秦曉峰，謝里陽，何雪浤，錢文學，馬園園

(東北大學機械工程與自動化學院，遼寧沈陽 110819)

0 引言

受均勻內壓厚壁圓筒結構廣泛應用于工業(yè)管道、高壓氣瓶及槍管、炮管中。由于建造材料本身和加工制造過程的缺陷及使用中交變載荷或應力腐蝕等各種因素的影響，使得這些結構同一橫斷面上往往同時存在以徑向裂紋為主的多條裂紋。研究分析多裂紋下影響裂紋尖端應力強度因子的因素和這些因素作用下應力強度因子的變化規(guī)律，對評價受均勻內壓厚壁筒結構的安全性尤為關鍵。

近年來，隨著計算機技術的快速發(fā)展，有限元法在厚壁筒多裂紋尖端應力強度因子的計算及研究中得到了大力推廣。Pook L P［1］利用有限元對裂紋形狀比小于0.16的厚壁筒徑向多裂紋尖端應力強度因子進行了研究;Perl M等［2］運用有限單元法對受內壓厚壁筒內表面徑向多裂紋在不同裂紋長度下的裂紋尖端應力強度因子進行了計算;Kirkhope K J等［3］運用有限元法計算了不同壁厚、裂紋數目及不同裂紋深度比下厚壁筒徑向多裂紋尖端的應力強度因子;劉永仁等［4］利用有限單元法對化工容器、軍械槍炮管等厚壁圓筒存在多條裂紋情況下的應力強度因子進行了研究，通過對裂紋數目 n=2，4，8，16，36 五種對稱內緣裂紋尖端應力強度因子的計算和分析，得到了多裂紋應力強度因子與裂紋數的函數關系，結果表明，應力強度因子隨裂紋數增多而減小。署恒木［5］運用有限元法計算了含2條和3條徑向裂紋的厚壁筒裂紋尖端應力強度因子，分析了裂紋數目和夾角對裂紋尖端應力強度因子的影響，并認為當雙徑向裂紋間夾角為180°時，裂紋尖端應力強度因子最大。

但是，上述研究主要針對不同數目裂紋尖端應力強度因子的計算和部分影響因素對尖端應力強度因子的影響進行，并沒有對厚壁筒多裂紋尖端應力強度因子的影響因素及隨不同因素的變化規(guī)律進行系統的分析。王慶豐等［6－7］對平面結構中任意分布多裂紋相互作用影響因素的研究認為，非共線裂紋的裂紋面夾角、裂紋中心距離及裂紋長度，共線裂紋的裂尖距離及裂紋長度對裂紋尖端應力強度因子有影響。在分析上述研究的基礎上，文中結合厚壁筒軸向表面單裂紋尖端應力強度因子表達式，提出了厚壁筒雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子半解析表達式，并運用有限元法對應力強度因子隨不同因素的變化規(guī)律進行了研究，為工程實際中受內壓含裂紋厚壁筒安全評價中影響因素的分析提供參考和指導。

1 受內壓厚壁筒雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子

《應力強度因子手冊》［8］中利用邊界配置法對含軸向表面單裂紋厚壁筒裂紋尖端應力強度因子進行了理論計算，并提出了包含形狀因子的應力強度因子表達式:

式中 R1，R0——厚壁筒內徑、外徑

P——厚壁筒內表面施加的內壓

a——裂紋長

f［a/(R0－R1)，R0/R1］——形狀因子

文中結合式(1)及文獻［6－7］的研究結果，提出了厚壁筒雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子表達式:

式中 θ——裂紋間夾角

f［θ，a/(R0－ R1)，R0/R1］——包含厚壁筒多裂紋尖端應力強度因子影響因素的形狀因子

a/(R0－R1)——裂紋深度比

R0/R1——壁厚比

2 含雙軸向表面裂紋厚壁筒有限元模型

2.1 模型的簡化及材料性能

以含雙軸向表面裂紋受內壓普通碳鋼厚壁筒為研究對象，根據厚壁筒受力狀態(tài)及現有文獻對軸向表面單裂紋的分析結果，將含雙軸向表面裂紋的受內壓厚壁筒簡化為含雙裂紋的二維圓環(huán)模型，如圖1所示。

圖1 受內壓厚壁筒二維幾何模型

含雙軸向表面裂紋厚壁筒有限元模型的計算參數如表1所示。建立了內徑確定，不同壁厚比、裂紋夾角及裂紋深度比等情況下厚壁筒的線彈性有限元模型來計算裂紋尖端應力強度因子值，分析應力強度因子的影響因素及變化規(guī)律。

2.2 有限元模型及邊界條件

圖2(a)示出根據圖1中簡化幾何模型建立的含雙軸向表面裂紋厚壁筒線彈性有限元模型，厚壁筒內壁及裂紋面施加均勻分布內壓P=1 MPa。圖2(b)示出裂紋區(qū)域的局部放大圖，B為裂紋尖端，BA，BA'為裂紋面，裂紋面由兩條在裂紋尖端點重合的線進行模擬。為了捕捉裂紋尖端的應力奇異性，圍繞尖端圓周每隔30°設置一個退化的奇異等參單元，奇異單元的長度為裂紋長度的1/20，整周共設置12個單元，圖2(c)示出奇異單元的幾何模型，其積分點(M，O)由單元邊中節(jié)點移到距離尖端1/4處。

