得結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和動力特性均更加趨于合理。

表2 不同約束方式的模態(tài)頻率值Hz

3.1.5 截面翹曲對自振特性的影響

采用考慮截面翹曲和不考慮截面翹曲兩種情況，保持其他所有設(shè)計(jì)參數(shù)不變的方式。利用已有的PRC彎梁橋有限元模型進(jìn)行計(jì)算，求得兩種情況下的各階模態(tài)頻率變化情況，結(jié)果詳見圖6所示。其中:f1代表考慮截面翹曲影響下的各階頻率值，f2代表不考慮截面翹曲影響下的各階頻率值。

圖5 曲線連續(xù)梁橋約束方式

圖6 截面翹曲對彎梁橋自振頻率的影響

從圖6可以看出，截面翹曲對PRC彎梁橋的各階頻率都有影響，考慮截面翹曲影響時，結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率將有所增加，這是因?yàn)榻孛媛N曲增大了彎梁橋的剛度所致;且隨著半徑的增大對于模態(tài)頻率的影響效果逐漸變小，且當(dāng)半徑大于250 m之后，翹曲對于模態(tài)頻率的影響趨于穩(wěn)定。

3.2 不同參數(shù)對橋梁動力響應(yīng)的影響

采用直接積分法中的Newmark法計(jì)算移動荷載作用下PRC彎梁橋的動力響應(yīng)。忽略橋面不平整對荷載的干擾，并設(shè)定其為勻速移動荷載，大小恒定為300 kN，并以20 m/s的速度勻速行駛在該彎梁橋上，計(jì)算分析不同參數(shù)對PRC連續(xù)箱形彎梁橋動力響應(yīng)的影響。

3.2.1 預(yù)應(yīng)力對動力響應(yīng)的影響

保持其他所有設(shè)計(jì)參數(shù)不變，而模擬計(jì)算了在依次施加同3.1所述的六級預(yù)應(yīng)力水平情況下，移動荷載通過PRC彎梁橋時橋梁的動力響應(yīng)。

為了使對比分析結(jié)果更加明顯，在此重點(diǎn)將該P(yáng)RC連續(xù)箱形彎梁橋中跨的跨中在有無預(yù)應(yīng)力作用下的動力響應(yīng)時程曲線進(jìn)行對比分析，詳見圖7。

由圖7可知，預(yù)應(yīng)力對于PRC彎梁橋的位移、速度、加速度響應(yīng)均有影響，且預(yù)應(yīng)力水平越高，對彎梁橋動力響應(yīng)的影響越明顯。在有無預(yù)應(yīng)力兩種工況下，三跨連續(xù)梁中跨跨中動力響應(yīng)時程曲線的變化規(guī)律是相同的，即時程曲線出現(xiàn)波峰和波谷是同時的，而且對振動加速度、速度和位移的影響規(guī)律是一致的。由單剛推導(dǎo)結(jié)果可知，預(yù)應(yīng)力改變了彎梁橋的剛度，從而影響了結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)?？梢?，預(yù)應(yīng)力與PRC彎梁橋的動力響應(yīng)有著密切的聯(lián)系。

3.2.2 曲率半徑對動力響應(yīng)的影響

對PRC彎梁橋的中跨跨中在不同曲率半徑情況下的動力響應(yīng)進(jìn)行對比分析。不同曲率半徑下中跨跨中的位移和加速度響應(yīng)對比分析結(jié)果詳見圖8和圖9。

從圖8和圖9中可以看出，不同曲率半徑下的動力響應(yīng)受到了曲率半徑變化的影響。當(dāng)半徑較小時，動力響應(yīng)隨著半徑的增加而變化劇烈，而當(dāng)半徑在達(dá)到200 m后，動力響應(yīng)開始趨于穩(wěn)定?？梢姡瑢τ谠擃怭RC彎梁橋而言，半徑選在200～500 m之間較為合理。

圖7 有無預(yù)應(yīng)力情況下橋梁中跨跨中的動力響應(yīng)

圖8 不同曲率半徑下中跨跨中位移動力響應(yīng)

圖9 不同曲率半徑下中跨跨中加速度動力響應(yīng)

4 結(jié)論

采用數(shù)值模擬方法分析了參數(shù)變化對PRC彎梁橋動力性能的影響，結(jié)果表明:

(1)PRC彎梁橋的預(yù)應(yīng)力與結(jié)構(gòu)的自振特性和動力響應(yīng)關(guān)系密切，故在確定預(yù)應(yīng)力水平時，不但要考慮結(jié)構(gòu)的受力情況與耐久性，也應(yīng)該考慮其對動力特性的影響;

(2)當(dāng)半徑增大到200 m后，PRC彎梁橋的動力行為(模態(tài)頻率與動力響應(yīng))與直線橋梁接近，宜將半徑選在200～500 m之間，并應(yīng)綜合考慮影響選線的其它因素確定具體曲率半徑值;

(3)不同的彎扭剛度比對結(jié)構(gòu)的低階頻率影響小于高階頻率，且PRC彎梁橋的合理彎扭剛度比宜取在［0.5～1.5］之間;

(4)抗扭支撐與點(diǎn)鉸支撐相比增大了結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率，且主要增大了扭轉(zhuǎn)振動頻率;

(5)截面翹曲增大了PRC彎梁橋的剛度，且隨著半徑的增大其影響逐漸變小，當(dāng)半徑超過250 m后，翹曲對于模態(tài)頻率的影響將趨于穩(wěn)定。

另外，在動力行為影響因素中沒有考慮橋面不平順情況、橫隔板位置及其數(shù)量、車輛荷載變速行駛及雙向行車情況，因此還需做進(jìn)一步的深入研究。

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