表1 含雙軸向表面裂紋厚壁筒有限元計算參數

圖2 含雙軸向表面裂紋厚壁筒二維有限元模型

3 厚壁筒雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子影響因素分析

根據表1中的參數，結合圖1的幾何模型分別建立了 R1=50 mm，R0/R1=1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，a/(R0－ R1)=0.2，0.3，0.4，0.5，0.6 及 θ=30°，60°，90°，120°，150°，180°的含雙軸向表面裂紋受內壓厚壁筒有限元模型，對不同情況下雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子的值進行了計算。根據式(2)中形狀因子 f［θ，a/(R0－ R1)，R0/R1］，結合厚壁筒雙軸向表面裂紋不同情況下尖端應力強度因子有限元計算值，分別分析了θ，a/(R0－R1)及R0/R1對雙裂紋尖端應力強度因子的影響及變化規(guī)律。

3.1 夾角對雙軸向表面裂紋尖端KⅠ的影響

圖3 示出了 R1=50 mm，R0/R1=1.5，1.7，a/(R0－R1)=0.2，0.4，0.6 及不同裂紋夾角情況下，受內壓厚壁筒中雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子有限元計算結果及應力強度因子隨裂紋夾角θ的變化曲線。

圖3 不同 R0/R1時，KⅠ隨裂紋間夾角θ變化曲線

圖4 不同R0/R1時，KⅠ隨a/(R0－R1)變化曲線

由圖3(a)可以看出:在R1，R0/R1及a/(R0－R1)確定時，尖端應力強度因子隨夾角θ的增加而逐漸增大，且在夾角θ=180°時達到最大值;當R1，R0/R1確定時，裂紋夾角θ的變化對尖端應力強度因子的影響隨著a/(R0－R1)的增加而逐漸增強。由圖3(b)可以看出:在R1，R0/R1及a/(R0－R1)確定時，尖端應力強度因子隨夾角θ的增加而逐漸增大且在θ=180°時達到最大值;當R1，R0/R1確定時，裂紋夾角θ的變化對尖端應力強度因子的影響隨著a/(R0－R1)的增加而逐漸增強。

3.2 裂紋深度比對雙軸向表面裂紋尖端KⅠ的影響

圖4 示出 R1=50 mm，R0/R1=1.5，1.7，θ=30°，90°，150°及不同裂紋深度比情況下，受內壓厚壁筒中雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子有限元計算結果及應力強度因子隨裂紋深度比a/(R0－R1)的變化曲線。

由圖4(a)可以看出:在R1，R0/R1及θ確定時，尖端應力強度因子隨a/(R0－R1)的增加而逐漸增大;當R1，R0/R1確定時，裂紋深度比a/(R0－R1)的變化對尖端應力強度因子的影響隨著θ的增加而逐漸增強。由圖4(b)同樣可以看出:在R1，R0/R1及θ確定時，尖端應力強度因子隨著a/(R0－R1)的增加而逐漸增大;當 R1，R0/R1確定時，裂紋深度比a/(R0－R1)的變化對尖端應力強度因子的影響隨著θ的增加而逐漸增強。

3.3 壁厚比對雙軸向表面裂紋尖端KⅠ的影響

圖5示出了 R1=50 mm，a/(R0－R1)=0.2，0.4，θ=30°，90°，150°及不同壁厚比情況下，受內壓厚壁筒中雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子有限元計算結果及應力強度因子隨壁厚比R0/R1的變化曲線。

由圖5(a)可以看出:在 R1，a/(R0－R1)及 θ確定時，尖端應力強度因子隨著R0/R1的增加而逐漸減小且趨勢逐漸減緩。由圖5(b)同樣可以看出:在R1，a/(R0－R1)及θ確定時，尖端應力強度因子隨著壁厚比R0/R1的增加而逐漸減小且趨勢逐漸減緩。

圖5 不同a/(R0－R1)時，KⅠ隨R0/R1變化曲線

4 結論

(1)根據文獻［6］中對含任意分布裂紋平面結構中裂紋尖端應力強度因子影響因素結論及文獻［7］含軸向表面單裂紋厚壁筒裂紋尖端應力強度因子公式，含雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子可以由下式表示:

式中形狀因子 f［θ，a/(R0－ R1)，R0/R1］包含了雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子的影響因素。

(2)有限元計算結果表明:

1)當厚壁筒內徑、壁厚比及裂紋深度比確定時，雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子隨裂紋間夾角的增加而逐漸增大，且在夾角θ=180°時達到最大;當其他因素確定時，夾角對雙裂紋尖端應力強度因子的影響隨著裂紋深度比的增加而逐漸增強;

2)厚壁筒內徑、壁厚比及裂紋間夾角確定時，雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子隨著裂紋深度比的增加逐漸增大，且在其他因素確定時，裂紋深度比的變化對雙裂紋尖端應力強度因子的影響隨著夾角的增加逐漸增強;

3)當厚壁筒內徑、裂紋深度及裂紋間夾角確定時，雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子隨著壁厚比R0/R1的增加而逐漸減小，且趨勢逐漸減緩。

(3)基于上述研究，認為厚壁筒雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子的大小受裂紋間夾角θ、壁厚比R0/R1及裂紋深度比a/(R0－R1)的綜合影響，驗證了本文提出的雙軸向表面裂紋尖端應力強度因子公式中形狀因子的合理性。在工程實際中可以綜合考慮上述公式中影響因素的作用，合理評價含裂紋厚壁筒結構的安全。

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［4］劉永仁，李宗瑢.厚壁圓筒多裂紋的應力強度因子［J］.上海力學，1983，4(1):56 －63.

［5］署恒木.厚壁筒徑向裂紋最危險分布［J］.石油化工設備，2000，29(5):12 －14.

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